第9章习题答案.doc

1. 直导线的磁场设一根直导线长度为L载流为I，沿+x方向，如图所示，忽略电流的回路或是电流的源。则对应xy平面的P点处磁场如何求？解：该问题与例题9.1类似。但是，该处场点处在xy平面上任一点。利用之前介绍的解题步骤来求。（1）源点从上图中，我们设无限小的长度dx对应描述位置矢量构成一个电流源。（2）场点从图中可知，对应的场点P的位置矢量为（3）相对位置矢量相对位置矢量为源点到P的矢量，其中对应的为距离。对应的单位矢量为（4）简化叉乘叉乘可以简化为其中包括且。（5）写下通过比奥萨瓦定律，计算无限小的源的贡献为：因此，我们可以得到磁场在场点的方向为。（6）计算积分获得总的位于P点的磁场可以对整个长度的导线进行积分获得：分析下面的极限：(i) x=0此种情况下，场点P（x，y）位于（0，y）。磁场变为：其式子与之前所求一致（ii）无限长导线设无限长导线。则结果与之前计算过的无限长结果一致。如果利用圆柱坐标，使导线位于+z轴出，则磁场的表达式：其中为切向的单位矢量，场点P为距离导线r处。2. 载流弧线设载流导线构成如图所示的弧线，其对应的圆心为P点。求P点处的磁场。解：根据比奥萨瓦定律，磁场的幅值可以根据电流微元求的对于外部弧线，我们可得：磁场由叉乘决定，其方向指向纸面外，对于内弧，则得到：对于，其方向由决定。因此，总的磁场的幅值为：（into page）3. 长方形电流回路计算如图的载流倒在在原点O处的磁场。解：对于有限长的导线载流为I，对于P点的磁场贡献由下式决定：其对应的图如下：为了计算O点处的磁场，我们利用上面的公式，则贡献可以分为三部分：（i）设左边部分的电流从至。对应参数为与。因此：的方向指向纸面外，或。（ii）下面，考虑从（x, y）=(-a, +b)到(+a, +b)。对应的角度的余弦分别为：则：对应的方向为指向纸面内，或。（iii）第三部分导线从(x,y)=(+a, +b)到(+a, +)。可以看出该段与第一段的贡献一致：的方向也指向纸面外，或。则所求的磁场可以得到：注意，当取极限，水平部分消失，两端射线般的导线载流方向相反相互叠加互相抵消，则在此极限下，磁场消失。4. 发夹形载流导线计算如图所示的发夹形载流导线在半圆形圆心P点的磁场。解：同理，将该部分分为三部分分别求解：两段射线般的载流导线，一段半圆形弧线。（i）让P点位于xy平面。第一部分为到。分别对应的角度为且。因此，对于P点的磁场的贡献为：的方向指向纸面外，或。（ii）对于半圆弧形半径为r，利用比奥萨瓦定律：且可以得到的方向指向纸面外，或。（iii）第三部分从至。则可以得到与第一段贡献一致：的方向指向纸面外，或。总的磁场幅值为：注意到两个射线般的载流导线的效果等效于有限长的导线效果：5. 两条无限长直导线设两根无限长载流直导线，电流为I，流动方向为-x方向。（a） 画出yz平面的磁场（b） 计算距离z轴上最大电场强度处的距离d。解：（a）位于点（0，0，z）由左边导线1对应的磁场根据安培环路定律可得：因此电流的流动为-x方向，磁场对应的方向的叉乘可以得到：因此，我们可以得到：对于右边的导线2。磁场的强度与左边的一致：。但是，其方向对应为将两根导线的磁场叠加，z轴分量抵消（对称性），则我们得到：为了确定B的最大值，使，则可以得到：则可得：因此，在z=a处，磁场强度达到最大，其对应的幅值为：6. 不均匀电流密度设无限长圆柱导体半径为R载流为I不均匀电流密度为：其中为常数。计算磁场。解：问题可以通过安培环路定律求解：其中包围的电流为：（a）对应rR，则包围的电流为：可以得到：因此，磁场在导体外部的P2点磁场为：对应的B与半径r的图表如下所示。7. 薄金属带设一个无限长的薄金属带，宽度为w位于xy平面。该带上载流为I，方向为+x方向，如下图所示。计算P点的磁场。P点距离带距离为s，且在带所在平面。解：设一个薄带子宽度为dr平行于电流方向，距离P点为r，如下图所示。对应的载流微元为：通过安培环路定律，我们可以发现带子对P点的磁场的贡献为：或通过积分，我们得到通过右手法则，磁场的方向可以确定为+z方向，或注意到取极限，即宽度消失，则上面的表达式变为：对应的磁场为无限长的细直导线。8. 两根一端无限长的导线导线载流为I，沿y轴方向流向原点，然后沿着x轴方向流动。如下图所示。则第一象限x0，y0中的磁场为：解：设P（x，y）为第一象限中距离y轴上的点(0, y)的距离为r1，x轴上的点(x, 0)距离为r2。则利用比奥萨瓦定律，对于P点的磁场计算：下面逐段分析。（i）沿着y轴，设一个积分微