函数的和、差、积、商的导数

函数的和 差 积 商的导数 一 复习 1 求函数的导数的方法是 2 函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率 3 常见函数的导数公式 公式1 公式2 公式3 公式4 二 新课 由上节课的内容可知函数y x2的导数为y 2x 那么 对于一般的二次函数y ax2 bx c 它的导数又是什么呢 这就需要用到函数的四则运算的求导法则 1 和 差 的导数 法则1 两个函数的和 差 的导数 等于这两个函数的导数的和 差 即 证 即 2 积的导数 法则2 两个函数的积的导数 等于第一个函数的导数乘第二个函数 加上第一个函数乘第二个函数的导数 即 证 因为v x 在点x处可导 所以它在点x处连续 于是当 x 0时 v x x v x 从而 即 3 商的导数 推论 常数与函数的积的导数 等于常数乘函数的导数 即 法则3 两个函数的商的导数 等于分子的导数与分母的积 减去分母的导数与分子的积 再除以分母的平方 即 思考 你能否仿照积的导数的推导过程 证明商的导数公式吗 有了前面学过的常见函数的导数公式与函数的四则运算的求导法则 就可以直接运用这些公式求得由幂函数的和 差 积 商构成的函数 而不必从导数定义出发了 三 例题选讲 例1 求下列函数的导数 答案 例2 1 命题甲 f x g x 在x x0处均可导 命题乙 F x f x g x 在x x0处可导 则甲是乙成立的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 即不充分也不必要条件 A 2 下列函数在点x 0处没有切线的是 A y x3 sinx B y x2 cosx C y xsinx D y cosx D 3 若则f x 可能是下式中的 B 4 点P在曲线y x3 x 2 3上移动时 过点P的曲线的切线的倾斜角的取值范围是 D 例3 某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s 4t3 16t2 1 此物体什么时刻在始点 2 什么时刻它的速度为零 解 1 令s 0 即1 4t4 4t3 16t2 0 所以t2 t 8 2 0 解得 t1 0 t2 8 故在t 0或t 8秒末的时刻运动物体在始点 即t3 12t2 32t 0 解得 t1 0 t2 4 t3 8 故在t 0 t 4和t 8秒时物体运动的速度为零 例4 已知曲线S1 y x2与S2 y x 2 2 若直线l与S1 S2均相切 求l的方程 解 设l与S1相切于P x1 x12 l与S2相切于Q x2 x2 2 2 对于则与S1相切于P点的切线方程为y x12 2x1 x x1 即y 2x1x x12 对于与S2相切于Q点的切线方程为y x2 2 2 2 x2 2 x x2 即y 2 x2 2 x x22 4 因为两切线重合 若x1 0 x2 2 则l为y 0 若x1 2 x2 0 则l为y 4x 4 所以所求l的方程为 y 0或y 4x 4 注 此题为p 238第12题 例5 在曲线y x3 6x2 x 6上 求斜率最小的切线所对应的切点 并证明曲线关于此点对称 解 由于 故当x 2时 有最小值 而当x 2时 y 12 故斜率最小的切线所对应的切点为A 2 12 记曲线为S 设P x y S 则有y x3 6x2 x 6 又点P关于点A的对称点为Q 4 x 24 y 下证Q S 将4 x代入解析式 4 x 3 6 4 x 2 4 x 6 64 48x 12x2 x3 96 48x 6x2 4 x 6 x3 6x2 x 30 x3 6x2 x 6 24 24 y 即Q 4 x 24 y 的坐标是S的方程的解 于是Q S 这就证明了曲线S关于点A中心对称 练习1 已知曲线C y 3x4 2x3 9x2 4 1 求曲线C上横坐标为1的点的切线方程 2 第 1 小题中切线与曲线C是否还有其它公共点 如果有 求出这些点的坐标 解 1 把x 1代入曲线C的方程得切点 1 4 所以切线的斜率k 12 6 18 12 故切线方程为y 4 12 x 1 即y 12x 8 故除切点以外 还有两个交点 2 32 2 3 0 事实上 在曲线y x3 ax2 bx c是只有横坐标为 a 3的唯一一点M 过该点的切线与曲线除切点外不再有其它公共点 而点M实际上就是这条三次曲线的对称中心 练习2 设三次曲线y x3 3x2 2 3x过原点的切线l1 平行于l1的另一条切线为l2 1 求l1 l2的方程 2 当l1 l2的斜率为m时 求斜率为 m的两切线l3 l4的方程 3 求l1 l2 l3 l4所围成的平行四边形的面积 答案 1 l1 y 3x l2 y 3x 1 2 2 l3 y 3x 7 2 l4 y 3x 10 3 9 8 例6 用求导的方法求和 对 1 由求导公式可联想到它是另一个和式x x2 x3 xn的导数 例7 已知抛物线C1 y x2 2x和C2 y x2 a 如果直线l同时是C1和C2的切线 称l是C1和C2的公切线 公切线上两个切点之间的线段 称为公切线段 a取什么值时 C1和C2有且仅有一条公切线 写出此公切线的方程 若C1和C2有两条公切线 证明相应的两条公切线段互相平分 2003天津高考 文 题 解 函数y x2 2x的导数y 2x 2 曲线C1在点P x1 x12 2x1 的切线方程是y x12 2x1 2x1 2 x x1 即y 2x1 2 x x12 函数y x2 a的导数y 2x 曲线C2在点Q x2 x22 a 的切线方程是y x22 a 2x2 x x2 即y 2x2x x22 a 如果直线l是过P和Q的公切线 则 式和 式都是l的方程 所以消去x2得方程 2x12 2x1 1 a 0 若判别式 4 4 2 1 a 0时 即a 1 2时解得x1 1 2 此时点P与Q重合 即当a 1 2时C1和C2有且仅有一条公切线 由 得公切线方程为y x 1 4 证 由 可知 当a 1 2时C1和C2有两条公切线 设一条公切线上切点为 P x1 y1 Q x2 y2 其中P在C1上 Q在C2上 则有 x1 x2 1 y1 y2 x12 2x1 x22 a x12 2x1 x1 1 2 a 1 a 故线段PQ的中点为 同理 另一条公切线段P Q 的中点也是 所以公切线段PQ和P Q 互相平分 四 小结 五 作业 第一次p 235 236课后强化训练第1 10题 第二次p 237 238课后强化训练第1 12题 1