不确定环境下供应链的生产与订购决策问题.doc

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 长沙理工大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 刘舜 2. 贾振兴 3. 杨远平 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：2010 年 7 月26日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注不确定环境下供应链的生产与订购决策问题摘要本题是不确定环境下供应链的生产与订购决策问题，针对商品生产量和市场需求量随机波动的情况，我们建立了相应的数学优化模型，得到生产商和销售商的获利最大时对应的最优生产量和最优计划产量。以前生产商和销售商只顾个人利益，而在以供应链为基础的集成管理模式下需要协调各方利益，以使总体生产效益上升。因此我们建立以生产商和销售商总利润为目标的数学模型，这样将分别以生产商和销售商为利润的双目标求解化成单目标求解。我们以生产商产量和市场变化量波动服从正态分布为基础，对问题进行分析。对于问题一，我们通过99.7%的数值落在距均值左右3个标准差的范围内这一结论,根据公式，和生产变化量波动0.85Q，1.15Q，得到已知期望的及方差。我们以生产商的计划生产量和销售商的订购量为决策变量，当市场需求一定时，构造总利润与决策变量的模型，（分别为实际产量，订购量，市场实际需求）。通过推导生产商和销售商总体利润在生产商实际生产量波动下的期望值，先通过初步分析估算确定最优的生产量Q和订购量I的范围，再借助计算机对Q和I的取值在这样的范围下遍历求解，找出总利润的期望值最大时计划生产量和订购量最优值。对于问题二，我们采用与问题一相同的模型，只是考虑了市场需求量也是随机的，把市场的需求量也作为一个服从正态分布的随机变量构造需求量的波动函数。问题三的供应链具有两级生产不确定性，产成品的市场需求在一定的前提下构造原产品和产成品生产量的波动函数，两者均服从正态分布，再根据模型一的求解方法得到最优值。对于问题四，只是问题三的进一步深化，把市场需求也作为随机变量，方法与前面类似。【关键词】：正态分布，供应链，不确定关系，生产与订购。 1、问题的重述1.1 背景随着现在经济的快速发展,在企业发展和经济管理领域中，不确定环境下供应链的研究是使我们企业和销售商能更好的协调供应链上物料物、信息流、价值流、保持灵活和稳定的需求关系，使整个供应链上生产商和销售商的效益达到最大，是一个关系到国计民生的重要问题。供应链是一种新的企业组织形态和运营方式,包括从客户需求信息开始经过原材料供应、生产批发销售等环节,到最后把产品送到最终用户的各项制造和商业活动。供应链运作过程中需要应对生产和需求的不确定性。在不确定环境下，研究供应链成员的生产与订购决策问题，具有重要的理论和现实意义。1.2 问题对于第一问和第二问，只考虑包含一个生产商和一个销售商的供应链，即销售商向生产商订购商品，生产商将商品按批发价格批发给销售商，销售商将商品按销售价格销售给最终顾客。其中相关已知条件有如下表所示：生产成本/个库存成本/个缺货赔偿金/个出售价格/个生产商 20 5 15 40销售商 5 25 60（1）若假设商品的最终需求量是确定的，即商品市场需求量为400。而生产商生产商品量是不确定的，即由于受到各种随机因素的影响，商品实际产量可能不等于计划产量，呈随机波动，若生产商计划生产量为Q，则商品生产量的波动区间为0.85,1.15，即产品实际产量的区间为0.85Q,1.15Q.。建立数学模型，确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。根据建立的数学模型，求解供应链中销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。（2）在问题（1）的供应链中，如果商品的市场需求量也是随机的，商品市场需求量的期望为400，市场需求量的波动区间为0.8,1.2，即实际市场需求量的区间为320,480。请建立数学模型，确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。根据建立的数学模型，求解供应链中销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量。对于第三问，考虑在实际上，大多数供应链具有两级生产不确定性，即原产品生产的不确定性和产成品生产的不确定性，一级生产商生产原产品（或原材料），二级生产商向一级生产商订购原产品（或原材料），并通过加工原产品（或原材料）生产产成品，进而销售给最终顾客，两级生产均具有不确定性。相关的已知条件如下表所示：生产成本/个库存成本/个缺货赔偿/个加工成本/个售价/个一级生产商20515 40二级生产商73010 95（3）若假设产成品的市场需求量是确定的，即产成品市场需求量为280。原产品生产量的波动区间为0.85,1.15，产成品生产量的波动区间为0.9,1.1。请建立数学模型，研究在两级生产不确定的供应链中，二级生产商（产成品生产商）的最优订购量和一级生产商（原材料或原产品生产商）的最优计划产量。根据建立的数学模型，求解供应链中二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划产量。2、问题的分析 2.1，对问题背景的理解：本题是不确定环境下供应链的生产与订购决策问题，而在不确定环境下，社会的需求量是不定的，因此生产商和销售商都要在不同的社会需求量下制定自己的商品生产量和商品的采购量，从而使自己的利润达到最大化。这样我们的目的就是建立相应的数学模型，使得双方的总利润达到最大。 2.2，不确定因素的分析：在本问题当中，社会对商品的需求量、生产商的商品生产量都是一个不确定的变化量，因此我们在处理需求量和生产量是变量这个问题上，都把这些变量都当作是服从正态分布的随机变量。 2.3，数学模型的分析：我们通过99.7%的数值落在距均值左右3个标准差的范围内这一结论,根据公式，和生产变化量波动0.85Q，1.15Q，得到已知期望的及方差。我们以生产商的计划生产量和销售商的订购量为决策变量，当市场需求一定时，构造总利润与决策变量的模型，（分别为实际产量，订购量，市场实际需求）。通过推导生产商和销售商总体利润在生产商实际生产量波动下的期望值，先通过初步分析估算确定最优的生产量Q和订购量I的范围，再借助计算机对Q和I的取值再这样的范围下遍历求解，找出总利润的期望值最大时计划生产量和订购量最优值。 3、模型的假设1、这个模型只涉及到一个制造商和一个销售商2、在这个模型中我们不考虑生产商对销售商批发时进行的打折活动3、我们不考虑生产商和销售商为促销而进行的促销活动，即批发价格和销售价格不变4、本模型只考虑一个周期内的生产，销售，存储问题5、在连续的两个生产销售周期内，后一次周期不受前一个周期的影响6、销售商的销售量不受生产商生产量的影响7、在第一级，第二级生产商之间，第二次的订购量跟第一次的订购量没有关系4、符号的定义及说明4.1 问题一，二中的符号 ：生产商的计划生产量 ：商品市场的实际需求量 ：生产商的实际生产量 ：生产商获得利润 ：销售商的实际订购量 ：销售商获得利润 ：生产商与销售商获得总利润 ：单位商品的生产成本 ：单位商品的库存成本 ：单位商品的批发缺货成本 ：单位商品销售缺货成本 ：单位商品批发价格 ：单位商品的销售价格 ：商品市场需求量的期望 4.2 问题三，四中的符号 ：单位原产品生产成本 ：单位原产品库存成本 ：单位原产品缺货成本 :单位产成品生产加工成本：单位产成品库存成本 ：单位产成品缺货成本：二级生产商投入单位原产品产出产成品数量：原产品价格 ：产成品价格 ：产成品实际市场需求量 ：产成品需求量的期望 ：一级生产商计划生产量 ：一级生产商实际生产量：二级生产商订购原产品量 ：产成品的实际产量：二级生产商的利润 ：一级生产商的利润：总利润 5、模型的建立与问题的求解5.1正态分布问题：本模型中涉及产品实际产量, 市场需求量, 原产品生产量和产成品生产量的波动区间问题。由于呈现随机波动，且给出波动区间，所以可以得到各变量的正态分布图，进而取出再波动区间内的各点的概率。正态分布随机变量 X 的密度函数曲线呈中间高两边低、对称的钟形，期望（均值）, 方差,记住X 。称均方差或标准差， 当时称为标准正态分布，记作。 正态分布的随机变量在实际生活中相当地常见。在大量相互独立的、作用差不多大的随机因素影响下形成的随机变量，其极限分布为正态分布。根据的函数表还能得到：公式一：公式二：公式三： 我们根据题目中涉及到的随机变量波动范围，如（生产量的波动0.85Q,1.15Q）,以及正态分布的概率落在区间求出方差。因此它服从期望是400方差是20正态分布，编程（附录一）求图形如下：5.2存储问题: 在这个模型当中，我们对存储问题分别从生产商和销售商两个方面进行考虑。首先对于销售商而言,它需要为存储问题而支付的费用分为两个部分:第一方面，销售商为缺货时支付的赔偿费用，第二方面是销售商因销售量小于定购量而支付的存储费用。同样，对于生产商而言它也可以分为两个部分：存储费用和赔偿费用。因此我们对问题进行了在各个条件下的分类讨论。5.3 问题一由于商品实际生产量是随机的，所以要使生产商的计划生产量和销售商的计划订购量达到最优，就必须建立双目标规划模型。为了求解该模型，我们利用偏好系数把双目标规划函数转化为单目标函数，从而建立生产商与销售商的总利润达到最大的期望值模型。对于问题一，我们对一个周期内的生产销售做了深刻的分析，最终得到在不同条件下生产商和销售商的利润公式,它们在不同取值范围下的利润如下：当时，生产商的获得利润和销售商的获得利润为： 当时，生厂商的获得利润和销售商的获得利润为： 当时，生厂商的获得利润和销售商的获得利润为： 当时，生厂商的获得利润和销售商的获得利润为： 我们在生产商和销售商利润的双目标规划下，我们计算的生产商与销售商的总利润为：，由此可得出在不同条件下的总利润的表达式为：其中，服从正态分布，概率密度公式，（可由上述正态分布分析部分方法求得）因此总利润的期望为： 根据上述公式，我们运用Matlab编程对在不同的条件下遍历求解总利润期望（见附录二），可得到数据表格和和数据图：最大利润跟计划生产量（）和实际订购量（）关系表（限于篇幅，只摘录了最大值附近的部分数据）：Q I 39739839940040140240340438515161.602315206.92915251.265815294.648215247.345715199.162915150.138215100.310538615178.096115224.469515269.820815314.183615267.832215220.563915172.416215123.42738715196.806215244.276615290.694515336.091915290.72715244.4115197.17715149.06523881521115259.575215307.070215353.514815309.171215263.842115217.562115170.367138915224.019215273.721315322.317915369.836515326.543515282.233315236.938915190.694939015239.146215290.015115339.755815388.393315346.177815302.915715258.637915213.377539115249.909415301.94215352.826615402.585415361.472215319.284915276.052715231.806539215259.459715312.6715364.715115415.614615375.625615334.537815292.37815249788715322.187415375.406815427.463715388.618615348.652415307.589415265.456239415278.111415333.728415388.155315441.405815403.723515364.900515324.958815283.922539515283.941515340.761515396.383715450.818815414.313415376.65115337.850615297.933939615288.544815346.568815403.390315459.017215423.69915387.210315349.567215310.788739715295.170915354.417415412.459815469.302915435.179515399.874715363.402115325.777839815297.471215357.915815417.157915475.19915442.274715408.161515372.869715336.412839915298.568615360.203815420.640915479.878415448.154915415.237815381.134515345.855540015298.474415361.2915422.914815483.344315452.820415421.101115388.19115354.097540115300.311715364.314115427.136215488.770515459.441915428.919615397.205215364.303140215297.843215362.996315426.982215489.790615461.649615432.319515401.798815370.08940315294.241715360.52715425.660715489.6315462.666115434.520615405.188915374.669740415292.719515360.136715426.420315491.55515465.755615438.784515410.634515381.301440515287.047615355.554715422.948515489.211215464.560915438.751615411.773415383.619240615280.314715349.887315418.368915485.739615462.220915437.558415411.739615384.754540715275.595415346.226115415.790315484.265715461.858215438.324515413.649615387.821140815266.794815338.434415409.033515478.568315457.248115434.821915411.272115386.583940915257.027415329.646415401.252715471.820715451.563815430.222815407.778315384.212841015249.336515322.924115395.52815467.121115447.901815427.622415406.261215383.798841115237.84615312.352315385.905115458.475915440.267115421.023815400.722415379.341541215225.481915300.874915375.345615448.864215431.637715413.403715394.137115373.814441315212.27515288.522215363.87915438.314715422.041115404.788415386.529915367.240641415201.222415278.307415354.534815429.872915414.518815398.215515380.934715362.649941515186.430615264.299515341.343915417.531415403.064115387.678315371.344515354.035最大利润跟计划生产量（）和实际订购量（）关系图在上面的关系图中，我们可以看到当生产商的计划生产量为404，而销售商的订购量为400时，它们的总利润达到最大值，即=15491.555。其中生产商的利润是：75117721；销售商的利润是：7979.7829生产商的利润与计划生产量（）和实际订购量（）关系图在上面的关系图中，我们可以看到当生产商的计划生产量为404，而销售商的订购量为400时，生产商的期望利润是：75117721，而不考虑销售商它自己能达到的最大利润是：7847.5007销售商的利润与计划生产量（）和实际订购量（）关系图在上面的关系图中，我们可以看到当销售商的订购量为400时，销售商的期望利润是：7979.7829， 当不考虑生产商时，销售商所能达到的最大利润是：7980.1732.通过上面生产商和销售商分利润的两幅图可知生产商和销售商自身最大利润和在总利润最大情况下所得利润相差不大，我们认为双方都可以接受。从长远利益来看，这是一种较好的方案，因为在这种情况下总利润保持了最大，即就是保证了供应链上的良好接触，使各个方面都得到共赢，形成了很好的产业关系。5.4 问题二由于商品实际生产量和生产商的实际销售量都是随机的，所以要使生产商的计划生产量和销售商的计划订购量达到最优，就必须建立双目标规划模型。为了求解该模型，我们把生产商和销售商两者的总利润作为我们最终的规划目标，以此建立生产商与销售商的总利润达到最大的期望值模型。对于问题二，通过我们认真仔细的分析，我们的得出了与问题一相同的模型，因此只要把问题一中销售量的一定值转化为问题二中关于计划销售量的一个正态分布的实际销售量就可以了。通过上面的分析，我们得出了计算最大利润的如下公式：由已知参数数据，,分别服从正太分布，即，从而可得到总利润的期望为：，其中为的联合分布密度 ，其中分别为的方差。根据上述公式，我们运用Matlab编程对在不同的条件下遍历求解总利润期望，（见附录二）可得到数据表格和和数据图：最大利润跟计划生产量（）和实际订购量（）关系表（限于篇幅我们只摘录了最大值附近的部分数据）Q I41141241341441541641741839014301.746514279.855814256.103414230.547614203.247414174.262214143.651714111.475539114326.263914305.093514282.023514257.112514230.420114202.006214171.931314140.255939214349.964714329.551714307.201314282.972314256.924514229.118214199.614714168.47539314372.813314353.194314331.600514308.090514282.724114255.562214226.666114196.097739414397.962514379.184114358.393614335.649414311.011214284.539714256.296814226.344839514419.004814401.09714381.141114359.194614335.317114309.569114282.012514252.709839614439.086114422.082714402.995814381.882614358.801714333.813514306.979814278.362939714461.353314445.293314427.115514406.876114384.633114360.446214334.376814306.487339814479.555814464.463414447.220714427.882514406.505914383.149914357.875314330.74439914496.71514482.619314466.342214447.937314427.460214404.969214380.524214354.186640014512.805814499.73414484.451514467.010214447.464614425.871614402.290214376.78140114530.861814518.8514504.600114488.162214469.589314448.936714426.262314401.625840214544.714714533.778414520.579214505.165114487.587214467.899314446.157914422.421440314557.433714547.59314535.466714521.100714504.544114485.848914465.0714442.264640414572.127114563.406314552.379314539.089714523.584614505.91414486.131114464.291440514582.663714575.071414565.15514552.955714538.518514521.891314503.125214482.274140614592.032714585.581214576.790414565.69914552.349514536.787714519.062614499.22640714603.203514597.909914590.264314580.302714568.065314553.595314536.939614518.148140814610.165914606.031714599.535914590.712114579.597514566.233214550.663614532.936340914615.947714612.976414607.636814599.959714589.979714577.735314563.268414546.624341014623.499514621.698614617.525114611.00714602.176414591.069114577.72431456204614626.407514623.395214618.034414610.354214600.387814588.171914573.746941214629.426614629.946414628.093814623.891214617.365414608.546514597.468714584.169841314630.649714632.32114631.62414628.578414623.208114615.540814605.607814593.444241414633.594114636.413614636.871514634.984914630.774914624.266414615.488214604.472641514632.486914636.435814638.032614637.291914634.23214628.875414621.24814611.379541614630.268414635.332114638.055714638.451214636.534414632.325114625.846614617.125941714629.855514636.023814639.86614641.391714640.614214637.550714632.221814624.652141814625.584114632.832314637.770814640.406914640.751614638.819314634.628514628.200841914620.262614628.570314634.586814638.317114639.7714638.957514635.895514630.603342014613.91314623.258214630.332514635.13914637.684114637.977714636.033314631.8676最大利润跟计划生产量（）和实际订购量（）关系图在上面的关系图中，我们可以看到当生产商的计划生产量为417，而销售商的订购量为414时，它们的总利润达到最大值，即=14641.3917。其中生产商的利润是：7755.3449;销售商的利润是：6886.0468.生产商的利润与计划生产量（）和实际订购量（）关系图由上面的关系图我们可以看出，当生产商的计划生产量为417时，生产商的获利期望是：7755.3449，如果不考虑销售商时，它可以获得的最大利润是7850.2434.销售商的利润与计划生产量（）和实际订购量（）关系图同样，通过上面的关系图，我们可以得知，当销售商的计划订购量是414时，销售商的获利期望是：6886.0468，如果不考虑销售商时，它可以获得的最大利润是7014.9764。通过上面生产商和销售商分利润两幅图可知生产商和销售商自身最大利润和在总利润最大情况下所得利润相差不大，我们认为双方都可以接受。从长远利益来看，这是一种较好的方案，因为在这种情况下总利润保持了最大，即就是保证了供应链上的良好接触，使各个方面都得到共赢，形成了很好的产业关系。5.5问题三我们仔细的阅读了第三个问题，对于这个问题，我们采用先分别求一级生产商的利润和二级生产商的利润，然后在求它们的总利润。我们知道，影响两者生产商利润的因素有三个：销售额，赔偿费用以及存储费用。因此我们在计算两者利润时分布进行考虑。（具体的思考思路在存储问题中已分析）我们再来考虑一下，实际与计划当中存在的变量问题。在这模型当中，我们把这些变量都当做服从正态分布的变量。在各个条件下一级生产商和二级生产商的利润公式：当时当时，有：当时，有：当时，有：综上所述：我们得出总利润的计算公式：由题假设二级生产商实际产成品量服从正态分布，即，由正态分布理论可知，的期望值为：在模型函数，（分别为一级厂商计划产量，二级产商订购量，市场需求量）中运用上述求的方法求出S的表达式。由也服从正态分布，总利润期望为：根据上述公式，运用Matlab编程对不同的Q和I条件下遍历求解可得到数据表格和和数据图（见附录三）最大利润与一级生产商的生产量（）和二级生产商的订购量（）关系表Q I39839940040140240340440539515066.884415115.236515179.062515218.966215174.768915129.448215083.026215035.527439615072.710615122.262615187.279615228.365415185.342215141.179215095.895815049.514139715080.516715131.288415197.523215239.815515197.975315154.981715110.851615065.60439815084.03315136.004815203.436915246.923415206.275115164.462915121.500615077.404639915086.339415139.506815208.134715252.816815213.365115172.741815130.957715088.026640015087.444915141.800415211.619615257.49615219.242615179.81315139.214915097.459240115090.425615145.977215217.002815264.086515227.029115188.794115149.386315108.813740215089.125915145.841815218.040915266.307115230.442315193.401415155.186515115.802340315086.675415144.539715217.898915267.337115232.657315196.805915159.78215121.587540415086.242615145.255715219.781915270.396315236.889915202.219215166.380315129.372440515081.678415141.802115217.455615269.214215236.870115203.371615168.71215132.887740615076.029415137.241415214.002315266.887415235.690515203.351815169.861915135.214240715072.326815134.620215212.487215266.495115236.42615205.230215172.895915139.413540815064.552415127.881315206.807115261.897415232.936215202.86615171.672315139.343440915055.782415120.11915200.077415256.22615228.350415199.385815169.315415138.124741015049.019515114.352615195.337515252.53515225.720115197.837915168.869515138.798341115038.464715104.747115186.709115244.912415219.13415192.312115164.425615135.455841215027.00515094.205815177.11515236.295615211.52715185.740215158.912315131.022641315014.670715082.758115166.583815226.712115202.925215178.14715152.352915125.520341415004.414515073.371315158.100815219.160315196.321715172.520215147.729715121.925841514990.423915060.198215145.776515207.71815185.797315162.943315139.128415114.32741614975.665815046.224415132.618815195.410215174.376215152.439415129.571215105.744341714963.094915034.422515121.621515185.246815165.066615144.014715122.061715099.179141814947.010215019.056615107.006715171.417315152.0615131.86315110.795915088.829241914930.253115002.985515091.653615156.816815138.250315118.876215098.663815077.582642014912.853614986.239315075.592715141.475915123.667615105.084515085.69515065.4683最大利润与一级生产商的生产量（）和二级生产商的订购量（）关系图通过观察上图，我们可以得出：当一级生产商的计划生产量为404，同时二级生产商的订购量为401时，它们的总利润达到最大值，即=15270.3963一级产商的利润期望与其计划产量（）和二级产商的订购量（）关系图对图形进行分析可以得出如下结果：当一级生产商的实际生产量是404时，它获得的期望利润是7530.8589。如果不考虑二级生产商的获利情况，那么它可以达到的最大值是：7793.4565.二级产商的获利期望与其计划产量（）和二级产商的订购量（