广东省佛山市高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列及其前n项和课件 新人教A版必修5.ppt

第2讲等差数列及其前n项和 最新考纲1 理解等差数列的概念 2 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 3 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系 并能用等差数列的有关知识解决相应的问题 4 了解等差数列与一次函数的关系 知识梳理 2 同一个常数 公差 a1 n 1 d n m d 3 等差数列的有关性质已知数列 an 是等差数列 sn是 an 的前n项和 1 若m n p q m n p q n 则有am an ap aq 2 等差数列 an 的单调性 当d 0时 an 是 数列 当d 0时 an 是 数列 当d 0时 an 是 3 若 an 是等差数列 公差为d 则ak ak m ak 2m k m n 是公差为 的等差数列 4 数列sm s2m sm s3m s2m 也是等差数列 递增 递减 常数列 md 5 等差数列的前n项和的最值在等差数列 an 中 a1 0 d 0 则sn存在最 值 若a1 0 d 0 则sn存在最 值 大 小 诊断自测 1 下列结论正确的打 错误的打 1 若一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的差都是常数 则这个数列是等差数列 2 已知数列 an 的通项公式是an pn q 其中p q为常数 则数列 an 一定是等差数列 3 数列 an 为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数 4 数列 an 为等差数列的充要条件是对任意n n 都有2an 1 an an 2 5 等差数列 an 的单调性是由公差d决定的 6 等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数 2 2016河南商丘三模 在等差数列 an 中 首项a1 0 公差d 0 若ak a1 a2 a3 a7 则k a 22b 23c 24d 25 数列 an 为等差数列且首项a1 0 公差d 0 ak k 1 d 又ak a1 a2 a3 a7 21d k 1 d 21d k 22 故选a 3 设sn是等差数列 an 的前n项和 若a10 a11 a12 6 则s21 a 42b 21c 23d 44 补充 4 在等差数列 an 中 a1 7 公差为d 前n项和为sn 当且仅当n 8时sn取得最大值 则d的取值范围为 5 教材例题改编p16例7 在100以内的正整数中有个能被6整除的数 a 考点一等差数列基本量的运算 例1 1 2016河北唐山一模 在等差数列 an 中 a4 2 且a1 a2 a10 65 则公差d的值是 a 4b 3c 1d 2 2 设等差数列 an 的前n项和为sn 若sm 1 2 sm 0 sm 1 3 则m等于 a 3b 4c 5d 6思考求等差数列基本量的一般方法是什么 1 b 2 c 2 方法一 由已知得 am sm sm 1 2 am 1 sm 1 sm 3 数列 an 为等差数列 d am 1 am 1 m 0 a1 2 又am a1 m 1 d 2 解得m 5 规律方法 1 等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1 an d n sn 知其中三个就能求另外两个 体现了用方程的思想来解决问题 2 数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用 而a1和d是等差数列的两个基本量 用它们表示已知和未知是常用方法 1 b 2 c 3 72 2 2016全国乙卷3 已知等差数列 an 前9项的和为27 a10 8 则a100 a 100b 99c 98d 97 3 设sn为等差数列 an 的前n项和 a12 8 s9 9 则s16 考点二等差数列的判定与证明 典例迁移 例2数列 an 满足a1 1 a2 2 an 2 2an 1 an 2 1 设bn an 1 an 证明 bn 是等差数列 2 求 an 的通项公式 思考判断一个数列为等差数列的基本方法有哪些 1 证明由an 2 2an 1 an 2得an 2 an 1 an 1 an 2 即bn 1 bn 2 又b1 a2 a1 1 所以 bn 是首项为1 公差为2的等差数列 2 解由 1 得bn 1 2 n 1 2n 1 即an 1 an 2n 1 所以an 1 a1 n2 即an 1 n2 a1 又a1 1 所以 an 的通项公式为an n2 2n 2 补充 规律方法等差数列的四种判断方法 1 定义法 对于n 2的任意自然数 验证an an 1为同一常数 2 等差中项法 验证2an 1 an an 2 n 3 n n 都成立 3 通项公式法 验证an pn q 4 前n项和公式法 验证sn an2 bn 后两种方法只能用来判断是否为等差数列 而不能用来证明等差数列 主要适合在选择题中简单判断 考点三等差数列的性质及应用 例3 1 2015 全国 卷 设sn是等差数列 an 的前n项和 若a1 a3 a5 3 则s5 a 5b 7c 9d 11 2 2016江苏 8 已知 an 是等差数列 sn是其前n项和 若s5 10 则a9的值是 答案 1 a 2 b 3 4034 考点四等差数列前n项和及其最值 例4 1 2017 衡水月考 等差数列 an 的前n项和为sn 已知a1 13 s3 s11 当sn最大时 n的值是 a 5b 6c 7d 8 2 设数列 an 的通项公式为an 2n 10 n n 则 a1 a2 a15 解析 1 法一由s3 s11 得a4 a5 a11 0 根据等差数列的性质 可得a7 a8 0 根据首项等于13可推知这个数列递减 从而得到a7 0 a8 0 故n 7时sn最大 2 由an 2n 10 n n 知 an 是以 8为首项 2为公差的等差数列 又由an 2n 10 0得n 5 n 5时 an 0 当n 5时 an 0 a1 a2 a15 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a15 20 100 130 答案 1 c 2 130 规律方法求等差数列前n项和的最值 常用的方法 1 利用等差数列的单调性 求出其正负转折项 2 利用性质求出其正负转折项 便可求得和的最值 3 将等差数列的前n项和sn an2 bn a b为常数 看作二次函数 根据二次函数的性质求最值 对点训练4 1 等差数列 an 的前n项和为sn 已知a5 a7 4 a6 a8 2 则当sn取最大值时 n的值是 a 5b 6c 7d 8 2 设数列 an 是公差d 0的等差数列 sn为前n项和 若s6 5a1 10d 则sn取最大值时 n的值为 a 5b 6c 5或6d 11 1 依题意得2a6 4 2a7 2 a6 2 0 a7 1 0 又数列 an 是等差数列 因此在该数列中 前6项均为正数 自第7项起以后各项均为负数 于是当sn取最大值时 n 6 选b 2 由题意得s6 6a1 15d 5a1 10d a6 0 故当n 5或n 6时 sn最大 选c 思想方法 1 在解有关等差数列的基本量问题时 可通过列关于a1 d的方程组进行求解 2 证明等差数列要用定义 另外还可以用等差中项法 通项公式法 前n项和公式法判定一个数列是