高中数学 第四章 导数应用 4.1.1 导数与函数的单调性课件6 北师大版选修11.ppt

函数y f x 在给定区间g上 当x1 x2 g且x1 x2时 1 都有f x1 f x2 则f x 在g上是增函数 2 都有f x1 f x2 则f x 在g上是减函数 若f x 在g上是增函数或减函数 增函数 减函数 则f x 在g上具有严格的单调性 g称为单调区间 复习引入 g a b 以前 我们主要采用定义法去判断函数的单调性 在函数y f x 比较复杂的情况下 比较f x1 与f x2 的大小并不容易 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单 判断函数单调性有哪些方法 图象法 已知函数 高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h t 4 9t2 6 5t 10图象 高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v t h t 9 8t 6 5图象 运动员从起跳到最高点 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别 观察下面函数的图像 探讨函数的单调性 y 函数在r上 0 0 函数在r上 0 0 由上面的例子 你能得出函数单调性与导数存在什么样的关系 x y o x y o x y o x y o y x y x2 y x3 观察下面一些函数的图象 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系 在某个区间 a b 内 如果 那么函数在这个区间内单调递增 如果 那么函数在这个区间内单调递减 结论 例1已知导函数的下列信息 当1 x 4时 当x 4 或x 1时 当x 4 或x 1时 试画出函数的图象的大致形状 解 当1 x 4时 可知在此区间内单调递增 当x 4 或x 1时 可知在此区间内单调递减 当x 4 或x 1时 综上 函数图象的大致形状如右图所示 例2判断下列函数的单调性 并求出单调区间 解 1 因为 所以 因此 函数在上单调递增 2 因为 所以 当 即时 函数单调递增 当 即时 函数单调递减 例2判断下列函数的单调性 并求出单调区间 解 3 因为 所以 因此 函数在上单调递减 例2判断下列函数的单调性 并求出单调区间 4 因为 所以 当 即时 函数单调递增 当 即时 函数单调递减 例2判断下列函数的单调性 并求出单调区间 求可导函数f x 单调区间的步骤 1 求f x 2 解不等式f x 0 或f x 0 3 确认并指出递增区间 或递减区间 函数单调性与导数正负的关系 注意 应正确理解 某个区间 的含义 它必是定义域内的某个区间 例求证函数f x 2x3 6x2 7在 0 2 内是减函数 证明可导函数f x 在 a b 内的单调性的方法 1 求f x 2 确认f x 在 a b 内的符号 3 作出结论 1 对x a b 如果f x 0 但f x 不恒为0 则f x 在区间 a b 上是增函数 2 对x a b 如果f x 0 但f x 不恒为0 则f x 在区间 a b 上是减函数 补充结论 解 由已知得 因为函数在 0 1 上单调递增 例求证 方程只有一个根 例3如图 水以常速 即单位时间内注入水的体积相同 注入下面四种底面积相同的容器中 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象 a b c d h t o h t o h t o h t o 一般地 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大 那么函数在这个范围内变化得快 这时 函数的图象就比较 陡峭 向上或向下 反之 函数的图象就 平缓 一些 如图 函数在或内的图象 陡峭 在或内的图象 平缓 知识小结 一般地 函数y f x 在某个区间内 如果 则f x 在该区间是增函数 如果 则f x 在该区间是减函数 求单调区间的步骤 1 求函数的定义域 2 求函数的导数 3