高中数学 第一章 数列本章整合课件 北师大版必修5(1).ppt

本章整合 第一章数列 专题一 专题二 专题一数列通项公式的求法数列的通项公式是给出数列的主要方式 其本质就是函数的解析式围绕数列的通项公式 不仅可以判断数列的类型 研究数列的项的变化趋势与规律 而且有利于求数列的前n项和 求数列的通项公式是数列的核心问题之一 下面介绍几种常用的求法 专题一 专题二 1 观察法已知数列前若干项 求该数列的通项公式时 一般对所给的项观察分析 寻找规律 从而根据规律写出此数列的一个通项公式 例1 写出下列两个数列的一个通项公式 解 1 这是一个分数数列 分子是偶数 而分母是1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 为两个连续奇数的乘积 故所求数列的通项公式为 2 各项分别加上2 变为10 100 1000 10000 an 10n 2 专题一 专题二 变式训练1写出下列数列的一个通项公式 专题一 专题二 解 1 数列可记为21 1 22 1 23 1 24 1 25 1 所以数列的一个通项公式为an 2n 1 专题一 专题二 专题一 专题二 2 根据an与sn的关系求通项公式法 1 若已知sn的表达式 则可直接利用求得an 注意对n 1与n 2的讨论 2 若已知sn与an的关系式 则可根据an sn sn 1消去sn 或an 得到an与an 1 或sn与sn 1 的关系式 然后用其他方法求解 专题一 专题二 专题一 专题二 变式训练2已知数列 an 的前n项和sn 3 2an n n 求通项公式an 解 因为sn 3 2an 所以当n 2时 sn 1 3 2an 1 两式相减得an 2an 2an 1 专题一 专题二 3 累加法对于形如an 1 an f n 型的递推公式求通项公式 1 当f n d为常数时 an 为等差数列 则an a1 n 1 d 2 当f n 为关于n的函数时 用叠加法 方法如下 由an 1 an f n 得当n 2时 an an 1 f n 1 an 1 an 2 f n 2 a3 a2 f 2 a2 a1 f 1 以上 n 1 个等式叠加 得an a1 f n 1 f n 2 f 2 f 1 an f n 1 f n 2 f 2 f 1 a1 专题一 专题二 为了书写方便 也可以用横式来写 当n 2时 an an 1 f n 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 f n 1 f n 2 f 2 f 1 a1 专题一 专题二 例3 已知数列 an 中 a1 1 且an 1 an 3n n 求数列 an 的通项公式 解 由an 1 an 3n n 得an an 1 3n 1 n 1 an 1 an 2 3n 2 n 2 a3 a2 32 2 a2 a1 3 1 当n 2时 以上 n 1 个等式两端分别相加 得 an an 1 an 1 an 2 a2 a1 3n 1 3n 2 3 n 1 n 2 1 专题一 专题二 专题一 专题二 变式训练3 专题一 专题二 专题一 专题二 专题一 专题二 变式训练4 专题一 专题二 5 构造辅助数列法 1 取倒数构造法 专题一 专题二 变式训练5 专题一 专题二 2 加常数构造法对于满足an pan 1 q型的数列 an 可利用待定系数法将其变形为an p an 1 再设an bn 则 bn 即为以b1 a1 为首项 p为公比的等比数列 求出 bn 的通项公式后即得an 专题一 专题二 3 其他构造法例7已知数列 an 满足an 1 2an 3 2n a1 2 求 an 的通项公式 专题一 专题二 变式训练6 专题一 专题二 专题二数列求和的常用方法数列求和是数列部分的重要内容 也是高考的重要考点之一 对于数列求和问题 一般是先观察数列的特点和规律 如果通项公式能够求出 那么可先求出通项公式再决定使用哪种求和方法 下面介绍几种常用的求和方法 专题一 专题二 1 公式法公式法是数列求和的最常用方法之一 可直接利用等差数列 等比数列的求和公式 也可利用常见的求前n项和的公式 如 解 数列 an 的前n项和为sn 2n 1 an 为等比数列 a1 s1 21 1 1 a2 s2 s1 3 1 2 数列 an 的公比q 2 专题一 专题二 变式训练7求数列 n n 1 的前n项和sn 解 设an n n 1 n2 n 则sn a1 a2 an 12 1 22 2 n2 n 12 22 n2 1 2 n 专题一 专题二 2 裂项相消法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列 在求和时常用 裂项法 对于分式的求和多利用此法 解题时可用待定系数法对通项公式进行拆项 相消时应注意消去的项的规律 即消去哪些项 保留哪些项 例9已知数列 an 的通项公式为 求其前n项和tn 专题一 专题二 变式训练8等差数列 an 的各项均为正数 a1 3 前n项和为sn bn 为等比数列 b1 1 且b2s2 64 b3s3 960 1 求an与bn 解 1 设 an 的公差为d bn 的公比为q 则d为正数 an 3 n 1 d bn qn 1 专题一 专题二 专题一 专题二 3 错位相减法若在数列 an bn 中 an 是等差数列 bn 是等比数列 则可采用错位相减法求和 例10求和 专题一 专题二 变式训练9已知首项都是1的两个数列 an bn bn 0 n n 满足anbn 1 an 1bn 2bn 1bn 0 解 1 因为anbn 1 an 1bn 2bn 1bn 0 bn 0 n n 所以数列 cn 是以1为首项 2为公差的等差数列 故cn 2n 1 2 由bn 3n 1知an cnbn 2n 1 3n 1 于是数列 an 的前n项和sn 1 30 3 31 5 32 2n 1 3n 1 3sn 1 31 3 32 2n 3 3n 1 2n 1 3n 相减得 2sn 1 2 31 32 3n 1 2n 1 3n 2 2n 2 3n 所以sn n 1 3n 1 专题一 专题二 4 并项转化法对于形如 1 nan 其中 an 为等差数列 的数列 通常将数列中相邻的两项合并 再进行求解 注意对项数n分奇数和偶数进行讨论 例11已知sn 1 3 5 7 1 n 2n 1 求sn 解 当n为奇数时 sn 1 3 5 7 9 11 2n 1 专题一 专题二 变式训练10数列1 1 2 1 2 22 1 2 22 23 1 2 22 2n 1 的前n项和为 解析 此数列的第n项为1 2 22 2n 1 2n 1 答案 2n 1 n 2 专题一 专题二 5 分组求和法分组求和法是解决通项公式可以写成cn an bn形式的数列求和问题的方法 其中 an 与 bn 均是等差数列或等比数列等一些可以直接求和的数列 专题一 专题二 例12在等差数列 an 中 已知公差d 2 a2是a1与a4的等比中项 1 求数列 an 的通项公式 解 1 由题意知 a1 d 2 a1 a1 3d 即 a1 2 2 a1 a1 6 解得a1 2 所以数列 an 的通项公式为an 2n 专题一 专题二 变式训练11等比数列 an 的各项均为正数 且2a1 3a2 1 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn log3a1 log3a2 log3an 求数列 bn 的前n项和 解 1 设等比数列 an 的公比为q 考点1 考点2 考点3 考点4 考点1等差数列1 2016全国乙高考 已知等差数列 an 前9项的和为27 a10 8 则a100 a 100b 99c 98d 97解析 方法一 设等差数列 an 的公差为d 答案 c 2 2016北京高考 已知 an 为等差数列 sn为其前n项和 若a1 6 a3 a5 0 则s6 解析 an 是等差数列 a3 a5 2a4 0 a4 0 a4 a1 3d 6 d 2 s6 6a1 15d 6 6 15 2 6 答案 63 2016江苏高考 已知 an 是等差数列 sn是其前n项和 若 s5 10 则a9的值是 解析 由s5 10得a3 2 因此2 2d 2 d 2 3 d 3 a9 2 3 6 20 答案 20 考点1 考点2 考点3 考点4 考点1 考点2 考点3 考点4 考点2等比数列4 2016四川高考 某公司为激励创新 计划逐年加大研发资金投入 若该公司2015年全年投入研发资金130万元 在此基础上 每年投入的研发资金比上一年增长12 则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 参考数据 lg1 12 0 05 lg1 3 0 11 lg2 0 30 a 2018年b 2019年c 2020年d 2021年解析 设从2015年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元 由已知得130 1 12 n 200 答案 b 考点1 考点2 考点3 考点4 5 2016浙江高考 设数列 an 的前n项和为sn 若s2 4 an 1 2sn 1 n n 则a1 s5 解析 由题意 可得a1 a2 4 a2 2a1 1 所以a1 1 a2 3 再由an 1 2sn 1 an 2sn 1 1 n 2 得an 1 an 2an 即an 1 3an n 2 又因为a2 3a1 所以数列 an 是以1为首项 3为公比的等比数列 答案 1121 考点1 考点2 考点3 考点4 6 2016全国丙高考 已知数列 an 的前n项和sn 1 an 其中 0 1 证明 an 是等比数列 并求其通项公式 考点1 考点2 考点3 考点4 考点3数列的综合应用7 2015课标全国 高考 设sn是等差数列 an 的前n项和 若a1 a3 a5 3 则s5 a 5b 7c 9d 11解析 由a1 a3 a5 3 得3a3 3 解得a3 1 故答案 a8 2015课标全国 高考 设sn是数列 an 的前n项和 且a1 1 an 1 snsn 1 则sn 考点1 考点2 考点3 考点4 9 2017全国1高考 设sn为等比数列 an 的前n项和 已知s2 2 s3 6 1 求 an 的通项公式 2 求sn 并判断sn 1 sn sn 2是否成等差数列 考点1 考点2 考点3 考点4 10 2017全国2高考 已知等差数列 an 的前n项和为sn 等比数列 bn 的前n项和为tn a1 1 b1 1 a2 b2 2 1 若a3 b3 5 求 bn 的通项公式 2 若t3 21 求s3 解 设 an 的公差为d bn 的公比为q 则an 1 n 1 d bn qn 1 由a2 b2 2得d q 3 1 由a3 b3 5 得2d q2 6 因此 bn 的通项公式为bn 2n 1 2 由b1 1 t3 21得q2 q 20 0 解得q 5或q 4 当q 5时 由 得d 8 则s3 21 当q 4时 由 得d 1 则s3 6 考点1 考点2 考点3 考点4 11 2017全国3高考 设数列 an 满足a1 3a2 2n 1 an 2n 1 求 an 的通项公式 考点1 考点2 考点3 考点4 考点1 考点2 考点3 考点4 12 2016全国甲高考 sn为等差数列 an 的前n项和 且a1 1 s7 28 记bn lgan 其中 x 表示不超过x的最大整数 如 0 9 0 lg99 1 1 求b1 b11 b101 2 求数列 bn 的前1000项和 解 1 设 an 的公差为d 据已知有7 21d 28 解得d 1 所以 an 的通项公式为an n b1 lg1 0 b11 lg11 1 b101 lg101 2 考点1 考点2 考点3 考点4 13 2016全国乙高考 已知 an 是公差为3的等差数列 数列 bn 满足b1 1 anbn 1 bn 1 nbn 1 求 an 的通项公式 2 求 bn 的前n项和 考点1 考点2 考点3 考点4 14 2016浙江高考 设数列 an 的前n项和为sn 已知s2 4 an 1 2sn 1 n n 1 求通项公式an 2 求数列 an n 2 的前n项和 考点1 考点2 考点3 考点4 考点1 考点2 考点3 考点4 考点3 考点4 考点1 考点2 考点4数列探究题型16 2014课标全国 高考 已知数列 an 的前n项和为sn a1 1 an 0 anan 1 sn 1 其中 为常数 1 证明 an 2 an 2 是否存在 使得 an 为等差数列 并说明理由 1 证明 由题设 anan 1 sn 1 an 1an 2 sn 1 1 两式相减 得an 1 an 2 an an 1 由于an 1 0 所以an 2 an 2 解 由题设 a1 1 a1a2 s1 1 可得a2 1 由 1 知 a3 1 令2a2 a1 a3 解得 4 故an 2 an 4 由此可得 a2n 1 是首项为1 公差为4的等差数列 a2n 1 4n 3 a2n 是首项为3 公差为4的等差数列 a2n 4n 1 所以an 2n 1 an 1 an 2 因此存在 4 使得数列 an 为等差数列 考点3 考点4 考点1 考点2 17 2016江苏高考 记u 1 2 100 对数列 an n n 和u的子集t 若t 定义st 0 若t t1 t2 tk 定义例如 t 1 3 66 时 st a1 a3 a66 现设 an n n 是公比为3的等比数列 且当t 2 4 时 st 30 1 求数列 an 的通项公式 2 对任意正整数k 1 k 100 若t 1 2 k 求证 st0 n n 所以st a1 a2 ak 1 3 3k 1因此 st ak 1 考点3 考点4 考点1 考点2 3 解 下面分三种情况证明 若d是c的子集 则sc sc d sc sd sd sd 2sd 若c是d的子集 则