高考数学一轮复习 第十一章 复数、算法、推理与证明 第三节 合情推理与演绎推理课件 文.ppt

第三节合情推理与演绎推理 总纲目录 教材研读 1 合情推理 考点突破 2 演绎推理 考点二归纳推理 考点一类比推理 考点三演绎推理 1 合情推理 教材研读 2 演绎推理 1 定义 从一般性的原理出发 推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理 简言之 演绎推理是由一般到特殊的推理 2 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 i 大前提 已知的一般原理 ii 小前提 所研究的特殊情况 iii 结论 根据一般原理 对特殊情况作出的判断 1 1 已知a是三角形一边的长 h是该边上的高 则三角形的面积是ah 如果把扇形的弧长l 半径r分别看成三角形的底边长和高 可得到扇形的面积为lr 2 由1 12 1 3 22 1 3 5 32 可得到1 3 5 2n 1 n2 1 2 两个推理过程分别属于 a 类比推理 归纳推理b 类比推理 演绎推理c 归纳推理 类比推理d 归纳推理 演绎推理 答案a 1 三角形的性质与扇形的性质有相似之处 此种推理为类比推理 2 由特殊到一般 此种推理为归纳推理 故选a a 2 2017北京海淀二模 一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确 第五次输入密码正确 手机解锁 事后发现前四次输入的密码中 每次都有两个数字正确 但它们各自的位置均不正确 已知前四次输入的密码分别为3406 1630 7364 6173 则正确的密码中一定含有数字 a 4 6b 3 6c 3 7d 1 7 答案d由前四次输入的密码可知3和6均出现四次 且每个位置出现一次 故正确密码中没有3和6 又前四次输入的密码中 每次有两个数字正确 故正确密码中数字为0 4 1 7 故正确密码为0741或4017 故选d d 3 2016北京石景山一模 将数字1 2 3 4 5 6书写在每一个骰子的六个表面上 做成6枚一样的骰子 分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图a和b所示的两个柱体 则柱体a和b的表面 不含地面 上的数字之和分别是 a 47 48b 47 49c 49 50d 50 49 a 答案a由图a知 5不与6 4相对 由图b知 5不与1 3相对 故5与2相对 同理 6与1相对 3与4相对 故柱体a和b的表面 不含地面 上的数字之和分别为47 48 4 在平面上 若两个正三角形的边长比为1 2 则它们的面积比为1 4 类似地 在空间中 若两个正四面体的棱长比为1 2 则它们的体积比为 1 8 5 2018北京海淀高三期末 某次高三英语听力考试中有5道选择题 每题1分 每道题在a b c三个选项中只有一个是正确的 下表是甲 乙 丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分 则甲同学答错的题目的题号是 此题正确的选项是 答案5 a 解析 甲与乙在1 2 4三道题选项相同 又甲选对4道 乙选对3道 1 2 4题正确选项分别为c c b 甲选错的是题3或题5 由丙的成绩知其只做对了题2和题4 题3不选c 题5不选b 由乙的答题和得分情况知 题5不选c 即题5正确的选项为a 考点一类比推理 考点突破 典例1 1 给出下列类比推理命题 其中q为有理数集 r为实数集 c为复数集 由 若a b r 则a b 0 a b 类比推出 若a b c 则a b 0 a b 由 若a b c d r 则复数a bi c di a c b d 类比推出 若a b c d q 则a b c d a c b d 由 若a b r 则a b 0 a b 类比推出 若a b c 则a b 0 a b 由 若x r 则 x 1 1 x 1 类比推出 若z c 则 z 1 1 z 1 其中类比结论正确的个数是 a 1b 2c 3d 4 答案 1 b 2 b 解析 1 类比结论正确的只有 2 在平面凸四边形中 连接p点与各个顶点 将其分成四个小三角形 根据三角形面积公式 可得s a1h1 a2h2 a3h3 a4h4 kh1 2kh2 3kh3 4kh4 h1 2h2 3h3 4h4 所以h1 2h2 3h3 4h4 类似地 连接q点与三棱锥的四个顶点 将其分成四个小三棱锥 则有v s1h1 s2h2 s3h3 s4h4 kh1 2kh2 3kh3 4kh4 h1 2h2 3h3 4h4 所以h1 2h2 3h3 4h4 方法技巧在进行类比推理时 不仅要注意形式的类比 还要注意方法的类比 且要注意以下两点 1 找两类对象的对应元素 如 三角形对应三棱锥 圆对应球 面积对应体积 2 找对应元素的对应关系 如 两条边 直线 垂直对应线面垂直或面面垂直 边相等对应面积相等 1 1在平面几何中有如下结论 正三角形abc的内切圆面积为s1 外接圆面积为s2 则 推广到空间可以得到类似结论 已知正四面体p abc的内切球体积为v1 外接球体积为v2 则 a b c d 答案c正四面体的内切球与外接球的半径之比为1 3 故 c 典例2 1 观察下列等式 1 1 1 据此规律 第n个等式可为 2 观察下列等式 1 2 2 3 考点二归纳推理命题角度一与数字有关的等式的推理 3 4 4 5 照此规律 答案 1 1 2 解析 1 规律为等式左边共有2n项 且等式左边分母分别为1 2 2n 分子为1 奇数项为正 偶数项为负 即为1 等式右边共有n项 且分母分别为n 1 n 2 2n 分子为1 即为 所以第n个等式可为1 2 观察前4个等式 由归纳推理可知 n n 1 答案 1 f 2n n n 2 nn 解析 1 f 21 f 22 2 f 23 f 24 归纳得f 2n n n 2 第一个式子是n 1的情况 此时a 11 1 第二个式子是n 2的情况 此时a 22 4 第三个式子是n 3的情况 此时a 33 27 归纳可知a nn 命题角度三与数列有关的推理典例4以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的 详解九章算术 一书中的 杨辉三角形 该表由若干行数字组成 从第二行起 每一行中的数字均等于其 肩上 两数之和 表中最后一行仅有一个数 则这个数为 a 2017 22015b 2017 22014c 2016 22015d 2016 22014 b 答案b 解析由题意知数表的每一行都是等差数列 且第一行数的公差为1 第二行数的公差为2 第三行数的公差为4 第2015行数的公差为22014 第1行的第一个数为2 2 1 第2行的第一个数为3 20 第3行的第一个数为4 21 第n行的第一个数为 n 1 第2016行只有一个数m 则m 1 2016 22014 2017 22014 故选b 命题角度四与图形变化有关的推理典例5下面图形由小正方形组成 请观察图1至图4的规律 依此规律 第n个图形中小正方形的个数是 n n 答案 解析由题图可知第n个图形中小正方形的个数为1 2 3 n 规律总结 1 归纳推理的一般步骤 通过对某些个体的观察 分析和比较 发现它们的相同性质或变化规律 由发现的相同性质或变化规律推出一个明确表达的一般性命题 2 归纳是依据特殊现象推出一般现象 因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围 3 归纳推理所得结论未必正确 有待进一步证明 但对数学结论和科学的发现很有用 2 1如图所示 将若干个点摆成三角形图案 每条边 包括两个端点 有n n 1 n n 个点 相应的图案中总的点数记为an 则 a b c d c 答案c每条边有n个点 所以3条边有3n个点 三角形的3个顶点重复计算了一次 所以减3个顶点 即an 3n 3 那么 即 1 故选c 典例6 1 2017北京朝阳一模 如图 ab1c1 b1b2c2 b2b3c3是三个边长为2的等边三角形 且有一条边在同一直线上 边b3c3上有5个不同的点p1 p2 p3 p4 p5 设mi i 1 2 5 则m1 m2 m5 考点三演绎推理 2 2017北京西城二模 某班开展一次智力竞赛活动 共a b c三个问题 其中题a满分是20分 题b c满分都是25分 每道题或者得满分 或者得0分 活动结果显示 全班同学每人至少答对一道题 有1名同学答对全部三道题 有15名同学答对其中两道题 答对题a与题b的人数之和为29 答对题a与题c的人数之和为25 答对题b与题c的人数之和为20 则该班同学中只答对一道题的人数是 该班的平均成绩是 答案 1 90 2 4 42分 解析 1 因为 ab1c1 b1b2c2 b2b3c3均是边长为2的等边三角形 所以 ab1c2为等腰三角形 ab1c2 120 ab3c3 60 所以 c2ab3 30 ac2 2 延长ac2 b3c3 交于点d 则 d 90 所以 所以 0 所以mi cos30 0 2 6 18 所以m1 m2 m5 18 5 90 2 设答对题a 题b 题c的人数分别为sa sb sc 由题意得 设只答对题a的人数为a 只答对题b的人数为b 只答对题c的人数为c 答对a与b b与c a与c的人数分别为x y z 由题可知x y z 15 sa x z a 1 17 sb x y b 1 12 sc y z c 1 8 得 2 x y z a b c 3 37 故a b c 4 即只答对一道题的有4人 故全班总人数为1 15 4 20 总分为20sa 25sb 25sc 840 平均分为 42 分 规律总结 1 演绎推理是从一般到特殊的推理 其一般形式是三段论 应用三段论解决问题时 应当首先明确什么是大前提和小前提 如果大前提是显然的 则可以省略 2 在推理论证过程中 一些复杂的证明题常常要利用几个三段论才能完成 3 1 2017北京 14 5分 某学习小组由学生和教师组成 人员构成同时满足以下三个条件 i 男学生人数多于女学生人数 ii 女学生人数多于教