湖南省平江县第三中学高中数学《3.4 基本不等式》课件 新人教A版必修5.ppt

第一课时 3 4基本不等式 问题提出 1 不等式有许多基本性质 同时还有一些显而易见的结论 如a2 0 a 0 a a等 这些性质都是研究不等式问题的理论依据 在实际应用中 我们还需要有相应的不等式原理 2 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标 它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的 颜色的明暗使它看上去象一个风车 代表中国人民热情好客 在这个图案中既有一些相等关系 也有一些不等关系 对这些等与不等的关系 我们作些相应研究 基本不等式原理及其变通 探究 一 基本不等式的原理 a b 思考2 图中正方形abcd的面积与4个直角三角形的面积之和有什么不等关系 由此可得到一个什么不等式 a2 b2 2ab 思考3 从图形分析 上述不等式在什么情况下取等号 当直角三角形为等腰直角三角形 即a b时 a2 b2 2ab 思考4 在上面的图形背景中 a b都是正数 那么当a b r时 不等式a2 b2 2ab成立吗 为什么 一般地 对于任意实数a b 有 a2 b2 2ab 当且仅当a b时等号成立 思考5 特别地 如果a 0 b 0 我们用 分别代替a b 可得什么不等式 当且仅当a b时等号成立 思考6 不等式称为基本不等式 它沟通了两个正数的和与积的不等关系 在实际问题中有广泛的应用 你能用分析法证明吗 思考7 我们称和分别为a b的算术平均数和几何平均数 如何用文字语言表述基本不等式 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 思考8 如图 在直角三角形abc中 cd为斜边上的高 co为斜边上中线 你能利用这个图形对基本不等式作出几何解释吗 探究 二 基本不等式的变通 思考1 将基本不等式两边平方可得什么结论 它与不等式a2 b2 2ab有什么内在联系 思考2 在不等式a2 b2 2ab两边同加上a2 b2可得什么结论 所得不等式有什么特色 它反映了两个实数的平方和与它们的和的平方的不等关系 称为平方平均不等式 其数学意义是 两个实数的平方的算术平均数不小于它们的算术平均数的平方 思考3 将不等式两边同乘以 可变通出一些什么结论 理论迁移 例1已知x y都是正数 求证 x y x2 y2 x3 y3 x3y3 例2已知a2 b2 c2 1 求证 a b c 3 3 小结作业 2 基本不等式有多种形式 应用时具有很大的灵活性 既可直接应用也可变式应用 一般地 遇到和与积 平方和与积 平方和与和的平方等不等式问题时 常利用基本不等式处理 1 不等式a2 b2 2ab与都是基本不等式 它们成立的条件不同 前者a b可为任意实数 后者要求a b都是正数 但二者等号成立的条件相同 3 当a b都是正数时 有不等式链 作业 p100习题3 4a组 1 2 第二课时 3 4基本不等式 问题提出 1 基本不等式有哪几种基本形式 1 a2 b2 2ab a b r 当且仅当a b时等号成立 3 a 0 b 0 当且仅当a b时等号成立 2 函数的最大值和最小值的含义分别是什么 3 在一定条件下 利用基本不等式可以求出变量的极端值 因此 利用基本不等式求最值就成为一种重要的数学方法 最大值 f x m 且等号成立 最小值 f x m 且等号成立 基本不等式与最值 探究 一 基本不等式与最值原理 思考1 在基本不等式 a 0 b 0 中 如果a b p为定值 能得到什么原理 原理一 若两个正数的积为定值 则当这两个正数相等时它们的和取最小值 思考2 在基本不等式 a 0 b 0 中 如果a b s为定值 又能得到什么原理 原理二 若两个正数的和为定值 则当这两个正数相等时它们的积取最大值 思考3 能否由得函数的最小值是2吗 思考4 当x 4时 能否由得函数的最小值是4吗 思考6 利用基本不等式求两个变量的和的最小值 或积的最大值 应具备哪些基本条件 一正二定三相等 思考5 当x 0 时 能否由 得函数的最小值是吗 探究 二 基本不等式求最值的实际应用 思考1 如果用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园 所用篱笆的总长度是定值 还是变量 思考2 如何设计这个矩形菜园的长和宽 才能使所用篱笆最短 最短的篱笆是多少 矩形的长 宽都为10m时 所用篱笆最短 最短的篱笆是40m 思考3 用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园 所围成的矩形菜园的面积是定值 还是变量 思考4 如何设计这个矩形菜园的长和宽 才能使菜园的面积最大 最大面积是多少 矩形的长 宽都为9m时 菜园的面积最大 最大面积是81m2 思考5 若矩形菜园的一边靠墙 另外三边用一段长为36m的篱笆围成 如何设计这个矩形菜园的长和宽 才能使菜园的面积最大 最大面积是多少 矩形的长为18m 宽为9m时 菜园的面积最大 最大面积是162m2 理论迁移 例1某工厂要建造一个长方体无盖贮水池 其容积为4800m3 深为3m 如果池底每平方米的造价为150元 池壁每平方米的造价为120元 问怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价是多少元 当水池底面是边长为40m的正方形时 水池的总造价最低 最低总造价是297600元 例2某食品厂定期购买面粉 已知该厂每天需要购买面粉6吨 每吨面粉的价格为1800元 面粉的保管费等其他费用为平均每吨每天3元 购买面粉每次需支付运输费900元 问该厂每隔多少天购买一次面粉 才能使平均每天所支付的费用最少 最少费用是多少 每隔10天购买一次面粉 能使平均每天所支付的费用最少 最少费用是10989元 1 用基本不等式求函数的最值 是一种很重要的方法 应用时要注意下列三个条件 1 函数解析式中各变量均为正数 2 含变量的两项的和或积为定值 3 含变量的两项可以相等 即 一正二定三相等 小结作业 2 在实际问题中求最值时 一般先要设定字母表示相关变量 再建立变量之间的函数关系 然后求最值 对形如 x y xy x2 y2 等结构的最值问题 常用基本不等式求解 作业 p100练习 3 4 p101习题3 4a组 3 4 第三课时 3 4基本不等式 1 基本不等式 1 a2 b2 2ab a b r 当且仅当a b时等号成立 一般形式 2 a 0 b 0 当且仅当a b时等号成立 3 a 0 b 0 当且仅当a b时等号成立 知识整理 2 最值原理 1 若两个正数的积为定值 则当这两个正数相等时它们的和取最小值 2 若两个正数的和为定值 则当这两个正数相等时它们的积取最大值 3 环境条件 一正二定三相等 利用基本不等式求最值 应用举例 例1求函数的最小值 当x 4时 y取最小值5 例2求函数的最小值 当x 4时 y取最小值8 已知 例3已知 求函数的最大值