高考数学一轮复习 第六章 数列 第三节 等比数列及其前n项和课件 文.ppt

第三节等比数列及其前n项和 总纲目录 教材研读 1 等差数列的定义 考点突破 2 等比数列的通项公式 3 等比中项 考点二等比数列的判定与证明 考点一等比数列的基本运算 考点三等比数列的性质 4 等比数列的常用性质 5 等比数列的前n项和公式 6 等比数列前n项和的性质 1 等差数列的定义如果一个数列从 第二项起 每一项与前一项的比等于 同一个常数 那么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的 公比 通常用字母 q表示 定义的表达式为 q n n 教材研读 2 等比数列的通项公式等比数列 an 的通项公式为an a1qn 1 3 等比中项若 g2 ab ab 0 则g叫做a与b的等比中项 4 等比数列的常用性质 1 通项公式的推广 an am qn m n m n 2 若 an 为等比数列 且k l m n k l m n n 则 akal aman 3 若 an bn 项数相同 是等比数列 则 an 0 an bn 仍是等比数列 5 等比数列的前n项和公式等比数列 an 的公比为q q 0 其前n项和为sn 当q 1时 sn na1 当q 1时 sn 6 等比数列前n项和的性质公比不为 1的等比数列 an 的前n项和为sn 则sn s2n sn s3n s2n仍成等比数列 其公比为qn 与等比数列有关的结论 1 an am qn m an m anqm amqn m n n 2 a1a2a3 am am 1am 2 a2m a2m 1a2m 2 a3m 成等比数列 m n 3 若等比数列的项数为2n n n 公比为q 奇数项之和为s奇 偶数项之和为s偶 则 q 4 三个数成等比数列 通常设为 x xq 四个数成等比数列 通常设为 xq xq3 1 等比数列 an 中 a3 12 a4 18 则a6等于 a 27b 36c d 54 答案c解法一 由a3 12 a4 18 得解得a1 q 所以a6 a1q5 故选c 解法二 由等比数列性质知 a2a4 所以a2 8 又 a2a6 所以a6 故选c c 2 在等比数列 an 中 已知a7a12 5 则a8a9a10a11 a 10b 25c 50d 75 b 答案b a7a12 5 a8a9a10a11 a8a11 a9a10 a7a12 2 25 3 已知在等比数列 an 中 a2 a3 ak 则k 7 答案7 解析设 an 的公比为q a2 a3 q a1 1 由ak a1 解得k 7 4 在数列 an 中 a1 2 an 1 2an sn为 an 的前n项和 若sn 126 则n 6 答案6 解析由已知得 an 为等比数列 公比q 2 由首项a1 2 sn 126得 126 解得2n 1 128 n 6 5 在9与243中间插入两个数 使它们同这两个数成等比数列 则这两个数为 27 81 答案27 81 解析设该数列的公比为q 由题意知 243 9 q3 得q3 27 所以q 3 所以插入的两个数分别为9 3 27 27 3 81 6 设sn为等比数列 an 的前n项和 8a2 a5 0 则 11 答案 11 解析设数列 an 的公比为q 则8a1q a1q4 0 又a1 0 q 0 q 2 11 典例1 2017课标全国 17 12分 已知等差数列 an 的前n项和为sn 等比数列 bn 的前n项和为tn a1 1 b1 1 a2 b2 2 1 若a3 b3 5 求 bn 的通项公式 2 若t3 21 求s3 考点一等比数列的基本运算 考点突破 解析设 an 的公差为d bn 的公比为q 则an 1 n 1 d bn qn 1 由a2 b2 2得d q 3 1 由a3 b3 5得2d q2 6 联立 和 解得 舍去 或因此 bn 的通项公式为bn 2n 1 2 由b1 1 t3 21得q2 q 20 0 解得q 5或q 4 当q 5时 由 得d 8 则s3 21 当q 4时 由 得d 1 则s3 6 方法技巧解决等比数列有关问题的常用思想方法 1 方程的思想 等比数列中有五个量a1 n q an sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 求关键量a1和q 问题可迎刃而解 2 分类讨论的思想 等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论 当q 1时 数列 an 的前n项和sn na1 当q 1时 数列 an 的前n项和sn 1 1 2017湖北武汉调研 设公比为q q 0 的等比数列 an 的前n项和为sn 若s2 3a2 2 s4 3a4 2 则a1 a 2b 1c d b 答案b由s2 3a2 2 s4 3a4 2作差可得a3 a4 3a4 3a2 即2a4 a3 3a2 0 所以2q2 q 3 0 解得q 或q 1 舍 将q 代入s2 3a2 2得 a1 a1 3 a1 2 解得a1 1 1 2等比数列 an 的各项均为实数 其前n项和为sn 已知s3 s6 则a8 32 答案32 解析设等比数列 an 的公比为q 当q 1时 s3 3a1 s6 6a1 2s3 不符合题意 q 1 由题设可得解得 a8 a1q7 27 32 典例2已知数列 an 的前n项和sn 1 an 其中 0 1 证明 an 是等比数列 并求其通项公式 2 若s5 求 考点二等比数列的判定与证明 解析 1 证明 由题意得a1 s1 1 a1 故 1 a1 a1 0 由sn 1 an sn 1 1 an 1得an 1 an 1 an 即an 1 1 an 由a1 0 0得an 0 所以 因此 an 是首项为 公比为的等比数列 于是an 2 由 1 得sn 1 由s5 得1 即 解得 1 方法技巧等比数列的判定与证明的常用方法 1 定义法 q q为常数且q 0 或 q q为常数且q 0 n 2 an 为等比数列 2 等比中项法 an an 2 an 0 n n an 为等比数列 3 通项公式法 an a1qn 1 其中a1 q为非零常数 n n an 为等比数列 4 前n项和公式法 若sn表示数列 an 的前n项和 且sn aqn a a 0 q 0 q 1 则数列 an 是公比为q的等比数列 提醒 由an 1 qan q 0 并不能断言 an 为等比数列 还要验证a1 0 证明一个数列 an 不是等比数列 只需要说明前三项满足 a1 a3 或者存在一个正整数m 使得 am am 2即可 2 1设数列 an 的前n项和为sn 已知a1 2a2 3a3 nan n 1 sn 2n n n 1 求a2 a3的值 2 求证 数列 sn 2 是等比数列 解析 1 a1 2a2 3a3 nan n 1 sn 2n n n 当n 1时 a1 2 1 2 当n 2时 a1 2a2 a1 a2 4 a2 4 当n 3时 a1 2a2 3a3 2 a1 a2 a3 6 a3 8 综上 a2 4 a3 8 2 证明 a1 2a2 3a3 nan n 1 sn 2n n n 当n 2时 a1 2a2 3a3 n 1 an 1 n 2 sn 1 2 n 1 得nan n 1 sn n 2 sn 1 2 n sn sn 1 sn 2sn 1 2 nan sn 2sn 1 2 sn 2sn 1 2 0 即sn 2sn 1 2 sn 2 2 sn 1 2 s1 2 4 0 sn 1 2 0 2 故 sn 2 是以4为首项 2为公比的等比数列 典例3 1 2017湖南长沙质检 若等比数列 an 的各项均为正数 且a10a11 a9a12 2e5 则lna1 lna2 lna20 2 等比数列 an 的前n项和为sn 若an 0 q 1 a3 a5 20 a2a6 64 则s5 3 设等比数列 an 的前n项和为sn 若s6 s3 1 2 则s9 s3 考点三等比数列的性质 答案 1 50 2 31 3 3 4 解析 1 因为等比数列 an 中 a10 a11 a9 a12 所以由a10a11 a9a12 2e5 可解得a10 a11 e5 所以lna1 lna2 lna20 ln a1 a2 a20 ln a10 a11 10 10ln a10 a11 10 lne5 50 2 由等比数列的性质 得a3a5 a2a6 64 于是由且an 0 q 1 得a3 4 a5 16 所以解得所以s5 31 3 由题意可知q 1 故由等比数列的性质知 s3 s6 s3 s9 s6仍成等比数列 于是 s6 s3 2 s3 s9 s6 将s6 s3代入可得 规律总结等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类 1 通项公式的变形 2 等比中项的变形 3 前n项和公式的变形 根据题目条件 认真分析 发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口 提醒 在应用相应性质解题时 要注意性质成立的前提条件 有时需要进行适当变形 解题时注意设而不求思想的运用 3 1 2017云南八校调研 已知数列 an 是等比数列 sn为其前n项和 若a1 a2 a3 4 a4 a5