高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3 全称量词与存在量词课件 北师大版选修21.ppt

1 3全称量词与存在量词 一 二 思考辨析 一 量词与命题1 全称量词 全称命题 2 存在量词 特称命题 一 二 思考辨析 名师点拨1 从集合的观点看 全称命题是陈述某集合所有元素都具有某种性质的集合 而特称命题是陈述某集合中有 存在 一些元素具有某种性质的命题 2 全称命题含有全称量词 有些全称命题中的全称量词是省略的 理解时需把它补充出来 例如 命题 平行四边形对角线互相平分 应理解为 所有的平行四边形对角线都互相平分 3 含有存在量词 存在 有一个 等的命题 或虽没有写出存在量词 但其意义具备 存在 有一个 等特征的命题都是特称命题 一 二 思考辨析 做一做1 下列语句不是全称命题的是 a 任何一个实数乘以零都等于零b 自然数都是正整数c 高二 一 班绝大多数同学是团员d 每一个向量都有大小解析 判断命题是否为全称命题 关键是看命题中的量词是否体现 所有的 任意一个 等含义 含有全称量词的命题为全称命题 其中a b d选项的量词 任何一个 都 每一个 均是全称量词 故为全称命题 对于选项c中的量词 绝大多数 属于存在量词 故不是全称命题 答案 c 一 二 思考辨析 做一做2 下列命题中 是真命题的是 a 存在x r sinx cosx 1 5b 任意x 0 sinx cosxc 存在x r x2 x 1d 任意x 0 ex 1 x 解析 sinx cosx 1 x 答案 d 一 二 思考辨析 二 含有一个量词的命题的否定 名师点拨1 要否定全称命题 对任意x m p x 成立 只需在m中找到一个x0 使得p x0 不成立 即 存在x0 m 使p x0 不成立 2 要否定特称命题 存在x m p x 成立 需要验证对m中的每一个x 均有p x 不成立 即 对任意的x m p x 不成立 3 写省略量词的全称命题或特称命题的否定时 要先补回量词再否定 一 二 思考辨析 做一做3 命题 存在实数x 使x 1 的否定是 a 对任意实数x 都有x 1b 不存在实数x 使x 1c 对任意实数x 都有x 1d 存在实数x 使x 1答案 c 做一做4 已知命题p 对任意实数x 2 总有x2 8 0 那么p的否定为 答案 存在实数x 2 使得x2 8 0 一 二 思考辨析 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 全称命题中一定含有全称量词 2 同一个特称命题的表达形式不是唯一的 3 全称命题的否定一定是特称命题 特称命题的否定一定是全称命题 4 用自然语言描述的全称命题的否定形式是唯一的 5 全称命题与其否定的真假可以相同 探究一 探究二 探究三 思维辨析 全称命题与特称命题的判断 例1 判断下列命题是全称命题还是特称命题 1 对数函数都是单调函数 2 至少有一个整数 它既能被2整除 又能被5整除 3 任给x x x是有理数 x2是有理数 4 存在x z logax 0 5 负数的平方是正数 6 有的实数是无限不循环小数 7 有些三角形不是直角三角形 8 凡是三角形 都有内切圆 9 任给x y r x2 y2 2x 2y 1 10 若a b 则a2 b2 探究一 探究二 探究三 思维辨析 思维点拨 判断一个命题是全称命题还是特称命题 关键有两点 一是是否具有两类命题所要求的量词或形式 二是根据命题的含义判断指的是全体 还是全体中的个别元素 解 1 中含有全称量词 都 所以是全称命题 2 中含有存在量词 至少有一个 所以是特称命题 3 中含有全称量词 任给 所以是全称命题 4 中含有存在量词 存在 所以是特称命题 5 中从命题的叙述中看出 省略了全称量词 都 或 所有 因而是全称命题 6 中含有存在量词 有的 所以是特称命题 7 中含有存在量词 有些 所以是特称命题 8 中含有全称量词 凡是 所以是全称命题 探究一 探究二 探究三 思维辨析 9 中含有全称量词 任给 所以是全称命题 10 是一个 若p 则q 形式的命题 不含量词 所以它既不是全称命题 也不是特称命题 反思感悟判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤1 首先判定语句是否为命题 若不是命题 就当然不是全称命题或特称命题 2 若是命题 再分析命题中所含的量词 含有全称量词的命题是全称命题 含有存在量词的命题是特称命题 3 当命题中不含量词时 要注意理解命题含义的实质 4 一个全称命题 或特称命题 往往有多种不同的表述方法 有时可能会省略全称量词 或存在量词 应结合具体问题多加体会 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1下列命题 1 至少有一个x 使x2 2x 1 0成立 2 对任意的x 都有x2 2x 1 0成立 3 对任意的x 都有x2 2x 1 0不成立 4 存在x 使x2 2x 1 0成立 其中是全称命题的个数为 a 1b 2c 3d 4解析 2 3 含有全称量词 故 2 3 是全称命题 答案 b 探究一 探究二 探究三 思维辨析 全称命题与特称命题的真假判断 例2 判断下列命题是全称命题 还是特称命题 并判断其真假 1 对任意x n 2x 1是奇数 2 每一个平行四边形的对角线都互相平分 4 存在一组m n的值 使m n 1 5 至少有一个集合a 满足a 1 2 3 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 是全称命题 因为对任意x n 2x 1都是奇数 所以全称命题 对任意x n 2x 1是奇数 是真命题 2 是全称命题 由平行四边形的性质可知此命题是真命题 3 是特称命题 不存在x r 使 0成立 所以该命题是假命题 4 是特称命题 当m 4 n 3时 m n 1成立 所以该命题是真命题 5 是特称命题 存在a 3 使a 1 2 3 成立 所以该命题是真命题 反思感悟全称命题 特称命题的真假判断 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2判断下列命题是全称命题还是特称命题 并判断其真假 1 不相交的两条直线是平行线 2 存在正实数x y 使x2 y2 0 解 1 全称命题 不相交的两条直线也可能是异面直线 因此 命题是假命题 2 特称命题 要使x2 y2 0成立 只有x y 0 而0不是正实数 因而不存在正实数x y 使x2 y2 0 因此 命题是假命题 探究一 探究二 探究三 思维辨析 含有一个量词的命题的否定 例3 写出下列命题的否定 并判断其真假 1 p 对任意x r x2 x 0 2 q 所有的正方形都是矩形 3 r 存在x r 使x2 2x 2 0 4 s 至少有一个实数x 使x3 1 0 思维点拨 首先弄清楚是全称命题还是特称命题 然后再针对不同的形式加以否定 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2 至少存在一个正方形不是矩形 假命题 3 对任意x r x2 2x 2 0 真命题 这是由于对任意x r x2 2x 2 x 1 2 1 1 0成立 4 对任意x r x3 1 0 假命题 这是由于当x 1时 x3 1 0 反思感悟在书写全称命题与特称命题的否定时 一定要抓住决定命题性质的量词 从对量词的否定入手 书写命题的否定 由于全称量词的否定是存在量词 而存在量词的否定又是全称量词 因此 全称命题的否定一定是特称命题 特称命题的否定一定是全称命题 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3 1 命题 对任意x 0 x2 x 0 的否定是 a 存在x 0 使x2 x 0b 存在x 0 使x2 x 0c 对任意x 0 x2 x 0d 对任意x 0 x2 x 0 2 命题 存在x z 使x2 2x m 0 的否定是 a 存在x z 使x2 2x m 0 b 不存在x z 使x2 2x m 0 c 对于任意x z 都有x2 2x m 0 d 对于任意x z 都有x2 2x m 0 答案 1 b 2 d 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因对含有一个量词的命题的否定意义理解不透彻而致误 典例 写出下列命题的否定 1 矩形有一个外接圆 2 对数函数都是单调函数 易错分析 上述两个命题都是省略全称量词的全称命题 在写其否定形式时 往往忽略量词的改写 只对结论进行否定 正解 1 由于省略了全称量词 所有的 其原命题为 所有的矩形都有一个外接圆 故原命题的否定为 存在一个矩形没有外接圆 2 由于隐含了量词 任意的 其原命题为 任意的对数函数都是单调函数 故原命题的否定为 存在一个对数函数不是单调函数 纠错心得对于隐含了量词的命题的否定 先补全再进行否定 要注意对其进行改写进而找出量词 1 中隐含了全称量词 所有的 2 中隐含了全称量词 任意的 因此需要对其进行改写 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练已知命题 可以被5整除的数 末位是0 则其否定是 解析 省略了全称量词 任何一个 该命题的否定为 有些可以被5整除的数 末位不是0 答案 有些可以被5整除的数 末位不是0 12345 1 下列命题是特称命题的是 a 三角函数都是周期函数b 任意的a 0 函数y logax是增函数c 偶函数的图像关于y轴对称d 存在实数不小于3答案 d 12345 2 判断下列全称命题的真假 其中真命题为 a 所有奇数都是素数b 任给x r x2 1 1c 对每个无理数x x2是有理数d 每个函数都有反函数答案 b 12345 3 下列说法中 正确的个数是 存在一个实数x 使 2x2 x 4 0 所有的质数都是奇数 在同一平面中斜率相等且不重合的两条直线都平行 至少存在一个正整数 能被5和7整除 a 1b 2c 3d 4解析 对于 0 方程无解 故 错 对于 2为质数 但2不是奇数 故 错 正确 故正确个数