高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理课件 新人教A版选修22(1).ppt

第二章推理与证明2 1合情推理与演绎推理2 1 1合情推理 主题1归纳推理1 在以前的数学学习中 我们知道三角形的内角和是180 那么凸四边形的内角和是多少呢 凸五边形的内角和呢 提示 凸四边形的内角和是360 2 180 凸五边形的内角和是540 3 180 2 你能归纳出凸n n 3 n z 边形的内角和是多少吗 提示 凸n n 3 n z 边形的内角和是 n 2 180 3 阅读下面的材料 考虑这几则材料在预测结果时有什么共同的特点 1 成语 一叶知秋 意思是从一片树叶的凋落 知道秋天将要来到 2 谚语 瑞雪兆丰年 3 物理学中牛顿发现万有引力 4 化学中的门捷列夫元素周期表 提示 它们都是由细微的迹象看出整体形势的变化 由个别推出一般 结论 归纳推理的定义由某类事物的 对象具有某些特征 推出该类事物的 对象都具有这些特征的推理 或者由 概括出 的推理 称为归纳推理 简称归纳 部分 全部 个别事实 一般结论 微思考 推理一般有哪些关键词 提示 推理的关键词是指 前提 和 结论 的联结词 常用的关键词有 因为 所以 根据 可知 如果 那么 若 则 主题2类比推理已知三角形的如下性质 据此回答下列问题 三角形的两边之和大于第三边 三角形的面积等于高与底乘积的 1 试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质 提示 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 四面体的体积等于底面积与高乘积的 2 以上两个推理有什么共同特点 提示 都是根据三角形的特征 类比四面体相关元素得出结论的 结论 1 类比推理的定义由两类对象具有某些类似特征和其中 对象的某些已知特征 推出 对象也具有这些特征的推理称为类比推理 简称类比 一类 另一类 2 合情推理的定义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实 经过观察 联想 再进行归纳 类比 然后提出 的推理 我们把它们统称为合情推理 分析 比较 猜想 微思考 1 归纳推理与类比推理有没有共同点 提示 有 二者都是从具体事实出发 推断猜想新的结论 2 归纳推理和类比推理的结论一定正确吗 提示 不一定 归纳推理的前提和结论之间的联系不是必然的 而是偶然性的 结论不一定正确 而类比推理的结果具有猜测性 也不一定可靠 因此也不一定正确 预习自测 1 下列说法正确的是 a 合情推理是正确的推理b 合情推理是归纳推理c 归纳推理是从一般到特殊的推理d 类比推理是从特殊到特殊的推理 解析 选d 归纳推理和类比推理统称为合情推理 合情推理得到的结论不一定正确 故选项a b错误 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 故选项c错误 类比推理就是从特殊到特殊的推理 2 根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律 试猜测第n个图中有 个点 解析 题干中第 1 5 图形中点的个数分别是1 3 7 13 21 猜测第n个图形有 n2 n 1 个点 答案 n2 n 1 3 类比 在平面直角坐标系中 圆心在原点 半径为r的圆的方程为x2 y2 r2 猜想 在空间直角坐标系中 球心在原点 半径为r的球面的方程为 解析 类比平面直角坐标系中圆的方程 从形式上易得空间直角坐标系中球面的方程为x2 y2 z2 r2 利用空间两点间的距离公式可得球面上一点到球心的距离为半径r 即r 所以所求球面的方程为x2 y2 z2 r2 答案 x2 y2 z2 r2 4 观察下列等式 1 1 2 1 2 1 2 2 22 1 3 3 1 3 2 3 3 23 1 3 5 照此规律 请写出第n个等式 解析 观察规律可知 左边为n项的乘积 最小项和最大项分别为 n 1 n n 右边为连续奇数之积乘以2n 则第n个等式为 n 1 n 2 n 3 n n 2n 1 3 5 2n 1 类型一归纳推理在数列中的应用 典例1 在数列 an 中 a1 1 an 1 n n 归纳这个数列的通项公式 解题指南 根据数列 an 的递推公式 算出数列的前几项 然后应用前几项中项与序号的对应关系 归纳猜想 an 的通项公式 解析 因为a1 1 an 1 所以a2 a3 a4 归纳数列 an 的通项公式为an 方法总结 1 已知等式或不等式进行归纳推理的方法 要特别注意所给几个等式 或不等式 中项数和次数等方面的变化规律 要特别注意所给几个等式 或不等式 中结构形式的特征 提炼出等式 或不等式 的综合特点 运用归纳推理得出一般结论 2 数列中的归纳推理在数列问题中 常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和 通过已知条件求出数列的前几项或前几项和 根据数列中的前几项或前几项和与对应序号之间的关系求解 运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式 巩固训练 1 观察下列式子 由此可以归纳出的一般结论是 解析 不等式的左边是的前 n 1 项和 右边的分母是2n 分子是2n 1 故一般性的结论是 n n 答案 n n 2 设f n n2 n 41 n n 计算f 1 f 2 f 3 f 4 f 10 的值 同时作出归纳推理 并且验证当n 40时猜想的结论是否正确 解析 f 1 12 1 41 43 f 2 22 2 41 47 f 3 32 3 41 53 f 4 42 4 41 61 f 5 52 5 41 71 f 6 62 6 41 83 f 7 72 7 41 97 f 8 82 8 41 113 f 9 92 9 41 131 f 10 102 10 41 151 由此猜想 n为任意正整数时f n n2 n 41都是质数 当n 40时 f 40 402 40 41 41 41 所以f 40 为合数 因此猜想的结论不正确 拓展 由归纳推理所得到的结论不一定正确 但它所具有的特殊到一般的性质对数学的发展有着十分重要的作用 应用时应首先分析清楚题目的条件 合理归纳 类型二归纳推理在几何中的应用 典例2 1 根据图中线段的排列规则 试猜想第8个图形中线段的条数为 2 如图 在一次珠宝展览会上 某商家展出了一套珠宝首饰 第一件首饰是1颗珠宝 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图 所示的正六边形 第三件首饰是由15颗珠宝构成的如图 所示的正六边形 第四 五件首饰分别是由28颗和45颗珠宝构成的如图 所示的正六边形 以后每件首饰都在前一件的基础上 按照这种规律增加一定数量的珠宝 使它构成更大的正六边形 以此推断第六件首饰上应有 颗珠宝 第n件首饰上应有 颗珠宝 解题指南 1 分别求出前4个图形中线段的数目 并加以归纳 发现规律 得出猜想 2 将图形问题转化为数列问题 利用归纳推理求解 解析 1 图形 中线段的条数分别为1 5 13 29 因为1 22 3 5 23 3 13 24 3 29 25 3 所以可猜想第8个图形中线段的条数应为28 1 3 509 答案 509 2 方法一 5件首饰的珠宝颗数依次为 1 6 2 3 15 3 5 28 4 7 45 5 9 归纳猜想第六件首饰上的珠宝颗数为6 11 66 第n件首饰上的珠宝颗数为n 2n 1 2n2 n 方法二 5件首饰的珠宝颗数依次为 1 1 5 1 5 9 1 5 9 13 1 5 9 13 17 则第六件首饰上的珠宝颗数为1 5 9 13 17 21 66 即每件首饰上的珠宝颗数构成一个以1为首项 4为公差的等差数列的前n项和 并且第n件首饰有n项 故第n件首饰的珠宝颗数为1 5 9 4n 3 2n2 n 答案 66 2n2 n 方法总结 归纳推理在几何中的应用问题的处理策略 巩固训练 1 设平面内有n条直线 n 3 其中有且仅有两条直线互相平行 任意三条直线不过同一点 若用f n 表示这n条直线交点的个数 则f 4 当n 3时 f n 用n表示 解析 如图 可得f 4 5 因为f 3 2 f 4 5 f 3 3 f 5 9 f 4 4 f 6 14 f 5 5 f n f n 1 n 1 所以每增加一条直线 交点增加的个数等于原来直线的条数 累加得f n 2 3 4 n 1 答案 5 2 观察如图 可以发现 1 3 4 22 1 3 5 9 32 1 3 5 7 16 42 1 3 5 7 9 25 52 由上述具体事实能得出怎样的结论 解析 将上述事实分别叙述如下 前2个奇数的和等于2的平方 前3个奇数的和等于3的平方 前4个奇数的和等于4的平方 前5个奇数的和等于5的平方 由此猜想 前n n n 个连续奇数的和等于n的平方 即1 3 5 2n 1 n2 类型三类比推理的应用 典例3 如图所示 在平面上 设ha hb hc分别是 abc三条边上的高 p为 abc内任意一点 p到相应三边的距离分别为pa pb pc 可以得到结论 1 证明此结论 通过类比写出在空间中的类似结论 解题指南 三角形类比四面体 三角形的边类比四面体的面 三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高 解析 同理 因为s pbc s pac s pab s abc 所以 类比上述结论得出以下结论 如图所示 在四面体a bcd中 设ha hb hc hd分别是该四面体的四个顶点到对面的距离 p为该四面体内任意一点 p到相应四个面的距离分别为pa pb pc pd 可以得到结论 延伸探究 1 对上述类比得出的结论加以证明 证明 同理 因为vp bcd vp acd vp abd vp abc va bcd 所以 2 在本例中 若 abc的边长分别为a b c 其对角分别为a b c 那么由a b cosc c cosb可类比四面体的什么性质 解析 在如图所示的四面体中 s1 s2 s3 s分别表示 pab pbc pca abc的面积 分别表示面pab 面pbc 面pca与底面abc所成二面角的大小 猜想s s1 cos s2 cos s3 cos 方法总结 1 类比推理的基本思路根据当前问题的需要 选择适当的类比对象 可以从几何元素的数目 位置关系 度量等方面入手 由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论 2 平面图形与空间图形类比如下 拓展延伸 类比推理的基本逻辑形式及适用前提 1 类比推理的基本逻辑形式a类事物具有性质a b c d b类事物具有性质a b c 所以b类事物可能具有性质d a b c d与a b c d 相似或相同 2 类比推理的适用前提 两类对象在某些性质上有相似性或一致性 关键是把这些相似性或一致性确切地表述出来 再由一类对象具有的特性去推断另一类对象也可能具有的特性 运用类比推理常常先寻找合适的类比对象 补偿训练 类比 等比数列 的定义 写出 等积数列 的定义 若已知等积数列的首项为2 公积为6 写出该等积数列的通项公式和前n项和 解析 等积数列 在一个数列中 从第二项起每一项与它前一项的积都为同一个常数 那么这个数列叫作等积数列 这个常数叫作该数列的公积 由定义得an 前n项和sn 课堂小结 1 知识总结 2 方法总结 1 归纳推理的关注点 归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论 该结论超越了前提所包含的范围 归纳出的结论具有猜测性质 是否属实 还需逻辑证明和实践检验 即结论不一定可靠 归纳推理是一种具有创造性的推理 通过归纳推理得到的猜想可以作为进一步研究的起点 帮助人们发现问题和提出问题 2 类比推理的关注点 类比是从人们已