高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法（二）课件 新人教A版必修5.ppt

第三章不等式 3 2一元二次不等式及其解法 二 1 会解可化为一元二次不等式 组 的简单分式不等式 2 能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型 并加以解决 3 掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一分式不等式的解法主导思想 化分式不等式为整式不等式 答案 知识点二简单的一元高次不等式的解法一元高次不等式f x 0常用数轴穿根法 或称根轴法 区间法 求解 其步骤是 1 将f x 最高次项的系数化为正数 2 将f x 分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积 3 将每一个根标在数轴上 从右上方依次通过每一点画曲线 注意重根情况 偶重根穿而不过 奇重根既穿又过 4 根据曲线显现出的f x 值的符号变化规律 写出不等式的解集 思考 x 1 x 2 x 3 2 x 4 0的解集为 答案 解析利用数轴穿根法 x 1 x 2或x 4 知识点三一元二次不等式恒成立问题对一元二次不等式恒成立问题 可有以下两种思路 1 转化为一元二次不等式解集为r的情况 即ax2 bx c 0 a 0 恒成立 答案 a 0 0 ax2 bx c 0 a 0 恒成立 a 0 0 2 分离参数 将恒成立问题转化为求最值问题 即 k f x 恒成立 k f x 恒成立 k f x min 返回 k f x max 题型探究重点突破 题型一分式不等式的解法例1解下列不等式 解析答案 此不等式等价于 x 4 x 3 0 原不等式的解集为 x x 4或x 3 解析答案 反思与感悟 x 2或x 5 原不等式的解集为 x x 2或x 5 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 解 得x 5 解 得x 2 原不等式的解集为 x x 2或x 5 反思与感悟 解析答案 原不等式 x2 2x 20 x 2 2 0 x 2 不等式的解集为 x x 2 a 题型二解一元高次不等式例2解下列不等式 1 x4 2x3 3x2 0 解析答案 解原不等式可化为x2 x 3 x 1 0 当x 0时 x2 0 由 x 3 x 1 0 得 1 x 3 当x 0时 原不等式为0 0 无解 原不等式的解集为 x 1 x 3 且x 0 2 1 x x3 x4 0 解析答案 解原不等式可化为 x 1 x 1 x2 x 1 0 而对于任意x r 恒有x2 x 1 0 原不等式等价于 x 1 x 1 0 原不等式的解集为 x 1 x 1 3 6x2 17x 12 2x2 5x 2 0 解析答案 反思与感悟 解原不等式可化为 2x 3 3x 4 2x 1 x 2 0 解高次不等式时 主导思想是降次 即因式分解后 能确定符号的因式应先考虑约分 然后可以转化为一元二次不等式 当然也可考虑数轴穿根法 反思与感悟 解析答案 解析由题意知x2 px q x 1 x 2 则待解不等式等价于 x 1 x 2 x2 5x 6 0 x 1 x 2 x 6 x 1 0 x 1或1 x 2或x 6 d 题型三不等式恒成立问题例3对任意的x r 函数f x x2 a 4 x 5 2a 的值恒大于0 则a的取值范围为 解析答案 反思与感悟 解析由题意知 f x 开口向上 故要使f x 0恒成立 只需 0即可 即 a 4 2 4 5 2a 0 解得 2 a 2 2 2 有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题 通常处理方法有两种 1 考虑能否进行参变量分离 若能 则构造关于变量的函数 转化为求函数的最大 小 值 从而建立参数的不等式 2 若参变量不能分离 则应构造关于变量的函数 如一元一次 一元二次函数 并结合图象建立关于参数的不等式求解 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3对任意a 1 1 函数f x x2 a 4 x 4 2a的值恒大于零 则x的取值范围是 a 1 x 3b x 1或x 3c 1 x 2d x 1或x 2 解析f x 0 x2 a 4 x 4 2a 0 即 x 2 a x2 4 4x 0 设g a x 2 a x2 4x 4 x 1或x 3 b 题型四一元二次不等式在生活中的应用例4某人计划收购某种农产品 如果按每吨200元收购某农产品 并按每100元纳税10元 又称征税率为10个百分点 计划可收购a万吨 政府为了鼓励个体多收购这种农产品 决定将征税率降低x x 0 个百分点 预测收购量可增加2x个百分点 1 写出税收y 万元 与x的函数关系式 解析答案 2 要使此项税收在征税率调节后 不少于原计划税收的83 2 试确定x的取值范围 解析答案 反思与感悟 不等式应用题常以函数 数列为背景出现 多是解决现实生活 生产中的最优化问题 在解题中主要涉及到不等式的解法等问题 构造数学模型是解不等式应用题的关键 反思与感悟 跟踪训练4在一个限速40km h以内的弯道上 甲 乙两辆汽车相向而行 发现情况不对 同时刹车 但还是相碰了 事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m 乙车的刹车距离略超过10m 又知甲 乙两种车型的刹车距离sm与车速xkm h之间分别有如下关系 s甲 0 1x 0 01x2 s乙 0 05x 0 005x2 解析答案 问超速行驶谁应负主要责任 解由题意列出不等式s甲 0 1x 0 01x2 12 s乙 0 05x 0 005x2 10 分别求解 得x30 x40 由于x 0 从而得x甲 30km h x乙 40km h 经比较知乙车超过限速 应负主要责任 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 解析 a x 1 x 1 b x 0 x 2 b 解析答案 a b x 0 x 1 1 2 3 4 5 2 若集合a x ax2 ax 1 0 则实数a的值的集合是 a a 0 a 4 b a 0 a 4 c a 0 a 4 d a 0 a 4 解析a 0时符合题意 a 0时 相应二次方程中的 a2 4a 0 得 a 0 a 4 综上 得 a 0 a 4 故选d d 解析答案 解析原式可转化为 x 1 x 2 2 x 3 x 4 0 根据数轴穿根法 解集为 4 x 3或x 1 1 2 3 4 5 解析答案 x 4 x 3或x 1 1 2 3 4 5 解析答案 4 设x2 2x a 8 0对于任意x 1 3 恒成立 求a的取值范围 解原不等式x2 2x a 8 0转化为a x2 2x 8对任意x 1 3 恒成立 设f x x2 2x 8 易知f x 在 1 3 上的最小值为f 3 5 a 5 1 2 3 4 5 解析答案 5 某文具店购进一批新型台灯 若按每盏台灯15元的价格销售 每天能卖出30盏 若售价每提高1元 日销售量将减少2盏 为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入 应怎样制定这批台灯的销售价格 解设每盏台灯售价x元 则x 15 并且日销售收入为x 30 2 x 15 由题意知 当x 15时 有x 30 2 x 15 400 解得 15 x 20 所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入 应当制定这批台灯的销售价格为x 15 20 课堂小结 1 解分式不等式时 一定要等价变形为一边为零的形式 再化归为一元二次不等式 组 求解 若不等式含有等号时 一定要考虑分母不为零 2 对于有的恒成立问题 分离参数是一种行之有效的方法 这是因为将参数予以分离后 问题往往会转化为函数问题 从而得以迅速