高中数学 第二章 解三角形 2.3 解三角形的实际应用举例 2.3.2 角度问题与方案设计问题课件 北师大版必修5.ppt

第2课时角度问题与方案设计问题 1 熟练应用正 余弦定理求解任意三角形 2 能利用正 余弦定理解决一些与三角形有关的实际问题 了解解三角形在测量 航海等问题中的应用 解三角形中的常见术语 做一做1 在某次测量中 a在b的北偏东55 方向 则b在a的 a 北偏西35 方向b 北偏东55 方向c 北偏东35 方向d 南偏西55 方向解析 根据题意和方向角的概念画出草图 如图所示 55 则 55 所以b在a的南偏西55 方向 答案 d 做一做2 在某次测量中 在a处测得同一半平面方向的点b的仰角是60 点c的俯角为70 则 bac 解析 如图 设水平线为ad 则 bac bad dac 60 70 130 答案 130 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一角度问题 题型一 题型二 题型三 题型四 解 设甲船沿方位角45 方向航行 需th才能与乙船在b处相遇 在 abc中 由余弦定理 得ab2 ac2 bc2 2ac bc cos acb 反思解决本题的关键在于依题意构造 abc 利用相遇时两船航行的时间相等 应用余弦定理列出方程 即可求出时间 解三角形应用问题实际上就是把已知量按方程思想进行处理 解题时选择一个比较容易解的方程 使解题过程简捷 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 在一次海上联合作战演习中 红方一艘侦察艇发现在北偏东30 方向 相距12nmile的水面上 有蓝方一艘小艇正以10nmile h的速度沿东偏南60 方向前进 若侦察艇以14nmile h的速度 沿北偏东30 方向拦截蓝方的小艇 若要在最短的时间内拦截住 求红方侦察艇所需的时间和角 的正弦值 分析 根据题意作出平面示意图 将所求量放到相应的三角形中 通过解三角形解决 题型一 题型二 题型三 题型四 解 作出示意图如图所示 设红方侦察艇经过xh后在c处追上蓝方的小艇 则ac 14xnmile bc 10 xnmile abc 60 由余弦定理 得 14x 2 122 10 x 2 240 xcos60 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二力学应用问题 分析 画出受力图 根据力的合成 计算小车在f1 f2下的合力大小 再将其与摩擦力比较可解决问题 题型一 题型二 题型三 题型四 反思物理学中的力 速度等问题常利用平行四边形法则作出图形 转化到三角形中 再利用解三角形的知识求解 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 如图所示 支座a受两个力作用 已知 f1 40n 与水平线成 角 f2 70n 沿水平方向 两个力的合力 f 100n 求角 及合力f与水平线的夹角 精确到1 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三方案设计问题 例3 如图所示 a b两地之间有一建筑物p和一座小山坡q 经实地观察发现 北面有大山 而南面在四边形abnm范围内地势平坦 但有建筑物r 试设计a b之间距离的测量计算方案 分析 本题解法较多 课本上的测量问题一般只需布设一个三角形即可解决 这里地势复杂 如果不能布设一个三角形求解 我们也可以构造多个三角形来解 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思设计方案测量有关长度或高度 方法一般不唯一 一般以简便为原则 构建在同一个三角形中解决问题 对于较复杂的问题 也可以考虑构建几个三角形 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 如果要测量某个底部不能到达的铁塔的高度 在只能使用简单测量工具的前提下 可以设计出哪些测量方案 并提供出每种方案的计算公式 解 方案一 如图 1 在地面上引一条基线ab 这条基线和塔底在同一水平面上 且延长后不过塔底 测出ab的长及角 和a对塔顶p的仰角 的大小 则可求出铁塔po的高度 计算方法如下 在 abo中 由正弦定理 得 图 1 题型一 题型二 题型三 题型四 方案二 如图 2 在地面上引一条基线ab 并使a b o三点在同一条直线上 测出ab的长和a b分别对塔顶p的仰角 则可求出铁塔po的高度 计算方法如下 题型一 题型二 题型三 题型四 方案三 如图 3 在地面上引一条基线ab 且使ab不过点o 测出ab的长 点o对ab的视角 a b分别对塔顶p的仰角 则可求出塔高po 计算方法如下 图 3 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四易错辨析易错点 因增解或漏解致误 例4 某观测站c在城a的南偏西20 的方向上 由城a出发的一条公路 走向是南偏东40 在c处测得公路上距c31km的b处有一人正沿公路向城a走去 走了20km后到达d处 此时c d间的距离为21km 这人还要走多远才能到达城a 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 1 2 3 4 5 1已知两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离相等 灯塔a在观察站c的北偏东40 方向 灯塔b在观察站c的南偏东60 方向 则灯塔a在灯塔b的 a 北偏东10 方向b 北偏西10 方向c 南偏东10 方向d 南偏西10 方向解析 如图所示 由题意知ac bc 则 abc 50 故ab与正北方向夹角为10 即灯塔a在灯塔b的北偏西10 方向 答案 b 1 2 3 4 5 2一艘船向正北匀速行驶 看见正西方两座相距10nmile的灯塔恰好与该船在同一直线上 继续航行半小时后 看见其中一座灯塔在南偏西60 方向上 另一座灯塔在南偏西75 方向上 则该船的速度是 a 8nmile hb 9nmile hc 10nmile hd 12nmile h 解析 如图所示 ab 10nmile bdc 60 adc 75 dbc 30 在 abd中 adb 15 bad 15 bd ab 10n 答案 c 1 2 3 4 5 3有一长为1km的斜坡 它的倾斜角为45 若高不变 将倾斜角改为30 则斜坡长变为 答案 b 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5为了测量两山顶m n间的距离 飞机沿水