高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.1 平均变化率课件 苏教版选修11.ppt

3 1 1平均变化率 第3章 3 1导数的概念 1 通过实例 了解平均变化率的概念 并会求具体函数的平均变化率 重点 2 了解平均变化率概念的形成过程 会在具体的环境中 说明平均变化率的实际意义 难点 3 了解平均变化率的正负 易混点 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一函数的平均变化率 思考1当空气容量v从0增加到1l时 气球的平均膨胀率是多少 答案 思考2当空气容量从v1增加到v2时 气球的平均膨胀率是多少 答案 梳理 y f x2 f x1 知识点二平均变化率的意义 思考如何用数学反映曲线的 陡峭 程度 答案 如图 表示a b之间的曲线和b c之间的曲线的陡峭程度 可以近似地用直线的斜率来量化 梳理 题型探究 例1 1 已知函数f x 2x2 3x 5 类型一求函数的平均变化率 解答 因为f x 2x2 3x 5 所以 y f x1 x f x1 2 x1 x 2 3 x1 x 5 2x 3x1 5 2 x 2 2x1 x 3 x 2 x 2 4x1 3 x 当x1 4 x2 5时 x 1 y 2 x 2 4x1 3 x 2 19 21 21 当x1 4 x2 4 1时 x 0 1 y 2 x 2 4x1 3 x 0 02 1 9 1 92 解答 在x 1附近的平均变化率为 在x 2附近的平均变化率为 在x 3附近的平均变化率为 由于k1 k2 k3 所以在x 3附近的平均变化率最大 求平均变化率的主要步骤 1 先计算函数值的改变量 y f x2 f x1 2 再计算自变量的改变量 x x2 x1 反思与感悟 跟踪训练1 1 已知函数f x x2 2x 5的图象上的一点a 1 6 及邻近一点b 1 x 6 y 则 答案 解析 x 2 如图所示是函数y f x 的图象 则函数f x 在区间 1 1 上的平均变化率为 函数f x 在区间 0 2 上的平均变化率为 答案 解析 例2在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度h 单位 m 与起跳后的时间t 单位 s 存在函数关系h t 4 9t2 6 5t 10 1 求运动员在第一个0 5s内高度h的平均变化率 类型二平均变化率的应用 解答 2 求高度h在1 t 2这段时间内的平均变化率 解答 反思与感悟 1 结合物理知识可知 在第一个0 5s内高度h的平均变化率为正值 表示此时运动员在起跳后处于上升过程 在1 t 2这段时间内 高度h的平均变化率为负值 表示此时运动员已开始向水面下降 事实上平均变化率的值可正 可负也可以是0 2 平均变化率的应用主要有 求某一时间段内的平均速度 物体受热膨胀率 高度 重量 的平均变化率等等 解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量 跟踪训练22012年冬至2013年春 我国北部某省冬麦区遭受严重干旱 根据某市农业部门统计 该市小麦受旱面积如图所示 据图回答 1 2012年11月至2012年12月间 小麦受旱面积变化大吗 解答 在2012年11月至2012年12月间 s变化不大 即小麦受旱面积变化不大 2 哪个时间段内 小麦受旱面积增幅最大 解答 3 从2012年11月至2013年2月间 与从2013年1月至2013年2月间 试比较哪个时间段内 小麦受旱面积增幅较大 解答 所以在2013年1月至2013年2月间 小麦受旱面积增幅较大 当堂训练 1 2 3 4 5 1 若函数f x x2的图象上存在点p 1 1 及邻近的点q 1 x 1 y 则的值为 答案 解析 2 x 1 2 3 4 5 s r2 2 圆的半径r从0 1变化到0 3时 圆的面积s的平均变化率为 0 4 答案 解析 1 2 3 4 5 3 如图 函数y f x 在a b两点间的平均变化率是 答案 解析 1 1 2 3 4 5 4 如图 函数y f x 在 x1 x2 x2 x3 x3 x4 这几个区间内 平均变化率最大的一个区间是 答案 解析 x3 x4 由平均变化率的定义可知 结合图象可以发现函数y f x 的平均变化率最大的一个区间是 x3 x4 函数y f x 在区间 x1 x2 x2 x3 x3 x4 上的平均变化率分别为 1 2 3 4 5 5 甲企业用2年时间获利100万元 乙企业投产6个月时间就获利30万元 如何比较和评价甲 乙两企业的生产效益 设两企业投产前的投资成本都是10万元 解答 1 2 3 4 5 规律与方法 1 准确理解平均变化率的意义是求解平均变化率的关键 其实质是函数值增量 y与自变量取值增量 x的比值 涉及具体问题 计算 y很容易出现运算错误 因此 计算时要注意括号的应用 先列式再化简 这是减少错误