2018中考数学题型专项研究12讲：2018中考数学题型专项研究第4讲：分式与分式方程

更多资料见微信公众号：数学第六感；小编微信：AA-teacher第4讲分式与分式方程分式的化简求值分式的性质用错，常会把分子分母同时加上同一个式子；通分时a常会通分成；添括号时不变符号；加减的两个分式进行分子分母约分；代值时容易代入使分式无意义的数分式的化简求值首先把分式约分、通分，再进行加减乘除运算，化简后把值代入通分的关键是寻找最简公分母，找分子、分母的公因式方法如下：(1)定系数：最大公约数(2)定字母：相同字母取最低次幂(3)若分子、分母是多项式应先把分子、分母因式分解，然后确定公因式化简求值类一定要先化简再求值，分数线有括号的作用，去分母后分子要加括号，注意结果一定是最简分式化简时要有整体意识和符号意识【典例解析】【例题1】（2017山东临沂）计算：（x）=【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可【解答】解：原式=，故答案为：【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确运用分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序【例题2】（2017毕节）关于x的分式方程+5=有增根，则m的值为（）A1B3C4D5【考点】B5：分式方程的增根【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值【解答】解：方程两边都乘（x1），得7x+5（x1）=2m1，原方程有增根，最简公分母（x1）=0，解得x=1，当x=1时，7=2m1，解得m=4，所以m的值为4故选C【例题3】（2017哈尔滨）方程=的解为（）Ax=3Bx=4Cx=5Dx=5【考点】B3：解分式方程【分析】根据分式方程的解法即可求出答案【解答】解：2（x1）=x+3，2x2=x+3，x=5，令x=5代入（x+3）（x1）0，故选（C）【例题4】（2017乌鲁木齐）2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（）A=5B=5C +5=D=5【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程【分析】根据题意给出的等量关系即可列出方程【解答】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，实际每天植树（x+0.2x）万棵，需要天完成，提前5天完成任务，=5，故选（A）【例题5】（2017毕节）某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同（1）求这种笔和本子的单价；（2）该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子，计划100元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案【考点】B7：分式方程的应用；95：二元一次方程的应用【分析】（1）首先设这种笔单价为x元，则本子单价为（x4）元，根据题意可得等量关系：30元买这种本子的数量=50元买这种笔的数量，由等量关系可得方程=，再解方程可得答案；（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本，根据题意可得这种笔的单价这种笔的支数m+本子的单价本子的本数n=1000，再求出整数解即可【解答】解：（1）设这种笔单价为x元，则本子单价为（x4）元，由题意得：=，解得：x=10，经检验：x=10是原分式方程的解，则x4=6答：这种笔单价为10元，则本子单价为6元；（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本，由题意得：10m+6n=100，整理得：m=10n，m、n都是正整数，n=5时，m=7，n=10时，m=4，n=15，m=1；有三种方案：购买这种笔7支，购买本子5本；购买这种笔4支，购买本子10本；购买这种笔1支，购买本子15本【专项训练】一、选择题：1. （2017乐山）若a2ab=0（b0），则aa+b=（）A0BC0或D1或 2【考点】64：分式的值【分析】首先求出a=0或a=b，进而求出分式的值【解答】解：a2ab=0（b0），a=0或a=b，当a=0时，aa+b=0当a=b时，aa+b=，故选C【点评】本题主要考查了分式的值，解题的关键是要注意题目有两个答案，容易漏掉值为0的情况2. （2017山东聊城）如果解关于x的分式方程=1时出现增根，那么m的值为（）A2B2C4D4【考点】B5：分式方程的增根【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x2=0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案【解答】解：=1，去分母，方程两边同时乘以x2，得：m+2x=x2，由分母可知，分式方程的增根可能是2，当x=2时，m+4=22，m=4，故选D3. （2017贵州）分式方程=1的根为（）A1或3B1C3D1或3【考点】B3：解分式方程【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：3=x2+x3x，解得：x=1或x=3，经检验x=1是增根，分式方程的根为x=3，故选C4. （2017山东临沂）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个如果设乙每小时做x个，那么所列方程是（）A=B=C=D=【分析】根据甲乙的效率，可设未知数，根据甲乙的工作时间，可列方程【解答】解：设乙每小时做x个，甲每小时做（x+6）个，根据甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，得=，故选：B【点评】本题考查了分是方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键5. （2017山东泰安）某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（）A10=B +10=C10=D +10=【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程【分析】根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可【解答】解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：+10=故选：B二、填空题：6. （2017广西百色）若分式有意义，则x的取值范围为x2【考点】62：分式有意义的条件【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案【解答】解：由题意，得x20解得x2，故答案为：x27. （2017.江苏宿迁）若关于x的分式方程=3有增根，则实数m的值是1【考点】B5：分式方程的增根【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x2=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可【解答】解：去分母，得：m=x13（x2），由分式方程有增根，得到x2=0，即x=2，把x=2代入整式方程可得：m=1，故答案为：18. （2017山东泰安）分式与的和为4，则x的值为3【考点】B3：解分式方程【分析】首先根据分式与的和为4，可得： +=4，然后根据解分式方程的方法，求出x的值为多少即可【解答】解：分式与的和为4，+=4，去分母，可得：7x=4x8解得：x=3经检验x=3是原方程的解，x的值为3故答案为：39. （2017湖北荆州）若关于x的分式方程=2的解为负数，则k的取值范围为k3且k1【考点】B2：分式方程的解；C6：解一元一次不等式【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数确定出k的范围即可【解答】解：去分母得：k1=2x+2，解得：x=，由分式方程的解为负数，得到0，且x+10，即1，解得：k3且k1，故答案为：k3且k110. （2017四川南充）如果=1，那么m=2【考点】B3：解分式方程【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到m的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：1=m1，解得：m=2，经检验m=2是分式方程的解，故答案为：2三、解答题：1. （2017内蒙古赤峰）（），其中a=2017+（）1+tan30【考点】6D：分式的化简求值；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值【分析】先化简分式，然后再化简a的值，从而可求出原式的值【解答】解：原式=由于a=2017+（）1+tan30，a=15+3=1原式=22. “2017年张学友演唱会”于6月3日在我市关山湖奥体中心举办，小张去离家2520米的奥体中心看演唱会，到奥体中心后，发现演唱会门票忘带了，此时离演唱会开始还有23分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回奥体中心，已知小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍（1）求小张跑步的平均速度；（2）如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了5分钟，他能否在演唱会开始前赶到奥体中心？说明理由【考点】B7：分式方程的应用【分析】（1）设小张跑步的平均速度为x米/分钟，则小张骑车的平均速度为1.5x米/分钟，根据时间=路程速度结合小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；（2）根据时间=路程速度求出小张跑步回家的时间，由骑车与跑步所需时间之间的关系可得出骑车的时间，再加上取票和寻找“共享单车”共用的5分钟即可求出小张赶回奥体中心所需时间，将其与23进行比较后即可得出结论【解答】解：（1）设小张跑步的平均速度为x米/分钟，则小张骑车的平均速度为1.5x米/分钟，根据题意得：=4，解得：x=210，经检验，x=210是原方程组的解答：小张跑步的平均速度为210米/分钟（2）小张跑步到家所需时间为2520210=12（分钟），小张骑车所用时间为124=8（分钟），小张从开始跑步回家到赶回奥体中心所需时间为12+8+5=25（分钟），2523，小张不能在演唱会开始前赶到奥体中心3. （2017广西河池）某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个已知足球的单价比排球的单价多30元，用500元购得的排球数量与用800元购得的足球数量相等（1）排球和足球的单价各是多少元？（2）若恰好用去1200元，有哪几种购买方案？【考点】B7：分式方程的应用；95：二元一次方程的应用【分析】（1）设排球单价是x元，则足球单价是（x+30）元，根据题意可得等量关系：500元购得的排球数量=800元购得的足球数量，由等量关系可得方程，再求解即可；（2）设恰好用完1200元，可购买排球m个和购买足球n个，根据题意可得排球的单价排球的个数m+足球的单价足球的个数n=1200，再求出整数解即可得出答案【解答】解：设排球单价