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第三讲 柯西不等式与排序不等式 一二维形式的柯西不等式 若a b c d都是实数 则 a2 b2 c2 d2 ac bd 2当且仅当ad bc时 等号成立 定理1 二维形式的柯西不等式 你能证明吗 推论 向量形式 定理2 柯西不等式的向量形式 根据两点间距离公式以及三角形的边长关系 观察 定理 二维形式的三角不等式 设 那么 例题 例1 已知a b为实数 证明 a4 b4 a2 b2 a3 b3 2 例3 设a b R a b 1 求证 练习 作业 第37页 第1 5 6题 二一般形式的柯西不等式 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 二维形式的柯西不等式 三维形式的柯西不等式 n维形式的柯西不等式 当且仅当 i 1 2 n 或存在一个数k使得 i 1 2 n 时等号成立 以上不等式称为一般形式的柯西不等式 一般形式的三角不等式 例2已知a b c d是不全相等的正数 证明 ab bc cd da 例3已知x 2y 3z 1 求的最小值 例4 设a b c为正数且各不相等 求证 又a b c各不相等 故等号不能成立 原不等式成立 例5若a b c求证 例6 若求证 分析 左端变形 只需证此式即可 三排序不等式 反序和 乱序和 顺序和 例1 有10人各拿一只水桶去接水 设水龙头注满第i i 1 2 10 个人的水桶需要ti分 假定这些ti各不相同 问 只有一个水龙头时 应该如何安排10人的顺序 使他们等候的总时间最少 这个最少的总时间等于多少 解 总时间 分 是10t1 9t2 2t9 t10根据排序不等式 当t1 t2 t9 t10时 总时间取最小值 即 按水桶的大小由小到大依次接水 则10人等候的总时间最少 最少的总时间是 10t1 9t2 2t9 t10 例2设a1 a2 an是n个互不相等的正整数 求证 证明 设b1 b2 bn是a1 a2 an的一个排列 且有b1 b2 bn因为b1 b2 bn是互不相等的正
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