哈密顿算符运算原理

电动力学Electrodynamics 主讲教师石东平 教授 硕士 引言Introduction电动力学的研究对象是电磁场的基本性质 运动规律以及它和带电物质之间的相互作用 电动力学的研究内容是阐述宏观电磁场理论 主要从实验定律中总结电磁场的普遍规律 建立Maxwell sequations 讨论稳恒电磁场 电磁波传播 电磁波辐射及电动力学的参考系问题 学习电动力学课程的主要目的是 1 掌握电磁场的基本规律 加深对电磁场性质和时空概念的理解 2 获得本课程领域内分析和处理一些基本问题的初步能力 为以后解决实际问题打下基础 3 通过电磁场运动规律和狭义相对论的学习 更深刻领会电磁场的物质性 帮助我们加深辩证唯物主义的世界观 学习电动力学课程的主要意义是 在生产实践和科学技术领域内 存在着大量和电磁场有关的问题 例如电力系统 凝聚态物理 天体物理 粒子加速器等 都涉及到不少宏观电磁场的理论问题 在迅变情况下 电磁场以电磁波的形式存在 其应用更为广泛 无线电波 热辐射 光波 X射线和 射线等都是在不同波长范围内的电磁波 它们都有共同的规律 因此 掌握电磁场的基本理论对于生产实践和科学实验都有重大的意义 要想学好电动力学 必须树立严谨的学习态度和刻苦的学习作风 电动力学比电磁学难学 主要体现在思维抽象 习题难解上 为此 在学习时要注意掌握好概念 原理 结构和方法 这些在听课 阅读 复习 小结和总复习时都要注意做到 既见树木 更见森林 要在数学与物理结合上下硬功夫 培养物理与数学间相互 翻译 的能力 能熟练地运用数学独立地对教材内容进行推导 并明确它们的物理意义和图象 学习电动力学是一个艰苦的过程 只有 衣带渐宽终不悔 的精神 才能做到 独上高楼 望断天涯路 站得高 看得远 第0章绪论及数学准备 第2章静电场 第3章静磁场 第4章电磁波的传播 第5章电磁波的辐射 电动力学 目录 第1章电磁现象的普遍规律 第6章狭义相对论 课程简介 课程类型 物理学 应用物理学本科生限选课 成绩评定 考试 70 作业 10 学业小论文 半期测验 20 学时学分 72学时 4学分 先修要求 普通物理电磁学 数学物理方程 基本目的 1 学习处理电磁问题的一般理论和方法2 学习狭义相对论的理论和方法 内容提要 1 电磁场的基本规律2 静电问题和静磁问题3 电磁波的辐射和传播4 狭义相对论的概念和理论的数学形式 教材郭硕鸿电动力学高等教育出版社第二版学习参考书1 经典电动力学 蔡圣善 朱耘编著复旦大学出版社2 电动力学 吴寿煌 丁士章编西安交通大学出版社3 ClassicalElectrodynamics J D Jackson 经典电动力学J D 杰克逊著 人民教育出版社 第0章预备知识 矢量场论复习PreliminaryKnowledge ReviseintheVectorFieldTheory 本章重点阐述梯度 散度 旋度三个重要概念及其在不同坐标系中的运算公式 它们三者之间的关系 其中包括两个重要定理 即Gausstheorem和Stokestheorem 以及二阶微分运算和算符运算的重要公式 本章主要内容标量场的梯度算符矢量场的散度高斯定理矢量场的旋度斯托克斯定理在正交曲线坐标系中运算的表达式二阶微分算符格林定理 0 1标量场的梯度 算符GradientofScalarField Operator 1 场的概念场是用空间位置函数来表征的 在物理学中 经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律 如果物理量是标量 那么空间每一点都对应着该物理的一个确定数值 则称此空间为标量场 如电势场 温度场等 如果物理量是矢量 那么空间每一点都存在着它的大小和方向 则称此空间为矢量场 如电场 速度场等 若场中各点处的物理量不随时间变化 就称为稳定场 否则 称为不稳定场 2 方向导数方向导数是标量函数在一点处沿任意方向对距离的变化率 它的数值与所取的方向有关 一般来说 在不同的方向上的值是不同的 但它并不是矢量 如图所示 为场中的任意方向 P1是这个方向线上给定的一点 P2为同一线上邻近的一点 为p2和p1之间的距离 从p1沿到p2的增量为若下列极限存在 则该极限值记作 称之为标量场在p1处沿的方向导数 3 梯度由于从一点出发 有无穷多个方向 即标量场在一点处的方向导数有无穷多个 其中 若过 该点沿某一确定方向取得在该点的最大方向导数 则可引进梯度概念 记作称之为在该点的梯度 grad是gradient缩写 它是一个矢量 其大小 其方向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向 即表示 方向导数与梯度的关系 是等值面上p1点法线方向单位矢量 它指向增长的方向 表示过p2点的任一方向 显见 所以即 该式表明 即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投影 梯度的概念重要性在于 它用来表征标量场在空间各点沿不同方向变化快慢的程度 4 算符 哈密顿算符 算符既具有微分性质又具有方向性质 在任意方向上移动线元距离dl 的增量称为方向微 分 即显然 任意两点值差为 0 2矢量场的散度高斯定理DivergenceofVectorField Gauss sTheorem 1 通量一个矢量场空间中 在单位时间内 沿着矢量场方向通过的流量是dN 而dN是以ds为底 以vcos 为高的斜柱体的体积 即称为矢量通过面元的通量 对于有向曲面s 总可以将s分成许多足够小的面元 于是通过 曲面s的通量N即为每一面元通量之积对于闭合曲面s 通量N为2 散度设封闭曲面s所包围的体积为 则 就是矢量场在中单位体积的平均通量 或者平均发散量 当闭合曲面s及其所包围的体积向其内某点收缩时 若平均发散量的极限值存在 便记作称为矢量场在该点的散度 div是divergence的缩写 散度的重要性在于 可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度 当div 表示该点有散发通量 的正源 当div 表示该点有吸收通量的负源 当div 表示该点为无源场 3 高斯定理它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分 反之亦然 0 3矢量场的旋度斯托克斯定理RotationofVectorField Stoke sTheorem 1 矢量场的环流在数学上 将矢量场沿一条有向闭合曲线L 即取定了正线方向的闭合曲线 的线积分称为沿该曲线L的循环量或流量 2 旋度设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近 那么 以闭合曲线L为界的面积逐渐缩小 也将逐渐减小 一般说来 这两者的比值有一极限值 记作即单位面积平均环流的极限 它与闭合曲线的形状无关 但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向 且通常L的正方向与规定要构成右手螺旋法则 为此定义 称为矢量场的旋度 rot是rotation缩写 旋度的重要性在于 可用以表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度 如果场中处处rot称为无旋场 3 斯托克斯定理 Stoke sTheorem 它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为界的任意曲面的面积分 反之亦然 0 4正交曲线坐标系中运算的表达式ExpressionofOperationonOrthogonalCurvilinearCo OrdinatesSystem 1 度量系数设x y z是某点的笛卡儿坐标 x1 x2 x3是这点的正交曲线坐标 长度元的平方表示为其中 称度量系数 或拉梅系数 正交坐标系完全由三个拉梅系数h1 h2 h3来描述 2 哈密顿算符 梯度 散度 旋度及拉普拉斯算符在正交曲线坐标系下的一般表达式 其中为正交曲线坐标系的基矢 是一个标量函数 是一个矢量函数 只有在笛卡儿坐标系中 在其它正交坐标系中 3 不同坐标系中的微分表达式a 笛卡儿坐标x1 x x2 y x3 zh1 1 h2 1 h3 1 b 圆柱坐标系坐标变量 x1 rx2 x3 z与笛卡儿坐标的关系 x rcos y rsin z z拉梅系数 h1 1h2 rh3 1 将应用于圆柱坐标可得 c 球坐标系 z 坐标变量 与笛卡儿坐标的关系 拉梅系数 其中 0 5二阶微分算符格林定理Second orderDifferentiationOperator Green sTheorem 1 一阶微分运算将算符直接作用于标量场和矢量场 即分别得到梯度 散度和旋度 即这些都叫一阶微分运算 举例 a 设为源点与场之间的距离 r的方向规定为源点指向场点 试分别对场点和源点求r的梯度 第一步 源点固定 r是场点的函数 对场点求梯度用r表示 则有而 同理可得 故得到 第二步 场点固定 r是源点的函数 对源点求梯度用表示 而同理可得 所以得到 b 设u是空间坐标x y z的函数 证明 证 这是求复合函数的导数 梯度 按复合函数微分法则 有 c 设求解 而同理可得 那么这里同理可得故有 由此可见 d 设u是空间坐标x y z的函数 证明证 e 设u是空间坐标x y z的函数 证明证 2 二阶微分运算将算符作用于梯度 散度和旋度 则称为二阶微分运算 设为标量场 为矢量场 并假设的分量具有所需要的阶的连续微商 则不难得到 1 标量场的梯度必为无旋场 2 矢量场的旋度必为无散场 3 无旋场可表示一个