高考数学一轮复习专题3.4两角和差和二倍角练习（含解析）.docx

第四讲 两角和差与二倍角【套路秘籍】-千里之行始于足下1两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos()coscossinsincos()coscossinsinsin()sincos cossinsin()sincos cossintan()tan()2二倍角公式sin 22sincos；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.三辅助角公式：asin xbcos xsin(x)，其中tan .【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一 公式的简单运用【例1】计算：（1）sin 347cos 148sin 77cos 58 （2）cos20cos10sin160sin10(3)tan 15tan 30tan 15tan 30 (4)； （5） （6）【答案】（1） （2） （3）1 （4）2 （5） （6）【解析】（1)sin 347cos 148sin 77cos 58sin(27077)cos(9058)sin 77cos 58(cos 77)(sin 58)sin 77cos 58sin 58cos 77cos 58sin 77sin(5877)sin 135.（2）cos20cos10sin160sin10cos20cos10sin20sin10cos30(3)tan 451，tan 15tan 301tan 15tan 30原式1tan 15tan 30tan 15tan 301.(4)原式tan(6015)tan 75tan(3045)2；（5）.（6）原式.【举一反三】1.【答案】【解析】.2.若cos ，是第三象限的角，则sin.【答案】【解析】是第三象限角，sin ，sin.3.tan 10tan 50tan 10tan 50.【答案】【解析】tan 60tan(1050)，tan 10tan 50tan 60(1tan 10tan 50)tan 10tan 50，原式tan 10tan 50tan 10tan 50.4化简等于 。【答案】【解析】考向二 凑角【例2】(1)设，都是锐角，且cos ，sin()，则cos .（2）已知tan，tan，则tan()的值为(3)设为锐角，若cos，则sin的值为【答案】（1） （2）1 （3）【解析】（1）依题意得sin ，因为sin()，所以，所以cos().于是cos cos()cos()cos sin()sin .（2）tan，tan，tan()tan1.（3）因为为锐角，且cos，所以sin ，所以sinsin 22sincos2.【套路总结】（1）解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系(2) 常见的配角技巧：2()()，()，等(3) 凑角基本思路【举一反三】1.已知cos ，(，0)，tan()1，则tan 的值为【答案】3【解析】cos ，(，0)，sin ，tan 2，故tan tan()3.2已知sin ，则.【答案】【解析】cos sin ，sin ，cos ，原式.3已知cos(+4)=13，则sin2=_【答案】79【解析】cos+4=13cos2+2=2cos2+4-1=29-1=-79又cos2+2=-sin2sin2=79本题正确结果：794.已知cos，则cossin2.【答案】【解析】由题意可知cossin2coscos21.5.设为锐角，若cos，则sin的值为【答案】【解析】为锐角且cos0，sin.sinsinsin 2cos cos 2sin sincos.考向三 三角函数的恒等变化【例3】(1)化简： (0)；(2)求值：sin 10.(3)已知sin cos ，sin cos ，则sin().（4）已知，tan tan 3，则cos()的值为【答案】（1）cos （2） （3） （4）【解析】(1)由(0，)，得00，2cos .又(1sin cos )2cos 2cos cos ，故原式cos .(2)原式sin 10sin 10sin 102cos 10.（3）sin cos ，sin cos ，(sin cos )2，(sin cos )2，即sin22sin cos cos2，sin22sin cos cos2.得sin22sin cos cos2sin22sin cos cos2(sin2cos2)(cos2sin2)2(sin cos sin cos )112sin()22sin()，则sin().（4）tan tan 3，且，cos cos ，又cos()cos cos sin sin ，sin sin ，那么cos()cos cos sin sin .【套路总结】 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点【举一反三】1化简：.【答案】4【解析】原式4tan(4515)4.2化简：_.【答案】2cos 【解析】原式2cos .3化简：_.【答案】cos 2x【解析】原式cos 2x.4化简：2cos()【答案】【解析】原式.【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1sin 20cos 10cos 160sin 10.【答案】【解析】sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 30.2已知是第二象限角，且tan ，则sin 2.【答案】【解析】因为是第二象限角，且tan ，所以sin ，cos ，所以sin 22sin cos 2.3若sin ，则sincos .【答案】【解析】sincos sin cos cos sin cos .4已知sin 2，则cos2.【答案】【解析】因为cos2，所以cos2.5已知为锐角，若sin，则cos.【答案】【解析】由于为锐角，且sin，则cos，则coscoscoscossinsin.6已知cos ，cos()，且，则cos()的值为【答案】【解析】因为，所以2(0，)，因为cos ，所以cos 22cos21，所以sin 2，而，所以(0，)，所以sin()，所以cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin().7若sin，则cos _.【答案】【解析】coscoscos.84cos 50tan 40_.【答案】【解析】原式4sin 40.9若cos，则sin 2_.【答案】【解析】由cos，可得cos sin ，两边平方得(12sin cos )，sin 2.10已知cos4sin4，且，则cos_.【答案】【解析】cos4sin4(sin2cos2)(cos2sin2)cos 2，又，2(0，)，sin 2，coscos 2sin 2.11.已知，且cos ，cos()，则sin .【答案】【解析】由已知可得sin ，sin()，sin sin()sin()cos cos()sin .12.(1tan 17)(1tan 28)的值为【答案】2【解析】原式1tan 17tan 28tan 17tan 281tan 45(1tan 17tan 28)tan 17tan 28112.13若，且3cos 2sin，则sin 2的值为【答案】【解析】由3cos 2sin可得3(cos2sin2)(cos sin )，又由可知，cos sin 0，于是3(cos sin )，所以12sin cos ，故sin 22sin cos 1.14已知sin，则sinsin2.【答案】【解析】由条件得sinsinsin，又sin2cos2cos21sin2，sinsin2.15已知，且cos，sin，则cos()_.【答案】【解析】，又cos，sin，sin，sin，又，cos，cos()coscoscossinsin.16.【sin 50sin 10(1tan 10)_.【答案】【解析】原式sin 80cos 102sin 50cos 10sin 10cos(6010)2sin(5010)2.17已知cos，则sin_.【答案】【解析】由题意可得cos2，cossin 2，即sin 2.因为cos0，所以0，2，根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2，由