初三自主招生教学案18：分式

第 1 页 分分式式 知知识识梳梳理理 1 分分式式的的概概念念 一般地 用 A B 表示两个整式 A B 可以表示成 B A 的形式 如果 B 中含有字母 式子 B A 叫 做分式 2 分分式式的的基基本本性性质质 MB MA B A 0M MB MA B A 3 分分式式的的运运算算 1 加加减减法法 ABAB CCC ABADBC CDCD 2 乘乘除除法法 BD AC D C B A BC AD C D B A D C B A 3 乘乘方方 n n n B A B A 4 整整数数指指数数幂幂 1 正正整整数数指指数数幂幂 个n aaaan 2 零零指指数数幂幂 01 0 aa 3 负负整整数数指指数数幂幂 是正整数 pa a a p p 0 1 例例题题精精讲讲 题题型型一一 化化简简求求值值 例例 1 若bccba 222 则 ca b ba c 的值是 例例 2 1 1 2 a 1 3 b 则 2 22 3 352 aab aabb 2 若 22 20 xxyy 则 22 22 3xxyy xy 例例 3 设ba 是实数 且 abba 1 1 1 1 1 则 a b 1 1 例例 4 化简分式 2222 2325345285 1223 aaaaaaaa aaaa 例例 5 已知1 abc 求 111 cca c bbc b aab a 的值 更多自主招生数学竞赛培优Q Q 3 2 5 5 1 5 1 0 5 3 题题型型二二 设设k法法 例例 1 已知cba 均为非零实数 满足 a cba b cba c cba 则 abc cbcaba 题题型型三三 拆拆项项相相消消法法 例例 1 1 试证 1 11 1 1 nnnn 其中 n 是正整数 2 计算 109 1 32 1 21 1 3 证明 对任意大于 1 的正整数 n 有 2 1 1 1 43 1 32 1 nn 例例 2 化简分式 127 1 65 1 23 1 222 xxxxxx 题题型型四四 因因式式分分解解法法 例例 1 已知实数cba 满足80 abccba 则 cba 111 的值为 A 正数B 零C 负数D 可为正数 也可以为负数 例例 2 化简求值 22 22 22 22 22 22 acb bac cba acb bca cba 例例 3 化简求值 xxx xxx x x xx xx x 121 121 1 1 1 31 13 1 3 22 3 2 2 更多自主招生数学竞赛培优Q Q 3 2 5 5 1 5 1 0 5 3 第 3 页 题题型型五五 求求倒倒拆拆分分法法 例例 1 已知 0 2 1 1 2 aaa xx x 求分式 1 24 2 xx x 的值 例例 2 已知实数cba 满足条件 5 1 4 1 3 1 ca ac cb bc ba ab 求 acbcab abc 的值 同同步步练练习习 练练习习 1 计算 111 111 3 cbac c b b a a cabcab abc 练练习习 2 正数 x y满足 22 2xyxy 则 xy xy 练练习习 3 已知c yx z b xz y a zy x 求证 1 111 c c b b a a 练练习习 4 若 ac z cb y ba x cba 互不相等 求证0 zyx 练练习习 5 设正整数nm 满足nm 且 23 11 11 11 222 nnmmmm 求nm 的值 更多自主招生数学竞赛培优Q Q 3 2 5 5 1 5 1 0 5 3 练练习习 6 试证 对任意的正整数 n 有 111 1 2 32 3 4 1 2 n nn 1 4 练练习习 7 已知cba 为实数 且满足下式 1 222 cba 3 111111 ba c ac b cb a 求cba 的值 练练习习 8 化简 式中cba 两两不相等 abbcacc bac acbcabb acb bcacaba cba 222 222 练练习习 9 化简分式 3 2 2 1 3 11 1 1 111 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x 练练习习 10 若1 1 2 mxx x 求 1 336 3 xmx x 的值 更多自主招生数学竞赛培优Q Q 3 2 5 5 1 5 1 0 5 3 第 5 页 参考答案参考答案 题型一 化简求值题型一 化简求值 例例 1 答案 1 解析 直接通分 得到原式 acabbca acabcb 2 22 根据已知条件 222 cbbca 所以原式等于 1 说明 如果方程或代数式没有很强的规律性 可以先直接通分 找到与已知条件相关的结论得到答案 例例 2 答案 1 7 3 2 5 1 2 5 或 解析 1 原式 7 3 3 1 2 2 1 2 1 223 3 ba a baba baa 说明 若直接带入求解较复杂 若分子分母能因式分解 然后能够约分 可先化简再计算 2 已知方程可因式分解 求得020 yxyx或 所以yxyx2 或 分别带入原式求解即可 例例 3 答案 2 53 解析 观察到题目中有两处ba 11和 且 abab 11 所以不妨设ybxa 11 则原方 程可化为yx 的二元二次方程03 22 xxyy 根据公式法得xy 2 53 所以原式 2 53 x y 说明 如果方程或代数式中有较强的规律性 可以用整体思想 必要的时候设未知数求解 例例 4 答案 84 1 2 2 3 a aaaa 解析 原式 22 221 1236 1 12 aaaaaa aa 22 3624 12626 1 23 aaaaaa aa 11 21 3 12 aa aa 11 32 22 23 aa aa 21 3 32 22 aaaa 1111 1223aaaa 1111 1223aaaa 11 1 2 2 3 aaaa 2 3 1 2 1 2 2 3 aaaa aaaa 84 1 2 2 3 a aaaa 说明 直接通分计算较繁 先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式 再化简将简便得多 例例 5 答案 1 解析 本题可将分式通分后 再进行化简求值 但较复杂 巧妙的利用abc代替 1 从而使化简更简洁 下 面提供三种化简变形的方法 同学们可仔细体会 领会其化简中的本质的东西 解法一 因为1 abc 所以cba 都不为零 原式 11 cca c b b bbc b abcaab a bbcbca bc bbc b bcb 11 1 bbc bc bbc b bcb 111 1 bcb bcb 1 1 1 解法二 因为1 abc 所以cba 都不为零 原式 111 cca c ab ab bbc b a a aab a ababcabca abc aababc ab aab a 1 abaaab ab aab a 1 1 11 1 1 aab aba 1 解法三 由1 abc 得 bc a 1 将之代入原式 原式 1 1 1 1 11 1 c bc c c bbc b bc b bc bc bbc bc bbc b bcb 111 1 bcb bcb 1 1 1 题题型型二二 设设k法法 例例 1 答案 8 或 1 解析 令k a cba b cba c cba 则 akcb bkca ckba 1 1 1 有 a cba b cba c cba 所以 01 kcba 故有1 k 或0 cba 更多自主招生数学竞赛培优Q Q 3 2 5 5 1 5 1 0 5 3 第 7 页 当1 k时 8 222 abc abc abc cbcaba 当0 cba时 1 abc abc abc cbcaba 说明 引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件 可使已知条件便于使用 题题型型三三 拆拆项项相相消消法法 例例 1 答案 1 证明 11 1 1 1 1 1 nn nnn nn n 111 1 1n nnn 其中n是正整数 成立 2 解 由 1 可知 111 1 22 39 10 11111 1 223910 1 1 10 9 10 3 证明 111 2 33 4 1 n n 111111 23341nn 11 21n 又2n 且n是正整数 1 1n 一定为正数 1111 2 33 4 1 2n n 解析 111 1 1n nnn 是常考的一种变形 例例 2 答案 45 3 2 xx 解析 原式 43 1 32 1 12 1 xxxxxx 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 xxxxxx 45 3 4 1 1 1 2 xx xx 更多自主招生数学竞赛培优Q Q 3 2 5 5 1 5 1 0 5 3 说明 三个分式一起通分运算量大 可先将每个分式的分母分解因式 然后再化简 本题在将每个分式的分 母因式分解后 各个分式具有 1 1 nxnx 的一般形式 与分式运算的通分思想方法相反 这种化简的方 法叫 拆项相消 法 它是分式化简中常用的技巧 题题型型四四 因因式式分分解解法法 例例 1 答案 C 解析 常见的代数式化简 abc acbcab cba 111 常用的三数和平方公式 acbcabcbacba 2 2222 例例 2 答案 1 解析 原式 acbacb bacbac cbacba acbacb bcabca cbacba 1 cba cba cba bca cba acb cba cba 例例 3 答案 132 1 2 xx x 解析 原式 1 112 1 1 122 122 1 1 1 31 1 1 223 22 3 2 23 23 3 2 2 xxxxx xxx x x xxx xxx x x xx xx x 132 1 121 1 11 121 11 1 22 2 2 2 xx x xx x xxx xx xxx x 题题型型五五 求求倒倒拆拆分分法法 例例 1 答案 a a 21 2 解析 由题意得 ax x x xx1 1 11 2 所以1 11 ax x 2 2 2 2 2 21 21 11 a aa a x x 所 以 22 2 2 24 21 1 11 a a x x x xx 所以 a a xx x 21 1 2 24 2 说明 当分式的分子为乘积式 分母为和时 可考虑求倒数 例例 2 答案 6 1 解析 5 11 4 11 3 11 acac ca bcbc cb abab ba 所以6 2 543111 cba 所以6 111 cbaabc acbcab 所以 6 1 acbcab abc 同同步步练练习习 练练习习 1 答案 1 更多自主招生数学竞赛培优Q Q 3 2 5 5 1 5 1 0 5 3 第 9 页 解析 原式 11 33 111 111 3 3 cabcab abc cabcab abc cbacbacabcab abc 练习练习 2 答案 21 解析 解法一 由求根公式法得 yx21 分别带入解得原式 21 解法二 观察发现 yyxyxxyxyxyxyxyx22 22 所以不妨设 byxayx 所以原方程可化为 2 22 ab ab 整理得 bababa2102 22 所以 21 b a yx yx 练习练习 3 证明略 解析 观察式子 c c b b a a 111 很有规律 不妨先算其中一个找到规律 zyx x a a zy zyx a 1 1 所以1 111 zyx zyx zyx z zyx y zyx x c c b b a a 练习练习 4 证明略 解析 用设k法 设原式为k 得到三个方程 相加即可 练习练习 5 答案 527 解析 23 1 1 11 1 1 21 1 1 11 11 11 222 nmnnmmmm nnmmmm 根据 1 11 1 1 nnnn 所以 1 11 1 1 nnnn 因为 2322 1 22 1 23 1 所以2322122 nm 练习练习 6 证明略 解析 因为 21 2 21 2 21 1 1 1 nnnnnn nn nnnn 所以 21 1 1 1 43 1 32 1 32 1 21 1 2 1 21 1 432 1 321 1 nnnnnnn 4 1 212 1 4 1 21 1 21 1 2 1 nnnn 练习练习 7 答案 0 或 1 解析 不妨设xcba c cx b bx a ax c cb b ca a cb ba c ac b cb a 111111 333 111 abc acbcab x cba x 所以0 abc acbcab x 所以00 abc acbcab x或 因为 acbcabcbacba 2 2222 所以 2 1 2 x acbcab 所以当0 abc acbcab 时 即 10 2 1 2 x x 练练习习 8 答案 0 解析 原式 0 111111 cacbbacbcababcac bcac cbab cbab caba caba 练练习习 9 答案 1 a 解析 设a x x 1 则2 1 2 2 2 a x x 原式 12 1 1 1 322 32 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 aa aa a aa a aa aa a aa 11 1 1