2018中考数学题型专项研究12讲：2018中考数学题型专项研究第12讲：解直角三角形的实际应用

更多资料见微信公众号：数学第六感；小编微信：AA-teacher第12讲解直角三角形的实际应用1锐角三角函数的概念的应用2特殊三角函数值3解直角三角形的应用特殊三角函数容易混淆；不会构造直角三角形准确理解与掌握三角函数的定义，熟记特殊三角函数值，会构造直角三角形并应用直角三角形和三角函数来解题熟记几个特殊的三角函数值三角函数角sincostan3045160从表中不难得出：sin230cos2301，tan30sin245cos2451，tan45sin260cos2601，tan60那么，对于任意锐角A，是否存在sin2Acos2B1，tanA呢？事实上，同角的三角函数之间，具有三个基本关系：如图，在RtABC，C90，A，B，C所对的边依次为a，b，c则sin2Acos2A1(平方关系)tanA，cotA(商的关系)tanAcotA1(倒数关系)【典例解析】【例题1】（2017日照）在RtABC中，C=90，AB=13，AC=5，则sinA的值为（）ABCD【考点】T1：锐角三角函数的定义【分析】根据勾股定理求出BC，根据正弦的概念计算即可【解答】解：在RtABC中，由勾股定理得，BC=12，sinA=，故选：B【例题2】（2017重庆B）如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin200.342，cos200.940，tan200.364）（）A29.1米B31.9米C45.9米D95.9米【分析】根据坡度，勾股定理，可得DE的长，再根据平行线的性质，可得1，根据同角三角函数关系，可得1的坡度，根据坡度，可得DF的长，根据线段的和差，可得答案【解答】解：作DEAB于E点，作AFDE于F点，如图，设DE=xm，CE=2.4xm，由勾股定理，得x2+（2.4x）2=1952，解得x75m，DE=75m，CE=2.4x=180m，EB=BCCE=306180=126mAFDG，1=ADG=20，tan1=tanADG=0.364AF=EB=126m，tan1=0.364，DF=0.364AF=0.364126=45.9，AB=FE=DEDF=7545.929.1m，故选：A【点评】本题考查了解直角三角形，利用坡度及勾股定理得出DE，CE的长是解题关键【例题3】（2017湖北荆州）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2米处的点C出发，沿斜面坡度i=1：的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37，量得仪器的高DE为1.5米已知A、B、C、D、E在同一平面内，ABBC，ABDE求旗杆AB的高度（参考数据：sin37，cos37，tan37计算结果保留根号）【考点】TA：解直角三角形的应用仰角俯角问题；T9：解直角三角形的应用坡度坡角问题【分析】延长ED交BC延长线于点F，则CFD=90，RtCDF中求得CF=CDcosDCF=2、DF=CD=2，作EGAB，可得GE=BF=4、GB=EF=3.5，再求出AG=GEtanAEG=4tan37可得答案【解答】解：如图，延长ED交BC延长线于点F，则CFD=90，tanDCF=i=，DCF=30，CD=4，DF=CD=2，CF=CDcosDCF=4=2，BF=BC+CF=2+2=4，过点E作EGAB于点G，则GE=BF=4，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5，又AED=37，AG=GEtanAEG=4tan37，则AB=AG+BG=4tan37+3.5=3+3.5，故旗杆AB的高度为（3+3.5）米【例题4】（2017山东聊城）耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔，是“运河四大名塔”之一（如图1）数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点P处，利用测角仪测得运河两岸上的A，B两点的俯角分别为17.9，22，并测得塔底点C到点B的距离为142米（A、B、C在同一直线上，如图2），求运河两岸上的A、B两点的距离（精确到1米）（参考数据：sin220.37，cos220.93，tan220.40，sin17.90.31，cos17.90.95，tan17.90.32）【考点】TA：解直角三角形的应用仰角俯角问题【分析】在RtPBC中，求出BC，在RtPAC中，求出AC，根据AB=ACBC计算即可【解答】解：根据题意，BC=142米，PBC=22，PAC=17.9，在RtPBC中，tanPBC=，PC=BCtanPBC=142tan22，在RtPAC中，tanPAC=，AC=177.5，AB=ACBC=177.514236米答：运河两岸上的A、B两点的距离为36米【专项训练】一、选择题：1. （2017温州）如图，一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶13米，已知cos=1213，则小车上升的高度是（）A5米B6米C6.5米D12米【考点】T9：解直角三角形的应用坡度坡角问题【分析】在RtABC中，先求出AB，再利用勾股定理求出BC即可【解答】解：如图AC=13，作CBAB，cos=1213=ABAC，AB=12，BC=AC2-AB2=132122=5，小车上升的高度是5m故选A【点评】此题主要考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型2. （2017绥化）某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，BCA约为29，则该楼梯的高度AB可表示为（）A3.5sin29米B3.5cos29米C3.5tan29米D米【考点】T9：解直角三角形的应用坡度坡角问题【分析】由sinACB=得AB=BCsinACB=3.5sin29【解答】解：在RtABC中，sinACB=，AB=BCsinACB=3.5sin29，故选：A3. (2017湖北宜昌)ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），ADBC于D，下列选项中，错误的是（）Asin=cosBtanC=2Csin=cosDtan=1【考点】T1：锐角三角函数的定义【分析】观察图象可知，ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=2，AD=2，CD=1，AC=，利用锐角三角函数一一计算即可判断【解答】解：观察图象可知，ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=2，AD=2，CD=1，AC=，sin=cos=，故正确，tanC=2，故正确，tan=1，故D正确，sin=，cos=，sincos，故C错误故选C4. （2017深圳）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10cm，则树AB的高度是（）mA20B30C30D40【考点】TA：解直角三角形的应用仰角俯角问题【分析】先根据CD=20米，DE=10m得出DCE=30，故可得出DCB=90，再由BDF=30可知DBE=60，由DFAE可得出BGF=BCA=60，故GBF=30，所以DBC=30，再由锐角三角函数的定义即可得出结论【解答】解：在RtCDE中，CD=20m，DE=10m，sinDCE=，DCE=30ACB=60，DFAE，BGF=60ABC=30，DCB=90BDF=30，DBF=60，DBC=30，BC=20m，AB=BCsin60=20=30m故选B5. （2017益阳）如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，CAB=，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（）AhsinBhcosChtanDhcos【考点】T8：解直角三角形的应用【分析】根据同角的余角相等得CAD=BCD，由osBCD=CDBC知BC=CDcosBCD=hcos【解答】解：CAD+ACD=90，ACD+BCD=90，CAD=BCD，在RtBCD中，cosBCD=CDBC，BC=CDcosBCD=hcos，故选：B【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键二、填空题：6. 在RtABC中，C=90，AB=2，BC=，则sin=【考点】T5：特殊角的三角函数值【分析】根据A的正弦求出A=60，再根据30的正弦值求解即可【解答】解：sinA=，A=60，sin=sin30=故答案为：7. （2017黑龙江）ABC中，AB=12，AC=39，B=30，则ABC的面积是213或153【考点】T7：解直角三角形【专题】32 ：分类讨论【分析】过A作ADBC于D（或延长线于D），根据含30度角的直角三角形的性质得到AD的长，再根据勾股定理得到BD，CD的长，再分两种情况：如图1，当AD在ABC内部时、如图2，当AD在ABC外部时，进行讨论即可求解【解答】解：如图1，作ADBC，垂足为点D，在RtABD中，AB=12、B=30，AD=AB=6，BD=ABcosB=1232=63，在RtACD中，CD=AC2-AD2=(39)2-62=3，BC=BD+CD=63+3=73，则SABC=BCAD=736=213；如图2，作ADBC，交BC延长线于点D，由知，AD=6、BD=63、CD=3，则BC=BDCD=53，SABC=BCAD=536=153，故答案为：213或153【点评】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，本题关键是得到BC和AD的长，同时注意分类思想的运用8. （2017黑龙江鹤岗）ABC中，AB=12，AC=，B=30，则ABC的面积是21或15【考点】T7：解直角三角形【分析】过A作ADBC于D（或延长线于D），根据含30度角的直角三角形的性质得到AD的长，再根据勾股定理得到BD，CD的长，再分两种情况：如图1，当AD在ABC内部时、如图2，当AD在ABC外部时，进行讨论即可求解【解答】解：如图1，作ADBC，垂足为点D，在RtABD中，AB=12、B=30，AD=AB=6，BD=ABcosB=12=6，在RtACD中，CD=，BC=BD+CD=6+=7，则SABC=BCAD=76=21；如图2，作ADBC，交BC延长线于点D，由知，AD=6、BD=6、CD=，则BC=BDCD=5，SABC=BCAD=56=15，故答案为：21或159. （2017黄石）如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30，则建筑物AB的高度约为137米（注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：1.41，1.73）【考点】TA：解直角三角形的应用仰角俯角问题【分析】设AB=x米，由ACB=45得BC=AB=x、BD=BC+CD=x+100，根据tanADB=可得关于x的方程，解之可得答案【解答】解：设AB=x米，在RtABC中，ACB=45，BC=AB=x米，则BD=BC+CD=x+100（米），在RtABD中，ADB=30，tanADB=，即=，解得：x=50+50137，即建筑物AB的高度约为137米故答案为：137【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件10. （2017湖北江汉）为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD=12米，B=60，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE=，则CE的长为8米【考点】T9：解直角三角形的应用坡度坡角问题【分析】分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、G在RtABF中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就得到了DG的长；在RtCDG中，由勾股定理求CG的长，在RtDEG中，根据正切函数定义得到GE的长；根据CE=GECG即可求解【解答】解：分别过A、D作AFBC，DGBC，垂点分别为F、G，如图所示在RtABF中，AB=12米，B=60，sinB=，AF=12=6，DG=6在RtDGC中，CD=12，DG=6米，GC=18在RtDEG中，tanE=，=，GE=26，CE=GECG=2618=8即CE的长为8米故答案为8三、解答题：1. （2017.江苏宿迁）如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点A处测得正前方小岛C的俯角为30，面向小岛方向继续飞行10km到达B处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为45，如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度（结果保留根号）【考点】TA：解直角三角形的应用仰角俯角问题【分析】C作CDAB，由CBD=45知BD=CD=x，由ACD=30知AD=x，根据AD+BD=AB列方程求解可得【解答】解：过点C作CDAB于点D，设CD=x，CBD=45，BD=CD=x，在RtACD中，tan，AD=x，由AD+BD=AB可得x+x=10，解得：x=55，答：飞机飞行的高度为（55）km2. （2017贵州）如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角为60，根据有关部门的规定，39时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：sin390.63，cos390.78，tan390.81，1.41，1.73，2.24）【考点】T9：解直角三角形的应用坡度坡角问题【分析】假设点D移到D的位置时，恰好=39，过点D作DEAC于点E，作DEAC于点E，根据锐角三角函数的定义求出DE、CE、CE的长，进而可得出结论【解答】解：假设点D移到D的位置时，恰好=39，过点D作DEAC于点E，作DEAC于点E，CD=12米，DCE=60，DE=CDsin60=12=6米，CE=CDcos60=12=6米DEAC，DEAC，DDCE，四边形DEED是矩形，DE=DE