中考数学题库系列：1500道压轴题题库（冲刺2006版）有答案

1 中考数学题库系列 中考数学题库系列 1500 道压轴题题库 道压轴题题库 冲刺冲刺 2006 版 版 例1 2005 资阳 如图 9 已知 O 为坐标原点 AOB 30 ABO 90 且点 A 的坐标为 2 0 1 求点 B 的坐标 2 若二次函数 y ax2 bx c 的图象经过 A B O 三点 求此二次函数的解析式 3 在 2 中的二次函数图象的 OB 段 不包括点 O B 上 是否存在一点 C 使得四边形 ABCO 的面积 最大 若存在 求出这个最大值及此时点 C 的坐标 若不存在 请说明理由 1 在 Rt OAB 中 AOB 30 OB 过点 B 作 BD 垂直于 x 轴 垂足为 D 则 OD 3 BD 点 B 的坐标为 2 3 2 3 2 3 2 3 2 将 A 2 0 B O 0 0 三点的坐标代入 y ax2 bx c 得 2 3 2 3 420 933 422 0 abc abc c 解方程组 有 a b c 0 3 32 3 34 所求二次函数解析式是 y x2 x 3 32 3 34 3 设存在点 C x x2 x 其中 0 x2 5 所以能通过 例3 2005 杭州 为了参加市科技节展览 同学们制造了一 个截面为抛物线形的隧道模型 用了三种正方 形的钢筋支架 在画设计图时 如果在直角坐 D H F E CB A m2 m8 m1 0 m5 资料下载来源 中考数学压轴题交流群 787763088 全国初中数学教师群 95837671 更多700个学习资源群在QQ 763491846的空间日志查看 全部学科的资料群 教师群 学生群 竞赛群 名校群 网课区 口语群等 3 标系中 抛物线的函数解析式为 2 yxc 正方形 ABCD 的边长和正方形 EFGH 的边长 之比为 5 1 求 1 抛物线解析式中常数的值 c 2 正方形 MNPQ 的边长 25 1 常数的值为 2 正方形 MNPQ 的边长为 c 145 144 145 2 6 例4 2005 河南 24 如图 在直角梯形 ABCD 中 AD BC AB BC AB 2 DC 2 点 P2 在边 BC 上运动 与 B C 不重合 设 PC x 四边形 ABPD 的面积为 y 求 y 关于 x 的函数关系式 并写出自变量 x 的取值范围 若以 D 为圆心 为半径作 D 以 P 为圆心 以 PC 的长为半径作 P 当 x 为何值时 D 与 P 相 1 2 切 并求出这两圆相切时四边形 ABPD 的面积 24 过点 D 作 DE BC 于 E ABC 900 DE AB 2 又 DC 2 EC 2 2DC2 DE2 BC BE EC AD EC 2 1 3 S 四边形 ABPD 4 x AD BP AB 2 1 3 x 2 2 即 y x 4 0 x 3 当 P 与 E 重合时 P 与 D 相交 不合题意 当点 P 与点 E 不重合时 在 Rt DEP 中 DP2 DE2 EP2 22 2 x 2 x2 4x 8 P 的半径为 x D 的半径为 1 2 当 P 与 D 外切时 x 2 x2 4x 8 解得 x 1 2 31 20 此时四边形 ABPD 的面积 y 4 31 20 49 20 当 P 与 D 内切时 x 2 x2 4x 8 解得 x 1 2 31 12 此时四边形 ABPD 的面积 y 4 31 12 17 12 P 与 D 相切时 四边形 ABPD 的面积为或 49 20 17 12 例5 2005 吉林 27 如图 四边形 ABCD 是边长为 5 的正方形 以 BC 的中点 O 为原点 BC 所 A BC D P 资料下载来源 中考数学压轴题交流群 787763088 全国初中数学教师群 95837671 更多700个学习资源群在QQ 763491846的空间日志查看 全部学科的资料群 教师群 学生群 竞赛群 名校群 网课区 口语群等 4 在直线为 x 轴建立平面直角坐标系 抛物线 y ax2经过 A O D 三点 图 和图 是把一些这 样的小正方形及其内部抛物线部分经过拼组得到的 1 求 a 的值 2 求图 中矩形 EFGH 的面积 3 求图 中正方形 PQRS 的面积 例6 2005 吉林 28 如图 过原点的直线 l1 y 3x l2 y x 点 P 从原点 O 出发沿 x 轴正方向 1 2 以每秒 1 个单位长度的速度运动 直线 PQ 交 y 轴正半轴于点 Q 且分别交 l1 l2于点 A B 设 点 P 的运动时间为 t 秒时 直线 PQ 的解析式为 y x t AOB 的面积为 Sl 如图 以 AB 为 对角线作正方形 ACBD 其面积为 S2 如图 连结 PD 并延长 交 l1于点 E 交 l2于点 F 设 PEA 的面积为 S3 如图 1 求 Sl关于 t 的函数解析式 2 求直线 OC 的函数解析式 3 求 S2关于 t 的函数解析式 4 求 S3关于 t 的函数解析式 资料下载来源 中考数学压轴题交流群 787763088 全国初中数学教师群 95837671 更多700个学习资源群在QQ 763491846的空间日志查看 全部学科的资料群 教师群 学生群 竞赛群 名校群 网课区 口语群等 5 例7 2005 嘉兴 25 本题 14 分 有一种汽车用 千斤顶 它由 4 根连杆组成菱形 ABCD 当螺 旋装置顺时针旋转时 B D 两点的距离变大 从而顶起汽车 若 AB 30 螺旋装置每顺时针旋 转 1 圈 BD 的长就减少 1 设 BD a AC h 1 当 a 40 时 求 h 值 2 从 a 40 开始 设螺旋装置顺时针方向旋转 x 圈 求 h 关于 x 的函数解析式 3 从 a 40 开始 螺旋装置顺时针方向连续旋转 2 圈 设第 1 圈使 千斤顶 增高 s1 第 2 圈使 千 斤顶 增高 s2 试判定 s1与 s2的大小 并说明理由 若将条件 从 a 40 开始 改为 从 某一时刻开始 则结果如何 为什么 资料下载来源 中考数学压轴题交流群 787763088 全国初中数学教师群 95837671 更多700个学习资源群在QQ 763491846的空间日志查看 全部学科的资料群 教师群 学生群 竞赛群 名校群 网课区 口语群等 6 25 本题 14 分 解 1 连 AC 交 BD 于 O ABCD 为菱形 AOB 90 OA OB 20 2 h 在 Rt AOB 中 AO2 BO2 AB2 222 203020 5 2 h h 2 从 a 40 开始 螺旋装置顺时针方向旋转 x 圈 则 BC 40 x 22222 40 3060 40 22 hx hx 3 结论 s1 s2 在中 22 60 40 hx 令 x 0 得 22 0 604044 721 h 令 x 1 得 22 1 603945 596h 令 x 2 得 22 2 603846 435 h 11022112 0 88 0 84 shhshhss 也可以如下比较 s1 s2的大小 2222 2222 1 2222 6039 6040 60396040 60396040 s 79 99 21100 20 2222 2222 2 2222 6038 6039 60386039 60386039 s 77 98 2299 21 而 79 77 12 100 2098 22 ss 若将条件 从 a 40 开始 改为 从任意时刻开始 则结论 s1 s2仍成立 2222 1 2222 21 60 1 60 60 1 60 a saa aa 2222 2 2222 23 60 2 60 1 60 2 60 1 a saa aa 资料下载来源 中考数学压轴题交流群 787763088 全国初中数学教师群 95837671 更多700个学习资源群在QQ 763491846的空间日志查看 全部学科的资料群 教师群 学生群 竞赛群 名校群 网课区 口语群等 7 而 2222 12 2123 6060 2 aaaass 例1 如图 在平面直角坐标系中 已知 A 10 0 B 8 6 O 为坐标原点 OAB 沿 AB 翻 折得到 PAB 将四边形 OAPB 先向下平移 3 个单位长度 再向右平移 m m 0 个单位长度 得到四边形 O1A1P1B1 设四边形 O1A1P1B1与四边形 OAPB 重叠部分图形的周长为 l 1 求 A1 P1两点的坐标 用含 m 的式子表示 2 求周长 l 与 m 之间的函数关系式 并写出 m 的取值范围 解 1 过点 B 作 BQ OA 于点 Q 如图 1 点 A 坐标是 10 0 点 A1坐标为 10 m 3 OA 10 又 点 B 坐标是 8 6 BQ 6 OQ 8 在 Rt OQB 中 2222 8610OBOQBQ OA OB 10 63 tan 84 BQ QO 由翻折的性质可知 PA OA 10 PB OB 10 四边形 OAPB 是菱形 PB AO P 点坐标为 18 6 P1点坐标为 18 m 3 2 当 0 m 4 时 如图 2 过点 B1作 B1Q1 x 轴于点 Q1 则 B1 Q1 6 3 3 设 O1B1 交 x 轴于点 F O1B1 BO 在 Rt FQ1B1中 11 1 tan BQ Q F Q1F 4 1 33 4Q F B1F 5 22 34 O S y B S x 第第28题题 A xO y B A P 1 A 1 O 1 B 1 Q1F Q 第第28题图题图2 P O y 3 B xA P Q 第第28题图题图1 资料下载来源 中考数学压轴题交流群 787763088 全国初中数学教师群 95837671 更多700个学习资源群在QQ 763491846的空间日志查看 全部学科的资料群 教师群 学生群 竞赛群 名校群 网课区 口语群等 8 AQ OA OQ 10 8 2 AF AQ QQ1 Q1F 2 m 4 6 m 周长 l 2 B1F AF 2 5 6 m 2 m 22 当 4 m 14 时 如图 3 设 P1A1交 x 轴于点 S P1B1交 OB 于点 H 由平移性质 得 OH B1F 5 此时 AS m 4 OS OA AS 10 m 4 14 m 周长 l 2 OH OS 2 5 14 m 2 m 38 例2 2005 苏州 如图一 平面直角坐标系中有一张矩形纸片 OABC O 为坐标原点 A 点坐标为 10 0 C 点坐标为 0 6 D 是 BC 边上的动点 与点 B C 不重合 现将 COD 沿 OD 翻折 得到 FOD 再在 AB 边上选取适当的点 E 将 BDE 沿 DE 翻折 得到 GDE 并使直线 DG DF 重合 1 如图二 若翻折后点 F 落在 OA 边上 求直线 DE 的函数关系式 2 设 D a 6 E 10 b 求 b 关于 a 的函数关系式 并求 b 的最小值 3 一般地 请你猜想直线 DE 与抛物线的公共点的个数 在图二的情形中通过计算验 2 1 6 24 yx 证你的猜想 如果直线 DE 与抛物线始终有公共点 请在图一中作出这样的公共点 2 1 6 24 yx 28 1 y x 12 xO B A P 1 A 1 O 1 B 1 第第28题图题图3 P S H F y 资料下载来源 中考数学压轴题交流群 787763088 全国初中数学教师群 95837671 更多700个学习资源群在QQ 763491846的空间日志查看 全部学科的资料群 教师群 学生群 竞赛群 名校群 网课区 口语群等 9 2 当 a 5 时 b最小值 11 6 3 猜想 直线 DE 与抛物线 2 1 6 24 yx 只有一个公共点 证明 由 1 可知 DE 所在直线为 y x 12 代入抛物线 得 2 1 612 24 xx 化简得 x2 24x 144 0 所以 0 所以直线 DE 与抛物线 2 1 6 24 yx 只有一个公共点 作法一 延长 OF 交 DE 于点 H 作法二 在 DB 上取点 M 使 DM CD 过 M 作 MH BC 交 DE 于点 H 例3 2005 临沂 如图 1 已知抛物线的顶点为 A 0 1 矩形 CDEF 的顶点 C F 在抛物线上 D E 在 x 轴上 CF 交 y 轴于点 B 2 0 且其面积为 8 求此抛物线的解析式 如图 2 若 P 点为抛物线上不同于 A 的一点 连结 PB 并延长交抛物线于点 Q 过点 P Q 分别作 x 轴的垂线 垂足分别为 S R 求证 PB PS 判断 SBR 的形状 试探索在线段 SR 上是否存在点 M 使得以点 A S M 为顶点的三角形和以点 Q R M 为顶点的 三角形相似 若存在 请找出 M 点的位置 若不存在 请说明理由 26 解 方法一 B 点坐标为 0 2 OB 2 矩形 CDEF 面积为 8 CF 4 C 点坐标为 2 2 F 点坐标为 2 2 设抛物线的解析式为 cbxaxy 2 其过三点 A 0 1 C 2 2 F 2 2 得 cba cba c 242 242 1 资料下载来源 中考数学压轴题交流群 787763088 全国初中数学教师群 95837671 更多700个学习资源群在QQ 763491846的空间日志查看 全部学科的资料群 教师群 学生群 竞赛群 名校群 网课区 口语群等 10 解这个方程组 得 1 0 4 1 cba 此抛物线的解析式为 1 4 1 2 xy 方法二 B 点坐标为 0 2 OB 2 矩形 CDEF 面积为 8 CF 4 C 点坐标为 2 2 1 分 根据题意可设抛物线解析式为 caxy 2 其过点 A 0 1 和 C 2 2 得 ca c 42 1 解这个方程组 得 1 4 1 ca 此抛物线的解析式为 1 4 1 2 xy 解 过点 B 作 BN PS 垂足为 N P 点在抛物线上 可设 P 点坐标为 a 1 4 1 2 xy1 4 1 2 a PS OB NS 2 BN a 1 4 1 2 a PN PS NS 1 4 1 2 a 在 Rt PNB 中 22222222 1 4 1 1 4 1 aaaBNPNPB PB PS 1 4 1 2 a 根据 同理可知 BQ QR 1 2 又 1 3 2 3 资料下载来源 中考数学压轴题交流群 787763088 全国初中数学教师群 95837671 更多700个学习资源群在QQ 763491846的空间日志查看 全部学科的资料群 教师群 学生群 竞赛群 名校群 网课区 口语群等 11 同理 SBP 5 2 5 2 3 180 5 3 90 SBR 90 SBR 为直角三角形 方法一 设 PS QR b c 由 知 PS PB QR QB PQ b c cb SR2 b c 2 b c 2 SR bc2 假设存在点 M 且 MS 则 MR x xbc 2 若使 PSM MRQ 则有 即 c xbc x b 2 02 2 bcbcx bcxx 21 SR bc2 M 点为 SR 的中点 若使 PSM QRM 则有 xbc c x b 2 cb bcb x 2 OS RO BP QB b c cb bcb bc x xbc MS MR 1 2 22 M 点即为原点 O 综上所述 当点 M 为 SR 的中点时 PSM MRQ 当点 M 为原点时 PSM QRM 方法二 若以 P S M 为顶点的三角形与以 Q M R 为顶点的三角形相似 资料下载来源 中考数学压轴题交流群 787763088 全国初中数学教师群 95837671 更多700个学习资源群在QQ 763491846的空间日志查看 全部学科的资料群 教师群 学生群 竞赛群 名校群 网课区 口语群等 12 PSM MRQ 90 有 PSM MRQ 和 PSM QRM 两种情况 当 PSM MRQ 时 SPM RMQ SMP RQM 由直角三角形两锐角互余性质 知 SMP RMQ 90 PMQ 90 取 PQ 中点为 N 连结 MN 则 MN 2 1 2 1 PSQRPQ MN 为直角梯形 SRQP 的中位线 点 M 为 SR 的中点 当 PSM QRM 时 BP QB PS QR MS RM 又 OS RO BP QB 即 M 点与点 O 重合 OS RO MS RM 点 M 为原点 O 综上所述 当点 M 为 SR 的中点时 PSM MRQ 当点 M 为原点时 PSM QRM 例4 2005 马尾区 25 本题满分 12 分 已知抛物线 y x2 2n 1 x n2 1 n 为常数 1 当该抛物线经过坐标原点 并且顶点在第四象限时 求出它所对应的函数关系式 2 设 A 是 1 所确定的抛物线上位于 x 轴下方 且在对称轴左侧的一个动点 过 A 作 x 轴的平行线 交抛物线于另一点 D 再作 AB x 轴于 B DC x 轴于 C 当 BC 1 时 求矩形 ABCD 的周长 试问矩形 ABCD 的周长是否存在最大值 如果存在 请求出这个最大值 并指出此时 A 点的坐标 如果不存在 请说明理由 25 解 1 由已知条件 得 n2 1 0 解这个方程 得 n1 1 n2 1 当 n 1 时 得 y x2 x 此抛物线的顶点不在第四象限 当 n 1 时 得 y x2 3x 此抛物线的顶点在第四象限 所求的函数关系式为 y x2 3x 2 由 y x2 3x 令 y 0 得 x2 3x 0 解得 x1 0 x2 3 抛物线与 x 轴的另一个交点为 3 0 它的顶点为 对称轴为直线 x 4 9 2 3 2 3 BC 1 由抛物线和矩形的对称性易知 OB 113 2 1 B 1 0 点 A 的横坐标 x 1 又点 A 在抛物线 y x2 3x 上 点 A 的纵坐标 y 12 3 1 2 AB y 2 矩形 ABCD 的周长为 2 AB BC 6 8 分 资料下载来源 中考数学压轴题交流群 787763088 全国初中数学教师群 95837671 更多700个学习资源群在QQ 763491846的空间日志查看 全部学科的资料群 教师群 学生群 竞赛群 名校群 网课区 口语群等 13 点 A 在抛物线 y x2 3x 上 可以设 A 点的坐标为 x x2 3x B 点的坐标为 x 0 0 x 2 3 BC 3 2x A 在 x 轴的下方 x2 3x 0 AB x2 3x 3x x2 矩形 ABCD 的周长 P 2 3x x2 3 2x 2 x 2 2 1 2 13 a 2 0 当 x 时 矩形 ABCD 的周长 P 最大值是 2 1 2 13 例例5 5 2005 枣枣庄庄 25 本本题题满满分分 12 分分 如如图图 在在正正方方形形 ABCD 中中 AB 2 E 是是 AD 边上一点边上一点 点点 E 与点与点 A D 不重合不重合 BE 的垂直平分线交的垂直平分线交 AB 于于 M 交交 DC 于于 N 1 设 AE x 四边形 ADNM 的面积为 S 写出 S 关于 x 的函数关系式 2 当 AE 为何值时 四边形 ADNM 的面积最大 最大值是多少 25 解 1 连接 ME 设 MN 交 BE 于 P 根据题意 得 MB ME MN BE 2 分 过 N 作 AB 的垂线交 AB 于 F 在 Rt MBP 和 Rt MNF 中 MBP BMN 90 FNM BMN 90 MBP MNF 又 AB FN Rt EBA Rt MNF 故 MF AE x 在 Rt AME 中 AE x ME MB 2 AM 2 AM 2 x2 AM2 解得 AM 2 4 1 1x 所以四边形 ADNM 的面积 2 2 1 222 1 224 1 2 2 AMDNAMAF SADAMAExx xx 即所求关系式为 2 1 2 2 Sxx 2 2 22 11515 2211 22222 Sxxxxx 资料下载来源 中考数学压轴题交流群 787763088 全国初中数学教师群 95837671 更多700个学习资源群在QQ 763491846的空间日志查看 全部学科的资料群 教师群 学生群 竞赛群 名校群 网课区 口语群等 14 当 AE x 1 时 四边形 ADNM 的面积 S 的值最大 最大值是 2 5 例6 2005 绵阳 如图 9 在平行四边形 ABCD 中 AD 4 cm A 60 BD AD 一动点 P 从 A 出 发 以每秒 1 cm 的速度沿 A B C 的路线匀速运动 过点 P 作直线 PM 使 PM AD 1 当点 P 运动 2 秒时 设直线 PM 与 AD 相交于点 E 求 APE 的面积 2 当点 P 运动 2 秒时 另一动点 Q 也从 A 出发沿 A B C 的路线运动 且在 AB 上以每秒 1 cm 的 速度匀速运动 在 BC 上以每秒 2 cm 的速度匀速运动 过 Q 作直线 QN 使 QN PM 设点 Q 运动的时间 为 t 秒 0 t 10 直线 PM 与 QN 截平行四边形 ABCD 所得图形的面积为 S cm2 求 S 关于 t 的函数关系式 附加题 求 S 的最大值 24 1 当点 P 运动 2 秒时 AP 2 cm 由 A 60 知 AE 1 PE 3 S APE 2 3 2 当 0 t 6 时 点 P 与点 Q 都在 AB 上运动 设 PM 与 AD 交于点 G QN 与 AD 交于点 F 则 AQ t AF QF AP t 2 AG 1 PG 2 t t 2 3 2 t t 2 3 3 此时两平行线截平行四边形 ABCD 的面积为 S 2 3 2 3 t 当 6 t 8 时 点 P 在 BC 上运动 点 Q 仍在 AB 上运动 设 PM 与 DC 交于点 G QN 与 AD 交于点 F 则 AQ t AF DF 4 QF BP t 6 CP 10 t PG 2 t 2 t t 2 3 3 10 t 而 BD 故此时两平行线截平行四边形 ABCD 的面积为 S 34334310 8 35 2 tt 当 8 t 10 时 点 P 和点 Q 都在 BC 上运动 设 PM 与 DC 交于点 G QN 与 DC 交于点 F 则 CQ 20 2t QF 20 2t CP 10 t PG 33 10 t 此时两平行线截平行四边形 ABCD 的面积为 S 3150330 2 33 2 tt 故 S 关于 t 的函数关系式为 2 2 33 06 22 5 3 10 334 3 68 8 3 3 30 3150 3 810 2 tt Sttt ttt 附加题 当 0 t 6 时 S 的最大值为 2 37 当 6 t 8 时 S 的最大值为 36 当 8 t 10 时 S 的最大值为 36 所以当 t 8 时 S 有最大值为 36 例7 2005 宜昌 25 已知 以原点 O 为圆心 5 为半径的半圆与 y 轴交于 A G 两点 AB 与半圆相 资料下载来源 中考数学压轴题交流群 787763088 全国初中数学教师群 95837671 更多700个学习资源群在QQ 763491846的空间日志查看 全部学科的资料群 教师群 学生群 竞赛群 名校群 网课区 口语群等 15 切于点 A 点 B 的坐标为 3 yB 如图 1 过半圆上的点 C xC yC 作 y 轴的垂线 垂足为 D Rt DOC 的面积等于 3 8 2 C x 1 求点 C 的坐标 2 命题 如图 2 以 y 轴为对称轴的等腰梯形 MNPQ 与 M1N1P1Q1的上底和下底都分别在同一条直线 上 NP MQ PQ P1Q1 且 NP MQ 设抛物线 y a0 x2 h0过点 P Q 抛物线 y a1x2 h1过点 P1 Q1 则 h0 h1 是真命题 请你以 Q 3 5 P 4 3 和 Q1 p 5 P1 p 1 3 为例进行 验证 当图 1 中的线段 BC 在第一象限时 作线段 BC 关于 y 轴对称的线段 FE 连接 BF CE 点 T 是线 段 BF 上的动点 如图 3 设 K 是过 T B C 三点的抛物线 y ax2 bx c 的顶点 求 K 的纵坐标 yK 的取值范围 第 25 题 25 解 1 yB 5 半径 xCyC y2C 25 得 C 4 3 2 分和 C 4 3 2 13 8 2 C x 2 C x 2 过点 P 4 3 Q 3 5 的抛物线 y a0 x2 h0即为 y x2 得 h0 2 7 53 7 53 7 过 P1 p 1 3 Q1 p 5 的抛物线 y a1x2 h1即为 y 2 2 22105 2121 pp x pp h1 2 2105 21 pp p h0 h1 53 7 2 2105 21 pp p 2 73 3 7 21 pp p 2 73 3 7 21 pp p MQ M1Q1 其中 MQ 6 0 p 1 2M1Q1 3 可知 0 p 3 7p 3 0 2p 1 0 3 p 0 因而得到 h0 h1 0 证得 h0 h1 或者说明 2p 1 0 在 0 p 3 时总是大于 0 得到 h0 h1 0 2 143618pp 显然抛物线 y ax2 bx c 的开口方向向下 a 0 资料下载来源 中考数学压轴题交流群 787763088 全国初中数学教师群 95837671 更多700个学习资源群在QQ 763491846的空间日志查看 全部学科的资料群 教师群 学生群 竞赛群 名校群 网课区 口语群等 16 当 T 运动到 B 点时 这时 B T K 三点重合即 B 为抛物线的顶点 yK 5 将过点 T B C 三点的抛物线 y ax2 bx c 沿 x 轴平移 使其对称轴为 y 轴 这时 yK不变 8 分 这里 为独立评分点 则由上述 的结论 当 T 在 FB 上运动时 过 F 3 5 B 3 5 C 4 3 三点的抛物线的顶 点为最高点 yK 53 7 5 yK 10 分 53 7 例8 2005 玉溪 28 11 分 如图 21 已知抛物线的图象与 x 轴交于 A C 两点 2 1 yx4 1 若抛物线关于 x 轴对称 求的解析式 3 分 21 与 2 2 若点 B 是抛物线上一动点 B 不与 A C 重合 以 AC 为对角线 A B C 三点为顶点的平 1 行四边形的第四个顶点记为 D 求证 点 D 在上 4 分 2 3 探索 当点 B 分别位于在 x 轴上 下两部分的图象上时 ABCD 的面积是否存在最大值或最 1 小值 若存在 判断它是何种特殊平行四边形并求出它的面积 若不存在 请说明理由 4 分 28 解 1 设的解析式为 y 2 2 axhk 与 x 轴的交点 A 2 0 C 2 0 顶点坐标是 0 4 1 并且与关于 x 轴对称 1 2 经过点 A 2 0 C 2 0 顶点坐标是 0 4 2 资料下载来源 中考数学压轴题交流群 787763088 全国初中数学教师群 95837671 更多700个学习资源群在QQ 763491846的空间日志查看 全部学科的资料群 教师群 学生群 竞赛群 名校群 网课区 口语群等 17 y 2 ax4 0 4a 4 得 a 1 的解析式为 2 2 yx4 2 设 B 11 x y 点 B 在上 1 B 2 11 x x4 四边形 ABCD 是平行四边形 A C 关于 O 对称 B D 关于原点 O 对称 D 2 11 xx4 将 D 的坐标代入 2 11 xx4 2 2 yx4 可知 左边 右边 点 D 在上 2 3 设 ABCD 的面积为 S 则 S 2 ABC11 SAC y4 y I 当点 B 在 x 轴上方时 0 1 y 它是关于的正比例函数且 S 随的增大而增大 1 S4y 1 y 1 y S 既无最大值也无最小值 II 当点 B 在 x 轴下方时 4 0 1 y 它是关于的正比例函数且 S 随的增大而减小 1 S4y 1 y 1 y 当 4 时 S 有最大值 16 但它没有最小值 1 y 此时 B 0 4 在 y 轴上 它的对称点 D 也在 y 轴上 AC BD ABCD 是菱形 此时 S16 最大 例9 2005 临沂 26 本小题满分 13 分 如图 1 已知抛物线的顶点为 A O 1 矩形 CDEF 的顶点 C F 在抛物线上 D E 在轴上 CFx 交 y 轴于点 B 0 2 且其面积为 8 1 求此抛物线的解析式 资料下载来源 中考数学压轴题交流群 787763088 全国初中数学教师群 95837671 更多700个学习资源群在QQ 763491846的空间日志查看 全部学科的资料群 教师群 学生群 竞赛群 名校群 网课区 口语群等 18 2 如图 2 若 P 点为抛物线上不同于 A 的一点 连结 PB 并延长交抛物线于点 Q 过点 P Q 分别作x 轴的垂线 垂足分别为 S R 求证 PB PS 判断 SBR 的形状 试探索在线段 SR 上是否存在点 M 使得以点 P S M 为顶点的三角形和以点 Q R M 为顶点的 三角形相似 若存在 请找出 M 点的位置 若不存在 请说明理由 26 解 方法一 B 点坐标为 0 2 OB 2 矩形 CDEF 面积为 8 CF 4 C 点坐标为 一 2 2 F 点坐标为 2 2 设抛物线的解析式为 2 yaxbxc 其过三点 A 0 1 C 2 2 F 2 2 得 1 242 242 x abc abc 解这个方程组 得 1 0 1 4 abc 此抛物线的解析式为 2 1 1 4 yx 方法二 B 点坐标为 0 2 OB 2 矩形 CDEF 面积为 8 CF 4 C 点坐标为 一 2 2 根据题意可设抛物线解析式为 2 yaxc 其过点 A 0 1 和 C 2 2 资料下载来源 中考数学压轴题交流群 787763088 全国初中数学教师群 95837671 更多700个学习资源群在QQ 763491846的空间日志查看 全部学科的资料群 教师群 学生群 竞赛群 名校群 网课区 口语群等 19 1 24 c ac 解这个方程组 得 1 1 4 ac 此抛物线解析式为 2 1 1 4 yx 2 解 过点 B 作 BN 垂足为 N BS P 点在抛物线 y 十 l 上 可设 P 点坐标为 2 1 4 x 2 1 1 4 aa PS OB NS 2 BN 2 1 1 4 a a PN PS NS 2 1 1 4 a 在 RtPNB 中 PB 2222222 11 1 1 44 PNBNaaa PB PS 2 1 1 4 a 根据 同理可知 BQ QR 12 又 13 23 同理SBP 5 2 52 3180 5390 90SBR SBR 为直角三角形 方法一 资料下载来源 中考数学压轴题交流群 787763088 全国初中数学教师群 95837671 更多700个学习资源群在QQ 763491846的空间日志查看 全部学科的资料群 教师群 学生群 竞赛群 名校群 网课区 口语群等 20 设 PSb QRc 由 知 PS PB b QRQBc PQbc 222 SRbcbc 2SRbc 假设存在点 M 且 MS 别 MR x2 bcx 若使 PSM MRQ 则有 2bbcx xc 即 2 20 xbcxbc 12 xxbc SR 2 bc M 为 SR 的中点 若使 PSM QRM 则有 2 bc xbcx 2b bc x bc 22 1 2 MRbcxbccQBRO MSxbBPOSb bc bc M 点即为原点 O 综上所述 当点 M 为 SR 的中点时 PSM MRQ 当点 M 为原点时 PSM MRQ 资料下载来源 中考数学压轴题交流群 787763088 全国初中数学教师群 95837671 更多700个学习资源群在QQ 763491846的空间日志查看 全部学科的资料群 教师群 学生群 竞赛群 名校群 网课区 口语群等 21 方法二 若以 P S M 为顶点的三角形与以 Q M R 为顶点的三角形相似 90PSMMRQ 有PSM MRQ 和PSM QRM 两种情况 当PSM MRQ 时 SPM RMQ SMP RQM 由直角三角形两锐角互余性质 知PMS QMR 90 90PMQ 取 PQ 中点为 N 连结 MN 则 MN PQ 1 2 1 2 QRPS MN 为直角梯形 SRQP 的中位线 点 M 为 SR 的中点 当 PSM QRM 时 RMQRQB MSPSBP 又 即 M 点与 O 点重合 RMRO MSOS 点 M 为原点 O 综上所述 当点 M 为 SR 的中点时 PSM MRQ 当点 M 为原点时 PSM QRM 例10 2005 淮安 课题研究 现有边长为 120 厘米的正方形铁皮 准备将它设计并制成一个开口的水 槽 使水槽能通过的水的流量最大 初三 1 班数学兴趣小组经讨论得出结论 在水流速度一定的情况下 水槽的横截面面积越大 则 通过水槽的水的流量越大 为此 他们对水槽的横截面进行了如下探索 方案 把它折成横截面为直角三角形的水槽 如图 1 若 ACB 90 设 AC x 厘米 该水槽的横截面面积为 y 厘米 2 请你写出 y 关于 x 的函数关系式 不 必写出 x 的取值范围 并求出当 x 取何值时 y 的值最大 最大值又是多少 方案 把它折成横截面为等腰梯形的水槽 如图 2 若 ABC 120 请你求出该水槽的横截面面积的最大值 并与方案 中的 y 的最大值比较大小 C A B 图图1 C A B 资料下载来源 中考数学压轴题交流群 787763088 全国初中数学教师群 95837671 更多700个学习资源群在QQ 763491846的空间日志查看 全部学科的资料群 教师群 学生群 竞赛群 名校群 网课区 口语群等 22 假如你是该兴趣小组中的成员 请你再提供两种方案 使你所设计的水槽的横截面面积更大 画出 你设计的草图 标上必要的数据 不要求写出解答过程 27 y 2 120 xx 当 x 60 时 y最大值 1800 过点 B 作 BE AD 于 E CF AD 于 F 设 AB CD xcm 梯形的面积为 Scm2 则 BC EF 120 2x cm AE DF x BE CF x AD 120 x 2 1 2 3 S x 240 3x