高考数学总复习 3.2.3 导数与函数的综合问题课件 文 新人教B版.ppt

答案 d 命题点3不等式恒成立问题 例3 2016 湖南长沙长郡中学第六次月考 已知函数f x xlnx ax2 a a r 其导函数为f x 1 求函数g x f x 2a 1 x的极值 2 当x 1时 关于x的不等式f x 0恒成立 求a的取值范围 方法规律 1 利用导数解不等式 一般可构造函数 利用已知条件确定函数单调性解不等式 2 证明不等式f x g x 可构造函数f x f x g x 利用导数求f x 的值域 得到f x 0即可 3 利用导数研究不等式恒成立问题 首先要构造函数 利用导数研究函数的单调性 求出最值 进而得出相应的含参不等式 从而求出参数的取值范围 也可分离变量 构造函数 直接把问题转化为函数的最值问题 方法规律 研究方程根的情况 可以通过导数研究函数的单调性 最大值 最小值 变化趋势等 根据题目要求 画出函数图象的走势规律 标明函数极 最 值的位置 通过数形结合的思想去分析问题 可以使问题的求解有一个清晰 直观的整体展现 跟踪训练2已知函数f x x2 xsinx cosx的图象与直线y b有两个不同交点 求b的取值范围 解析 f x x 2 cosx 令f x 0 得x 0 当x 0时 f x 0 f x 在 0 上递增 当x 0时 f x 0 f x 在 0 上递减 f x 的最小值为f 0 1 函数f x 在区间 0 和 0 上均单调 当b 1时 曲线y f x 与直线y b有且仅有两个不同交点 综上可知 b的取值范围是 1 于是 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由上表可得 x 4时 函数f x 取得极大值 也是最大值 所以 当x 4时 函数f x 取得最大值 且最大值等于42 答 当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 方法规律 在求实际问题中的最大值或最小值时 一般先设自变量 因变量 建立函数关系式 并确定其定义域 利用求函数最值的方法求解 注意结果应与实际情况相符合 用导数求实际问题中的最大 小 值 如果函数在区间内只有一个极值点 那么根据实际意义可知该极值点就是最值点 解析 由y x2 39x 40 0 得x 1或x 40 由于0 x 40时 y 0 x 40时 y 0 所以当x 40时 y有最小值 答案 40 即f x g x 恒成立 11分 因此 当a 1时 在区间 1 上 函数f x 的图象在函数g x 图象的下方 12分 温馨提醒 1 导数法是求解函数单调性 极值 最值 参数等问题的有效方法 应用导数求单调区间关键是求解不等式的解集 最值问题关键在于比较极值与端点函数值的大小 参数问题涉及的有最值恒成立的问题 单调性的逆向应用等 求解时注意分类讨论思想的应用 2 对于一些复杂问题 要善于将问题转化 转化成能用熟知的导数研究问题 方法与技巧1 用导数方法证明不等式f x g x 时 找到函数h x f x g x 的零点是解题的突破口 2 在讨论方程的根的个数 研究函数图象与x轴 或某直线 的交点个数 不等式恒成立等问题时 常常需要求出其中参数的取值范围 这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极 最 值的应用 3 在实际问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可 不必再与端点的函数值比较 失误与防范1 利用导数解决恒成立问题