高中数学：《立体几何空间角》课件 新课标人教A版选修21.pptVIP

立体几何 空间角 教学目标 掌握线线角与线面角 二面角及其平面角的概念 能灵活作出二面角的平面角 并能求出大小 要点 疑点 考点课前热身能力 思维 方法延伸 拓展误解分析 第 课时线线角与线面角 要点 疑点 考点 1 线线角 2 范围 1 定义 设a b是异面直线 过空间任一点o引 则所成的锐角 或直角 叫做异面直线a b所成的角 2 线面角 3 范围 1 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 叫这条斜线和这个平面所成的角 2 若直线l 平面 则l与 所成角为直角若直线l 平面 或直线l 平面 则l与 所成角为0 4 射影定理 从平面 外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中 射影相等的两条斜线段相等 射影较长的斜线段也较长 相等的斜线段的射影相等 较长的斜线段的射影也较长 垂线段比任何一条斜线段都短 5 最小角定理 斜线和平面所成的角 是这条斜线和平面内过斜足的直线所成的一切角中的最小的角 返回 2 相交成90 的两条直线与一个平面所成的角分别是30 与45 则这两条直线在该平面内的射影所成角的正弦值为 a b c d 1 平面 的斜线与 所成的角为30 则此斜线和 内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值是 a 30 b 60 c 90 d 150 课前热身 c c 3 如图 正方形abcd所在平面与正方形abef所在的平面成60 的二面角 则异面直线ad与bf所成角的余弦值是 4 异面直线a b成80 角 p为a b外一定点 若过p有且仅有2条直线与a b所成角都为 则 的范围是 a b c d b 返回 a 5 如图 abc a1b1c1是直三棱柱 bca 90 点d1 f1分别是a1b1 a1c1的中点 若bc ca cc1 则bd1与af1所成角的余弦值是 a b c d 能力 思维 方法 1 如图所示 abcd是一个正四面体 e f分别为bc和ad的中点 求 1 ae与cf所成的角 2 cf与平面bcd所成的角 解题回顾 本题解法是求异面直线所成角常采用的 平移转化法 把异面直线转化为求两相交直线所成的角 需要通过引平行直线作出平面图形 化归为平面几何问题来解决 2 如图 在正方体ac1中 1 求bc1与平面acc1a1所成的角 2 求a1b1与平面a1c1b所成的角 解题回顾 线线角抓平移 线面角定射影 也就是说要求直线与平面所成的角 关键是找到直线在此平面上的射影 为此 必须在这条直线上的某一点处作一条 或找一条 平面的垂线 本题 中bo就是平面的垂线 垂足h的位置也必须利用图形的性质来确定 3 如图 长方体abcd a1b1c1d1中 ab bc 2 aa1 1 e h分别是a1b1和bb1的中点 求 1 eh与ad1所成的角 2 ac1与b1c所成的角 解题回顾 2 中为了找到异面直线ac1与b1c所成的角 需将ac1平移出长方体外 实际上是在原长方体外 再拼接一个完全相同的长方体 这是立体几何中常见的方法之一 4 在120 的二面角 l 的两个面 内分别有a b两点 这两点到棱的距离分别为2和4 ab 10 求 1 ab与l所成的角 2 ab与平面 所成的角 返回 解题回顾 本例是综合题 解题过程常常是作图 包括添辅助线或辅助面 论证 计算三个阶段 这样就综合考查了空间想象能力 逻辑推理能力和运算能力 延伸 拓展 5 在棱长为a的正方体abcd a b c d 中 e f分别是bc a d 的中点 1 求证 四边形b edf是菱形 2 求直线a c与de所成的角 3 求直线ad与平面b edf所成的角 解题回顾 对于第 1 小题 若仅由b e ed df fb 就断定b edf是菱形 那是不对的 因存在四边相等的空间四边形 所以必须证b e d f四点共面 第 3 小题应用了课本一道习题的结论 才证明了ad在平面b edf内的射影在b d上 返回 误解分析 返回 2 凡立体几何求角或距离的解答题 一定要注意 作 证 指 求 四个环节缺一不可 1 求异面直线所成的角 要注意角的范围是 如能力 思维 方法3 平移后得 计算得 不能说两异面直线成角为 而应为 要点 疑点 考点课前热身能力 思维 方法延伸 拓展误解分析 第 课时二面角 一 要点 疑点 考点 1 二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 叫二面角 其大小通过二面角的平面角来度量 2 二面角的平面角 1 定义 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 2 范围 0 3 二面角的平面角的作法 1 定义法 2 三垂线定理法 3 作棱的垂面法 返回 课前热身 1 下列命题中 两个相交平面组成的图形叫做二面角 异面直线a b分别和一个二面角的两个面垂直 则a b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补 二面角的平面角是从棱上一点出发 分别在两个面内作射线所成角的最小角 正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角 其中 正确命题的序号是 2 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 二面角b1 aa1 c1的大小为 二面角b aa1 d的大小为 二面角c1 bd c的正切值是 45 90 3 在二面角 l 的一个平面 内有一条直线ab 它与棱l所成的角为45 与平面 所成的角为30 则这个二面角的大小是 45 或135 4 三棱锥a bcd中 ab ac bc cd ad a 要使三棱锥a bcd的体积最大 则二面角b ac d的大小是 a b c d a a 5 在二面角 a 内 过a作一个半平面 使二面角 a 45 二面角 a 30 则 内的任意一点p到平面 与平面 的距离之比为 a b c d 返回 能力 思维 方法 解题回顾 本题是1990年全国高考题 1 的证明关系较复杂 需仔细分析 2 的平面角就是 cde 很多考生没有发现 却去人为作角 导致混乱 1 在三棱锥s abc中 sa 平面abc ab bc de垂直平分sc 且分别交ac sc于d e 又sa ab a bc 2a 1 求证 sc 平面bde 2 求平面bde与平面bdc所成的二面角大小 2 已知斜三棱柱abc a1b1c1中 bca 90 ac bc a1在底面abc的射影恰为ac的中点m 又知aa1与底面abc所成的角为60 1 求证 bc 平面aa1c1c 2 求二面角b aa1 c的大小 解题回顾 先由第 1 小题的结论易知bc aa1 再利用作出棱aa1的垂面bnc来确定平面角 bnc 将题设中 aa1与底面abc所成的角为60 改为 ba1 ac1 仍可证得三角形aa1c为正三角形 所求二面角仍为 本题的解答也可利用三垂线定理来推理 3 如图 正三棱柱abc a1b1c1的底面边长为a 侧棱长为 若经过对角线ab1且与对角线bc1平行的平面交上底面一边a1c1于点d 1 确定点d的位置 并证明你的结论 2 求二面角a1 ab1 d的大小 解题回顾 第 2 题中二面角的放置属于非常规位置的图形 同例 1 的变题 看起来有些费劲 但是一旦将图形的空间位置关系看明白 即可发现解决此种问题的基本方法仍然与常规位置时相同 返回 延伸 拓展 4 如图 已知a1b1c1 abc是正三棱柱 d是ac的中点 1 证明ab1 平面dbc1 2 假设ab1 bc1 求以bc1为棱 dbc1与cbc1为面的二面角 的度数 解题回顾 本题为1994年全国高考理科试题 图中的正三棱柱放置的位置和一般放置的位置不同 这是高考题中常出现的现象 目的是考查各种位置的正三棱柱性质 这一点应引起读者注意 返回 误解分析 返回 1 二面角是立体几何的重点 热点 难点 求二面角的大小方法多 技巧性强 但一般先想定义法 再想三垂线定理法 如课前热身4 及能力 思维 方法1中 如果盲目作垂线 则会干扰思维 2 实施解题过程仍要注意 作 证 指 求 四环节 计算一般是放在三角形中 因此 化归 思想很重要 要点 疑点 考点课前热身能力 思维 方法延伸 拓展误解分析 第 课时二面角 二 要点 疑点 考点 1 熟练掌握求二面角大小的基本方法 1 先作平面角 再求其大小 3 直接用公式cos s射 s原 2 掌握下列两类题型的解法 1 折叠问题 将平面图形翻折成空间图形 2 无棱 二面角 在已知图形中未给出二面角的棱 返回 课前热身 1 二面角 ab 的平面角是锐角 c是平面 内的点 不在棱ab上 d是c在平面 上的射影 e是棱ab上满足 ceb为锐角的任意一点 则 a ceb deb b ceb deb c ceb deb d ceb与 deb的大小关系不能确定 a 2 直线ab与直二面角 l 的两个半平面分别交于a b两点 且a bl 如果直线ab与 所成的角分别是 1 2 则 1 2的取值范围是 a b c d d 3 在长 宽 高分别为1 1 2的长方体abcd a1b1c1d1中 截面ba1c1与底面abcd所成角的余弦值是 4 把边长为a的正三角形abc沿着过重心g且与bc平行的直线折成二面角 此时a点变为 当时 则此二面角的大小为 arccos 1 3 5 已知正方形abcd中 ac bd相交于o点 若将正方形abcd沿对角线bd折成60 的二面角后 给出下面4个结论 ac bd ad co aoc为正三角形 过b点作直线l 平面bcd 则直线l 平面aoc其中正确命题的序号是 返回 能力 思维 方法 1 平面四边形abcd中 ab bc cd a b 90 dcb 135 沿对角线ac将四边形折成直二面角 证 1 ab 面bcd 2 求面abd与面acd所成的角 解题回顾 准确画出折叠后的图形 弄清有关点 线之间的位置关系 便可知这是一个常见空间图形 四个面都是直角三角形的四面体 2 在直角梯形p1dcb中 p1d cb cd p1d p1d 6 bc 3 dc 3 a是p1d的中点 沿ab把平面p1ab折起到平面pab的位置 使二面角p cd b成45 设e f分别为ab pd的中点 1 求证 af 平面pec 2 求二面角p bc a的大小 解题回顾 找二面角的平面角时不要盲目去作 而应首先由题设去分析 题目中是否已有 3 正方体abcd a1b1c1d1中 e是bc的中点 求平面b1d1e和平面abcd所成的二面角的正弦值 解题回顾 解法一利用公式 思路简单明了 但计算量较解法二大 解法二的关键是确定二面角的棱 再通过三垂线定理作出平面角 最终解直角三角形可求出 4 如图 在底面是直角梯形的四棱锥s abcd中 abc 90 sa 面abcd sa ab bc 1 ad 12 1 求四棱锥s abcd的体积 2 求面scd与面sba所成的二面角的正切值 解题回顾 1 较易 2 因所求二面角无 棱 故先延长ba cd以确定棱se 然后证明 bsc为平面角 本题当然可以用直接求 返回 延伸 拓展 i 沿图中虚线将它们折叠起来 是哪一种特殊几何体 并请画出其直观图 比例尺是1 2 ii 需要多少个这样的几何体才能拼成一个棱长为6cm的正方体abcd a1b1c1d1 请画出其示意图 需在示意图中分别表示出这种几何体 5 如图为一几何体的展开图 iii 设正方体abcd a1b1c1d1的棱cc1的中点为e 试求 异面直线eb与ab1所成角的余弦值及平面ab1e与平面abc所成二面角 锐角 的余弦值