2019_2020学年高中数学第1章常用逻辑用语1命题学案北师大版.docx

1命题学习目标：了解命题的概念(重点)掌握四种命题的结构形式会写出命题的逆命题、否命题、逆否命题(难点)正确判断命题的真假性(易混点)1命题及相关概念(1)定义：可以判断真假，用文字或符号表述的语句叫作命题(2)分类(3)形式：通常把命题表示为“若p，则q”的形式，其中p是条件，q是结论思考：“x5”是命题吗？提示“x5”不是命题，因为它不能判断真假2四种命题(1)互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫作互逆命题其中一个命题叫作原命题，另一个命题叫作原命题的逆命题(2)互否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫作互否命题如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的否命题(3)互为逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，把这样的两个命题叫作互为逆否命题如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的逆否命题3四种命题之间的关系(1)四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真原命题逆命题否命题逆否命题真假假真假真真假假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系1.判断正误(1)“x23x20”是命题()(2)“一个实数不是正数就是负数”是真命题()(3)若两个命题为互否命题，则它们的真假性肯定不相同()答案(1)(2)(3)2.下列语句是命题的是()A0.333不是无限不循环小数B2x5C请同学们用好非常学案！D三角形是平面图形吗？AB不能判断其真假，C、D分别是祈使句、疑问句不是命题3.把“奇函数的图像关于原点对称”改写成“若p，则q”的形式为_答案若一个函数是奇函数，则这个函数的图像关于原点对称4.命题“若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角相等”的逆命题为_若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行由命题“若p，则q”的逆命题为“若q，则p”，可知命题“若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角相等”的逆命题为“若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行”命题的判断【例1】(1)下列语句是命题的有_(填序号)x2x20.函数f(x)x2是偶函数若acbc则bc.证明xR，方程x2x10无实数根(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假末位数字是0的整数能被5整除；偶函数的图像关于y轴对称；菱形的对角线互相垂直(1)因为x的值不确定，无法判断其真假，故不是命题，是命题，是祈使句，故不是命题(2)题号“若p，则q”形式真假判断若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除真若一个函数是偶函数，则这个函数的图像关于y轴对称真若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直真1能否判断真假是命题的本质条件，形式上陈述句是命题的主要表现形式，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题2判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证；判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可1(1)下列语句中是命题的有_，其中是真命题的有_(填序号)“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”“一个数不是正数就是负数”；“在一个三角形中，大角所对的边大于小角所对的边”；“若xy为有理数，则x，y都是有理数”；作一个三角形通过反意疑问句(即反问句)对等边三角形是等腰三角形作出判断，是真命题疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题是假命题，数0既不是正数也不是负数是真命题，在同一个三角形中，大边对大角，大角对大边是假命题，如x，y.祈使句，不是命题(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假对角线相等的四棱柱是长方体；整数的平方是非负整数；能被10整除的数既能被2整除，也能被5整除解可写为：“若四棱柱的对角线相等，则它是长方体”，这个命题是假命题，如底面是等腰梯形的直四棱柱可写为：“若一个数是整数，则它的平方是非负整数”，真命题可写为：“若一个数能被10整除，则它既能被2整除，也能被5整除”，真命题.四种命题的关系及真假判断【例2】(1)下列命题：“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题；“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；“梯形不是平行四边形”的逆否命题；“若ac2bc2，则ab”的逆命题其中是真命题的是_(2)设命题为“若m0，则关于x的方程x2xm0有实数根”试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们的真假(1)“若xy1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy1”，是真命题；“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；“若ac2bc2，则ab”的逆命题是“若ab，则ac2bc2”，是假命题所以真命题是.(2)否命题为：“若m0，则关于x的方程x2xm0没有实数根”；逆命题为：“若关于x的方程x2xm0有实数根，则m0”；逆否命题：“若关于x的方程x2xm0没有实数根，则m0”由方程的判别式14m0得m，即m时，方程有实根m0使14m0，方程x2xm0有实数根，原命题为真，从而逆否命题为真但方程x2xm0有实根，必须m，不能推出m0，故逆命题为假，所以否命题也为假命题写出四种命题的方法1交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；2同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；3交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题提醒：对于含有大前提的命题，在写其他三种命题时，应保持大前提不变2把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题(1)正数的平方根不等于0；(2)当x2时，x2x60；(3)对顶角相等解(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数(2)原命题：若x2，则x2x60.逆命题：若x2x60，则x2.否命题：若x2，则x2x60.逆否命题：若x2x60，则x2.(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角等价命题的应用探究问题1互为逆否的两个命题其真假性有什么关系？提示互为逆否的两个命题其真假性相同2如何运用互为逆否命题的两个命题之间的关系证明某个命题？提示互为逆否命题的两个命题同真同假，也称为等价命题，故当原命题的真假性不易证明时，可以先证明它的逆否命题的真假性，从而得到原命题的真假性【例3】证明：若a24b22a10，则a2b1.思路探究根据原命题写出其逆否命题，由于原命题与逆否命题是等价的，故判断逆否命题的真假，可得原命题的真假证明“若a24b22a10，则a2b1”的逆否命题为“若a2b1，则a24b22a10”a2b1时，a24b22a1(a1)2(2b)20.命题“若a2b1，则a24b22a10”为真命题由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知原命题正确1.(变条件)把题设条件“若a24b22a10”换成“若a2b22”，证明： ab2.证明将“若a2b22，则ab2”视为原命题，则它的逆否命题为“若ab2，则a2b22”由于ab2，则a2b2(ab)2222，所以a2b22.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题2.(变条件)把题设条件“若a24b22a10”换成“设a，b，cZ，且a2b2c2”，求证：a，b，c不可能都是奇数证明假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数a2b2为偶数，而c2为奇数，a2b2c2与a2b2c2矛盾假设不成立，原命题成立由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明原命题的逆否命题的真假性来肯定原命题的真假性这种证明方法叫做逆否证法，它也是一种间接的证明方法1下列语句不是命题的是()A15是3的倍数B15能被3整除吗？C3是15的约数 D3和5都是15的约数B根据命题的定义选B.2命题“若a2b2，则ab”的否命题是()A若a2b2，则ab B若a2b2，则abC若ab，则a2b2 D若ab，则a2b2B根据命题的四种形式可知，原命题的否命题为：若a2b2，则ab.3下列命题是真命题的是()A若，则xy B若x21，则x1C若xy，则 D若xy，则x2y2Ax21x1，故B错误；当xy0时，无意义；当x2，y1时，显然x2y2.4