高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算课件 新人教A版选修21.ppt

第三章 3 1空间向量及其运算 3 1 1空间向量及其加减运算 学习目标1 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程 了解空间向量 向量的模 零向量 相反向量 相等向量等的概念 2 会用平行四边形法则 三角形法则作出向量的和与差 了解向量加法的交换律和结合律 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一空间向量的概念 思考 类比平面向量的概念 给出空间向量的概念 在空间 把具有大小和方向的量叫做空间向量 答案 梳理 1 在空间 把具有和的量叫做空间向量 向量的大小叫做向量的或 空间向量也用有向线段表示 有向线段的表示向量的模 向量a的起点是a 终点是b 则向量a也可记作 其模记为 长度 大小 方向 长度 模 2 几类特殊的空间向量 零向量 模为1 相等 相反 相同 相等 同向 等长 知识点二空间向量的加减运算及运算律 思考1 下面给出了两个空间向量a b 作出b a b a 如图 空间中的两个向量a b相加时 我们可以先把向量a b平移到同一个平面 内 以任意点o为 答案 思考2 由上述的运算过程总结一下 如何求空间两个向量的和与差 下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则 先将两个向量平移到同一个平面 然后运用平面向量的运算法则 三角形法则 平行四边形法则 运算即可 图1是三角形法则 图2是平行四边形法则 答案 梳理 1 类似于平面向量 可以定义空间向量的加法和减法运算 2 空间向量加法交换律a b 空间向量加法结合律 a b c a b c b a 题型探究 类型一有关空间向量的概念的理解 例1给出以下结论 两个空间向量相等 则它们的起点和终点分别相同 若空间向量a b满足 a b 则a b 在正方体abcd a1b1c1d1中 必有 若空间向量m n p满足m n n p 则m p 其中不正确的个数是a 1b 2c 3d 4 答案 解析 两个空间向量相等 它们的起点 终点不一定相同 故 不正确 若空间向量a b满足 a b 则不一定能判断出a b 故 不正确 在正方体abcd a1b1c1d1中 必有成立 故 正确 显然正确 故选b 在空间中 向量 向量的模 相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致 两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同 模相等 两向量互为相反向量的充要条件是大小相等 方向相反 反思与感悟 a 1b 2c 3d 4 答案 解析 2 如图 在长方体abcd a b c d 中 ab 3 ad 2 aa 1 则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中 单位向量共有多少个 解答 试写出模为的所有向量 解答 试写出与向量相等的所有向量 解答 试写出向量的所有相反向量 解答 类型二空间向量的加减运算 例2如图 已知长方体abcd a b c d 化简下列向量表达式 并在图中标出化简结果的向量 解答 解答 结合加法运算 解答 引申探究 反思与感悟 3 空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算 即a b a b 4 由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内 成为同一个平面内的两个向量 而平面向量满足加法交换律 因此空间向量也满足加法交换律 所以 a b c a b c 平行六面体的六个面均为平行四边形 证明 当堂训练 1 下列命题中 假命题是a 同平面向量一样 任意两个空间向量都不能比较大小b 两个相等的向量 若起点相同 则终点也相同c 只有零向量的模等于0d 空间中任意两个单位向量必相等 2 3 4 5 1 答案 2 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 与向量相等的向量共有a 1个b 2个c 3个d 4个 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 向量a b互为相反向量 则a b模相等 方向相反 故d正确 3 向量a b互为相反向量 已知 b 3 则下列结论正确的是a a bb a b为实数0c a与b方向相同d a 3 答案 解析 4 在正方体abcd a1b1c1d1中 已知下列各式 4 答案 解析 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 0 答案 解析 规律与方法 1 一些特殊向量的特性 1 零向量不是没有方向 而是它的方向是任意的 2 单位向量方向虽然不一定相同 但它们的长度都是1 3 两个向量模相等 不一定是相等向量 反之 若两个向量相等 则它们不仅模相等 方向也相同 若两个向量模相等 方向相反 则它们为相反向量 2 空间向量加法 减法运算的两个技巧 1 巧用相反向量 向量减法的三角形法则是解决空间