创新设计高三数学一轮复习 对数与对数函数课件 北师大

掌握对数的定义和运算性质 掌握对数函数的图象和性质 2 6对数与对数函数 1 定义一般地 如果a a 0 a 1 的b次幂等于N 即ab N 那么数b叫做以a为底N的对数 记作logaN b a叫做对数的底数 N叫做真数 2 重要公式 1 负数与零没有对数 2 loga1 0 logaa 1 3 对数恒等式alogaN N 3 logaMn nlogaM n R 4 对数换底公式logaN a 0 a 1 m 0 m 1 N 0 5 对数函数的定义函数y logax a 0且a 1 叫做对数函数 它是指数函数y ax a 0且a 1 的反数 如果a 0 a 1 M 0 N 0有 1 loga MN logaM logaN 2 loga logaM logaN 3 积 商 幂的对数运算法则 6 对数函数的性质 1 函数的单调增区间为 A B 3 C D 2 解析 由x2 5x 6 0解得x3 则函数的定义域为 2 3 又t x2 5x 6在 2 上递减 因此函数的单调增区间为 2 答案 D 2 设a 1 函数f x logax在区间 a 2a 上的最大值与最小值之差为 则a等于 A B 2C 2D 4解析 根据已知条件loga 2a logaa 整理得 loga2 则 2 即a 4 答案 D 3 三个数60 7 0 76 log0 76的大小顺序是 A 0 761 则0 76 1 60 7 答案 D 4 2010 黄冈月考 已知函数f x lg 若f a b 则f a 等于 A B C bD b解析 函数f x 的定义域为 1 x 1 又f x lg lg 1 lg f x 则f x 为奇函数 f a f a b 答案 C 5 设f x log3 x 6 的反函数为f 1 x 若 f 1 m 6 f 1 n 6 27 则f m n 解析 y f x 的反函数为y 3x 6 f 1 m 6 f 1 n 6 27 3m 3n 27 即3m n 27 m n 3 f m n log39 2 答案 2 对数源于指数 对数与指数互为逆运算 对数的运算可根据对数的定义 对数的运算性质 对数恒等式和对数的换底公式进行 在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化 解答 1 原式 2 原式 lg2 lg5 lg22 lg2lg5 lg25 3lg2lg5 lg22 2lg2lg5 lg25 lg2 lg5 2 1 3 解法一 原式 5lg2 2lg7 lg2 2lg7 lg5 lg2 lg7 2lg2 lg7 lg5 lg2 lg5 lg10 解法二 原式 lg lg4 lg 7 lg lg 变式1 1 若2a 5b 10 求的值 2 若xlog34 1 求4x 4 x的值 解答 1 由已知a log210 b log510 则 lg2 lg5 lg10 1 2 由已知x log43 则4x 4 x 4log43 4 log43 3 对数函数与指数函数互为反函数 在解决与对数函数相关的问题可类比指数函数问题 不仅要注意二者之间的联系 同时更要明确二者之间的区别 例2 设函数f x lgx 若0f b 证明 abf b 即 lga lgb 上式等价于lg2a lg2b 即 lga lgb lga lgb 0 lg ab lg 0 由已知b a 0 得0 1 lg 0 故lg ab 0 ab 1 证法二 数形结合 函数y lgx 的图象如上图 由0f b 可得两种情况 01 则lga0 故f a f b 等价于 lga lgb 即lga lgb 0 可得lg ab 0 故ab 1 变式2 若函数f x 满足对于 0 上的任意实数x y都有f xy f x f y 且x 1时f x 0 试证 1 f f x f y 2 f x f 3 f x 在 0 上递增 证明 1 由已知f f y f x 即f x f y f 2 令x y 1 则f 1 2f 1 因此f 1 0 f x f f 1 0 即f x f 3 设01 由已知f 0 即f x2 f x1 0 因此f x1 f x2 函数f x 在 0 上递增 利用对数函数的图象和性质可研究与对数函数相关的复合函数的图象和性质 比如函数y lg ax b y lg ax2 bx c y y ln x 等 例3 设f x lg是奇函数 则使f x 0的x的取值范围是 A 1 0 B 0 1 C 0 D 0 1 解析 f x 为奇函数 f 0 0 解之 得a 1 f x lg 令f x 0 则0 1 x 1 0 答案 A 变式3 已知函数f x ln x 1 证明f x 为奇函数 2 若f x ln 2 求x的值 解答 1 证明 x x x 0 f x 的定义域为R f x ln x ln ln x 1 f x 因此f x 为奇函数 2 由f x ln 2 即x 2 解得x 2 1 指数概念和运算性质是从正整数指数幂 乘方 和根式 开方 概念和运算的统一 不断扩大幂指数的范围并作出一些合理规定得到的 要结合其发展过程加深理解和记忆 2 对数概念是在指数式ab N中为了由已知a和N的值求b的值而建立的 当a 0且a 1时 ab N logaN b 注意在解题中运用等价转化思想 并能适当采用取对数和化同底的方法 3 指数运算的实质是指数式的积 商 幂的运算 对于指数式的和 差应充分运用恒等变形和乘法公式 对数运算的实质是把积 商 幂的对数转化为对数的和 差 积 方法规律 二 1 指数函数y ax a 0 a 1与对数函数y logax a 0 a 1 互为反函数 应从概念 图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别 2 明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质 要记忆函数的性质可借助于函数的图象 因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象 3 利用指数函数和对数函数的性质可解决与指数函数和对数函数相关的方程和不等式等问题 利用对数函数和指数函数的性质和图象可解决如y 4x 3 2x 1 y lg等复合函数的性质 研究指数函数和对数函数的图象和性质也为研究其他初等函数提供了典型的范例 本题满分5分 若函数f x loga x3 ax a 0 a 1 在区间 0 内单调递增 则a的取值范围是 A 1 B 1 C D 1 解析 设g x x3 ax 则g x 3x2 a 当a 1时 不等式组对于x 0 恒成立 a无解 当0 a 1时 不等式组对于x 0 恒成立 解得 a 1 故选B项 答案 B 答题模板 1 已知函数的单调区间 求解析式中参数的范围 要转化