高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3 圆的方程 2.3.1 圆的标准方程课件 新人教B版必修2.pptVIP

2 3圆的方程 2 3 1圆的标准方程 1 掌握圆的标准方程 能根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程 能根据圆的标准方程求出圆的圆心和半径 并运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题 2 掌握利用待定系数法求圆的标准方程的方法 并能借助圆的几何性质处理与圆心及半径有关的问题 3 会判断点与圆的位置关系 1 2 3 1 圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 定点是圆心 定长是圆的半径 设m x y 是 c上的任意一点 点m在 c上的条件是 cm r r为 c的半径 名师点拨圆的常用几何性质如下 1 圆心在过切点 且与切线垂直的直线上 2 圆心必是两弦中垂线的交点 3 不过圆心的弦 弦心距d 半弦长m及半径r满足r2 d2 m2 4 直径所对的圆周角是90 即圆的直径的两端点与圆周上异于端点的任意一点的连线互相垂直 1 2 3 做一做1 已知圆o的一条弦长为2 且此弦所对圆周角为60 则该圆的半径为 1 2 3 2 圆的方程 1 圆心在坐标原点 半径为r的圆的标准方程为x2 y2 r2 2 圆心坐标为 a b 半径为r的圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 1 2 3 归纳总结几种特殊形式的圆的标准方程 1 2 3 做一做2 圆心是o 3 4 半径为5的圆的方程为 a x 3 2 y 4 2 5b x 3 2 y 4 2 25c x 3 2 y 4 2 5d x 3 2 y 4 2 25答案 d 1 2 3 3 点与圆的位置关系设点p x0 y0 和圆c x a 2 y b 2 r2 则点p在圆上 x0 a 2 y0 b 2 r2 pc r 点p在圆外 x0 a 2 y0 b 2 r2 pc r 点p在圆内 x0 a 2 y0 b 2 r2 pc r 1 2 3 做一做3 1 下面各点在圆 x 1 2 y 1 2 2上的是 答案 c 1 2 3 做一做3 2 点p m2 5 与圆x2 y2 24的位置关系是 a 在圆外b 在圆内c 在圆上d 不确定解析 因为 m2 2 52 m4 25 24 所以点p在圆外 答案 a 1 2 1 圆的图形不是函数的图象剖析 根据函数知识 对于平面直角坐标系中的某一曲线 如果垂直于x轴的直线与此曲线至多有一个交点 那么这条曲线是函数的图象 否则 不是函数的图象 对于平面直角坐标系中的圆 垂直于x轴的直线与其至多有两个交点 因此圆不是函数的图象 但是存在图象是圆弧形状的函数 1 2 2 求圆关于一个点或一条直线对称的圆的方程的问题剖析 要求圆c x a 2 y b 2 r2关于点p x0 y0 对称的圆的方程 首先找圆心c a b 关于点p x0 y0 的对称点 得到对称圆的圆心 半径不变 如 求圆 x 1 2 y2 4关于原点对称的圆的方程 因为已知圆的圆心是 1 0 它关于原点的对称点是 1 0 所以所求的圆的方程为 x 1 2 y2 4 同理求圆关于直线mx ny p 0对称的圆的方程 只需求圆心关于直线的对称点 1 2 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 例1 根据下列条件分别求圆的标准方程 2 以m 4 5 n 6 1 为直径两端点 3 圆心为 1 3 经过点 3 1 4 圆心为 2 5 且与直线4x 3y 3 0相切 5 圆心在直线x 2上 且与y轴交于点a 0 4 b 0 2 6 求经过点a 4 1 且与直线x y 1 0相切于点b 2 1 的圆的方程 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 分析 1 2 3 4 5 根据各个条件 分别确定圆心坐标和半径大小 写出标准方程 6 设圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 根据题目条件列出关于a b r的方程组 解方程组求得a b r的值 即得圆的方程 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思1 在求圆的标准方程时 要注意中点坐标公式 点到直线的距离公式 两点的距离公式的正确运用 2 列方程组时要充分借助圆的几何性质 发现图中几何元素的关系 转化为a b r的方程 3 解方程组时 要充分利用加减消元法 不要盲目运用代入消元法 要将两者结合起来 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练1 求下列圆的方程 1 圆心在直线y 2x上 且与直线y 1 x相切于点 2 1 2 圆心c 3 0 且截直线y x 1所得弦长为4 3 求经过点p1 4 9 和p2 6 3 且以p1p2为直径的圆的标准方程 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 例2 1 圆的直径端点为 2 0 2 2 求此圆的方程 并判断a 5 4 b 1 0 是在圆上 圆外 还是在圆内 2 若点p 2 4 在圆 x 1 2 y 2 2 m的外部 求实数m的取值范围 分析 1 求出圆心坐标和半径可得圆的标准方程 判断点在圆上 圆外 圆内的方法是 根据已知点到圆心的距离与半径的大小关系来判断 2 利用点在圆的外部建立不等式求m的取值范围 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解 1 由已知得圆心坐标为c 2 1 半径r 1 则圆的方程为 x 2 2 y 1 2 1 a b两点都在圆外 2 点p 2 4 在圆的外部 2 1 2 4 2 2 m 解得m0 因此实数m的取值范围是0 m 5 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思一般地 以a x1 y1 b x2 y2 为直径两端点的圆的方程是 x x1 x x2 y y1 y y2 0 例如本例 1 中 由于直径端点分别为 2 0 和 2 2 因此圆的方程为 x 2 x 2 y y 2 0 整理即得 x 2 2 y 1 2 1 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练2 下列各点中在圆 x 3 2 y 1 2 5的外部的是 a 2 0 b 3 3 c 1 4 d 1 2 解析 因为 1 3 2 4 1 2 4 9 13 5 所以点 1 4 在圆外部 答案 c 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 分析 对称圆的圆心坐标变化 半径不变 另外也可利用相关点法来求 解 方法一 圆c关于直线l的对称图形仍然是圆 且半径不变 故只需求圆心c 关于直线l的对称点 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 方法二 设p x y 为所求曲线c 上任意一点 p 关于l的对称点为p x0 y0 则p x0 y0 在圆c上 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思本例中方法一更简单一些 但需掌握点关于直线的对称点坐标的求法 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练3 若圆c与圆 x 2 2 y 1 2 1关于原点对称 则圆c的方程是 a x 2 2 y 1 2 1b x 2 2 y 1 2 1c x 1 2 y 2 2 1d x 1 2 y 2 2 1解析 圆c与圆 x 2 2 y 1 2 1关于原点对称 则圆心c 2 1 故圆c的方程为 x 2 2 y 1 2 1 答案 a 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 例4 如图 一座圆拱桥 当水面在l位置时 拱顶离水面2m 水面宽12m 当水面下降1m后 水面宽多少米 分析 建立平面直角坐标系 求出圆拱桥所在圆的标准方程 再利用方程解决相关问题 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解 以圆拱桥拱顶为坐标原点 以过拱顶的竖直直线为y轴 建立平面直角坐标系 如图 设圆心为c 水面所在弦的端点为a b 则由已知得a 6 2 设圆的半径为r 则c 0 r 即圆的方程为x2 y r 2 r2 将点a的坐标 6 2 代入方程 得36 r 2 2 r2 解得r 10 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 所以圆的方程为x2 y 10 2 100 当水面下降1m后 可设点a 的坐标为 x0 3 x0 0 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思建立的平面直角坐标系不同 圆的方程也不同 建立平面直角坐标系时 要尽量使方程简单 并有利于目标实现 本题若选择其他方法建立平面直角坐标系也不影响结论 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练4 已知某隧道的截面是半径为4m的半圆 车辆只能在道路中心线一侧行驶 一辆宽为2 7m 高为3m的货车能不能驶入这个隧道 解 以截面半圆的圆心为坐标原点 半圆的直径ab所在直线为x轴 建立直角坐标系如图 则半圆的方程为x2 y2 16 y 0 将处 隧道的高度低于货车的高度 因此货车不能驶入这个隧道 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 易错点一 对几何关系把握不准确致错 例5 已知圆c的半径为2 且与y轴和直线4x 3y 0都相切 试求圆c的标准方程 错解 由题意可设圆c的标准方程为 x a 2 y b 2 4 因为圆c与y轴相切 可知a 2 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 错因分析 圆c与y轴相切意味着 a 2 而不是a 2 正解 设圆的标准方程为 x a 2 y b 2 4 由题意可得 a 2即a 2 当a 2时 由圆c与4x 3y 0相切 得 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 易错点二 对圆的标准方程理解不深致错 例6 已知圆的方程是 3x 3 2 3y 4 2 9 则该圆的圆心坐标为 半径等于 错解 由圆的方程知圆心坐标为 3 4 半径r 3 错因分析 对圆的标准方程的形式理解不深刻 所给出的圆的方程中 x与y的系数不是1 故不是标准方程 因此所得结论错误 1 2 3 4 5 1 圆c x a 2 y 1 2 3的圆心坐标是 a a 1 b a 1 c a 1 d a 1 答案 b 1 2 3 4 5 2 以点a 5 4 为圆心 且与x轴相切的圆的标准方程为 a x 5 2 y 4 2 16b x 5 2 y 4 2 16c x 5 2 y 4 2 25d x 5 2 y 4 2 25解析 因为圆与x轴相切 所以r 4 故圆的标准方程为 x 5 2 y 4 2 16 答案 a 1 2 3 4 5 3 圆 x 2 2 y2 5关于原点 0 0 对称的圆的方程为 a x 2 2 y2 5b x2 y 2 2 5c x 2 2 y 2 2 5d x2 y 2 2 5解析 求圆关于某点或直线的对称图形的方程 主要是求圆心关于点或直线的对称点 求得圆心 2 0 关于 0 0 的对称点为 2 0 则所求的圆的方程为 x 2 2 y2 5 答案 a 1 2 3 4 5 4 圆心在直线y x上且与x轴相切于点a