第1章122第二课时

第二课时组合的应用 学习目标1 进一步深化排列与组合的概念 熟练排列数公式及组合数公式 2 应用排列与组合知识解决简单的实际问题 课堂互动讲练 知能优化训练 第二课时 课前自主学案 课前自主学案 组合常见问题及对策解答有限制条件的组合问题的基本方法是 直接法 和 排除法 其中用直接法求解时 应坚持 特殊元素优先选取 的原则 优先安排 的选取 再安排其他元素的选取 而选择间接法的原则是 正难则反 也就是若正面问题分类较多 较复杂或计算量较大 不妨从反面问题入手 试一试看是否简捷些 特别是涉及 至多 至少 等组合问题时更是如此 此时正确理解 都不是 不都是 至多 至少 等词语的确切含义 是解决这类组合问题的关键 间接法 特殊元素 把6个不同苹果 按1个 2个 3个的数量分给甲 乙 丙三个小朋友 这个问题是排列问题 还是组合问题 提示 把6个不同的苹果按1个 2个 3个分为3组 是组合问题 再分给甲 乙 丙三个人 是排列问题 这是排列与组合的混合问题 课堂互动讲练 对题目中的元素分类后 被取出的元素 含有 哪一类 含有 多少个 或者对于某个特殊元素 被取出的元素中含不含这个特殊元素 这是解题的关键 在一次数学竞赛中 某学校有12人通过了初试 学校要从中选出5人去参加市级培训 在下列条件下 有多少种不同的选法 1 任意选5人 2 甲 乙 丙三人必须参加 3 甲 乙 丙三人不能参加 4 甲 乙 丙三人只能有1人参加 5 甲 乙 丙三人至少1人参加 思路点拨 本题属于组合问题中的最基本的问题 可根据题意分别对不同问题中的 含 与 不含 作出正确的判断和分析 注意 至少 至多 问题 运用间接法解会简化思维过程 思维总结 要理解题目中的关键字 必须 不能 只能 至少 准确求解 把题目中所给的元素 不同 分开成几组 求其分法 6本不同的书 按下列要求各有多少种不同的选法 1 分给甲 乙 丙三人 每人两本 2 分为三份 每份两本 3 分为三份 一份一本 一份两本 一份三本 4 分给甲 乙 丙三人 一人一本 一人两本 一人三本 5 分给甲 乙 丙三人 每人至少一本 思路点拨 1 是平均分组问题 与顺序无关 相当于6本不同的书平均分给甲 乙 丙三人 可以理解为一个人一个人地来取 2 是 均匀分组 问题 3 是分组问题 分三步进行 4 分组后再分配 5 明确 至少一本 包括 2 2 2型 1 2 3型 1 1 4型 误区警示 分组问题是组合问题 分配问题是排列问题 分组 方法与 组合数 是不同的概念 几何图形可看作几何元素的一个组合 1 以正方体的顶点为顶点 可以确定多少个四面体 2 以正方体的顶点为顶点 可以确定多少个四棱锥 思路点拨 四面体可看作不共面四点的一个组合 四棱锥是共面四点与平面外一点的组合 1 可用间接法 2 可用直接法 思维总结 几何中的组合问题要注意利用几何概念 如不共线的三点才组成三角形 不共线的三点才确定一个平面等 变式训练2正六边形顶点和中心共7个点 可组成 个三角形 答案 32 方法技巧1 对于 含 与 不含 至少 至多 的组合问题 要善于把所给元素分类 分析分别从每类元素抽取多少个元素来组成所要抽取的元素 一般用分类加法原理 如例1 2 常见的分组问题 1 完全均匀分组 每组的元素个数均相等 2 部分均匀分组 应注意不要重复 有n组均匀 最后必须除以n 3 完全非均匀分组 这种分组不考虑重复现象 如例23 解决与几何图形有关的组合问题时 要善于利用几何图形的有关性质和特征 充分挖掘图形的隐含条件 转化为有限制条件的组合问题求解 如例3 失误防范1 区分开是排列还是组合 是分步还是分类 2 注意几何问题本身的限制条