2017届中考数学二轮专题复习《求解最值问题的几种思路》素材苏教版

求解最值问题的几种思路求解最值问题的几种思路 最值问题涉及的知识面较广 解法灵活多变 越含着丰富的数学思想方法 对发展学生 的思维 提升学生解题能力起着十分重要的作用 本文举例介绍这类问题的常见思路和方法 一 利用非负数的性质 在实数范围内 显然有 22 mnpp 当且仅当0mn时 等号成立 即 22 mnp的最小值为p 例 1 形码 设a b为实数 求 22 2aabbab的最小值 解析 22 2aabbab 22 1 2ababb 22 1331 2424 b abb 22 13 1 1 24 b ab1 当 1 0 10 2 b ab 即0 1ab时 上式等号成立 故 22 2aabbab的最小值为 1 二 均值代换法 在一些数学问题中 常遇到含有mnp型条件的问题 若用 22 pp mq nq来 代换 往往能获得简捷的妙法 例 2已知x y为实数 且 22 2xy 求 2 2 xyxy的最值 解析由 22 22xyxy得1xy 易得最小值为3 设 22 1 1xk yk 其中11k 2222 2 2 44 1 3xyxyx ykk 又 2 0331 3k 即 2 334k 2 2 xyxy的最小值是3 最大值是 2 三 局部换元法 例 3若1abc 求 222 abc的最小值 解析设 11 33 ab 资料下载来源 中考数学复习资料群 797817218 初中数学教师群 95837671 初中数学资料群 638944765 更多1万个QQ群的入口在抖音 微博 全球第一群主 什么群都有 覆盖所有行业所有领域 衡水中学初中资料群 456879477 初中全科资料群 775983524 初中学霸笔记共享群 902911824 初中思维导图共享群 831524442 J 则 1 3 c 2 22222 111 333 abc 222 11 33 故 222 abc的最小值为 1 3 四 积化和差法 完全平方公式 222 2abaabb 222 2abaabb 将这两个公式的左右两边分别相减 得 结论 1 22 4 ababab 由于 2 0ab 故由 又可得如下积化和的完全平方不等式 结论 2 2 4 abab 当且仅当ab时 等号成立 结论 表明两个代数式之积可化为它们的和差的关系式 应用上述公式解题 方法 独特 别致新颖 给人一种清晰 明快的感觉 例 4设 2222 1xyaa 求 22 11Sxy的最大值 解把 22 11Sxy两边平方得 22222 2 2 11Sxyxy 即 2222 22 11Saxy 2222 1 11 2 2 xySa 由积化和差公式 得 2222 2222 1111 11 22 xyxy xy 代人上式 得 22 2222 111 2 222 xyS Sa 22 222 1111 10 242 xy Sa 资料下载来源 中考数学复习资料群 797817218 初中数学教师群 95837671 初中数学资料群 638944765 更多1万个QQ群的入口在抖音 微博 全球第一群主 什么群都有 覆盖所有行业所有领域 衡水中学初中资料群 456879477 初中全科资料群 775983524 初中学霸笔记共享群 902911824 初中思维导图共享群 831524442 22 42Sa 2 0 42SSaQ 又 2 2 xya时 2 2 2 142 2 a Sa 2 42Sa 最大值 注有时将积化和差公式 22 4 ababab 化为如下形式 22 22 abab ab 用起来比较方便 五 配方法 解题时把题中所给的代数式 应用配方法化成一个或几个完全平方式与常数的代数和的 形式 再根据 2 0ab 可求出代数式的最小值 根据 2 0ab 可求出代数式的 最大值 例 5求函数 42 1yxx的最值 解析 22222 13 1 24 yxxx 2 0 xQ 2 x的最小值是 0 x最小也是 0 当0 x时 y的最小值为 2 13 0 1 24 注本题如果机械地套用二次函数求极值的公式去求y的最值 那就错了 事实上 当 2 1 22 b x a 时 y取得极小值 这是不可能的 一般情况下 如果自变量取值范围有 一定限制 不能轻易套用极值公式 而应先通过配方 再求极值 这样做才不会得出错误的 答案 六 增加辅助量 例 6若 实 数a b c d f满 足 条 件8abcdf和 22222 16abcdf 求f的最值 资料下载来源 中考数学复习资料群 797817218 初中数学教师群 95837671 初中数学资料群 638944765 更多1万个QQ群的入口在抖音 微博 全球第一群主 什么群都有 覆盖所有行业所有领域 衡水中学初中资料群 456879477 初中全科资料群 775983524 初中学霸笔记共享群 902911824 初中思维导图共享群 831524442 解Q8abcdf 8abcdf 设 8 4 f a 8 4 f b 8 4 f c 8 4 f d 则0 而 222222222 88 4 2 44 ff abcd 2 8 4 f 2 2 8 16 4 f f 即 2 5160ff 16 0 5 f 故f的最大值为 16 5 最小值为0 七 数形结合法 例 7已知a b都是小于 1 的正数 求 2222 1 abab 22 1 1 ab 22 1 ab的最小值 解对形如 22 ab的问题 不妨考虑利用勾股定理和题中所给的已知条件 构造相 应的几何图形 并根据图形中边与边之间的关系解决问题 如图 1 构造边长为 1 的正方形ABCD P是正方形内一点 它到AB BC的距离 分别为a b 即PGa PHb 则由勾股定理 易得 22 BPab 22 1 1 PDab 22 1 APab 资料下载来源 中考数学复习资料群 797817218 初中数学教师群 95837671 初中数学资料群 638944765 更多1万个QQ群的入口在抖音 微博 全球第一群主 什么群都有 覆盖所有行业所有领域 衡水中学初中资料群 456879477 初中全科资料群 775983524 初中学霸笔记共享群 902911824 初中思维导图共享群 831524442 22 1 PCab 2ACBD APPCACQ PBPDBD 则2APPBPCPDAC 2222 1 abab 22 1 1 ab 22 1 ab2 2 即所求最小值2 2 八 构造一元二次方程 例 8若 22 2321xxyy 求xyxy的最小值 解将 22 2321xxyy配方 得 2 2 1xyxy 设kxyxy 则1 1xykxy 方程 可构造为以xy为主元的一元二次方程 2 2 10 xyxyk xyQ是实数 0V 即 2 14 2 1 0k 解之得 9 8 k 即xyxy的最小值 9 8 点评此题巧妙运用了构造方程的思想 并利用一元二次方程根的判别式求得k的最 值 九 构造函数 由于最值问题中一般都存在某些变量变化的过程 因此解决最值问题离不开函数 我们 常利用构造函数法使问题得到解决 例 9求代数式 2 1xx的最值 解设 2 1 11 Qxxx 再令sinx 22 x则有 22 1sin1 sinQxx 资料下载来源 中考数学复习资料群 797817218 初中数学教师群 95837671 初中数学资料群 638944765 更多1万个QQ群的入口在抖音 微博 全球第一群主 什么群都有 覆盖所有行业所有领域 衡水中学初中资料群 456879477 初中全科资料群 775983524 初中学霸笔记共享群 902911824 初中思维导图共享群 831524442 1 sincossin2 2 1sin21Q Q最小值为 1 2 最大值为 1 2 十 零点分段讨论法 例 10当16x时 求函数21yx xx的最大值 分析先由条件16x 求出x的取值范围 再用 零点分段讨论法 去掉函数y中 的绝对值符号 然后求出y在各个区段上的最大值并加以比较 从中确定出在取值范围内 的最大值 解由16x6 知75x 当70 x时 22 21 1 2yxxx 当05x时 22 21 1 yxxx 故当5x时 函数y有最大值 16 对于最值问题 还有更多的方法 如消元法 共轭配对法 数形结合法 和差代换法 判别式法 参数法 等式变形法 待定系数法 平均值不等式法等 这里不再赘