高考数学一轮复习 10.4离散型随机变量的分布列、期望与方差课件.pptVIP

课标版理数 10 4离散型随机变量的分布列 期望与方差 1 离散型随机变量的分布列 1 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示 那么这样的变量叫做 随机变量 按一定次序一一列出 这样的随机变量叫做 离散型随 机变量 2 若离散型随机变量x可能取的不同值为x1 x2 xn x取每一个值xi i 1 2 n 的概率p x xi pi 则称表 为离散型随机变量x的概率分布列 简称x的分布列 具有性质 a pi 0 i 1 2 n b p1 p2 pi pn 1 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和 2 如果随机变量x的分布列为 其中0 p 1 q 1 p 则称离散型随机变量x服从参数为p的 两点分布 3 超几何分布列在含有m件次品的n件产品中 任取n件 其中含有x件次品 则事件 x k 发生的概率为p x k k 0 1 2 m 其中m min m n 且n n m n n m n n 称分布列 为超几何分布列 4 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量x的分布列为 1 均值称ex x1p1 x2p2 xipi xnpn为随机变量x的均值或数学期望 它反映了离散型随机变量取值的 平均水平 2 方差称dx xi ex 2pi为随机变量x的方差 它刻画了随机变量x与其均值ex的平均偏离程度 其算术平方根为随机变量x的标准差 记作 x 5 均值与方差的性质 1 e ax b aex b a b为实数 2 d ax b a2dx a b为实数 6 两点分布与二项分布的均值 方差 1 若x服从两点分布 则ex p dx p 1 p 2 若x b n p 则ex np dx np 1 p 1 已知某一随机变量 的概率分布列如下 且e 6 3 则a的值为 a 5b 6c 7d 8 答案c由分布列性质知 0 5 0 1 b 1 b 0 4 e 4 0 5 a 0 1 9 0 4 6 3 a 7 2 甲 乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习 记两人所选课程相同的门数为 则e 为 a 1b 1 5c 2d 2 5 答案b 可取0 1 2 3 p 0 p 1 p 3 p 2 故e 0 1 2 3 1 5 3 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分 罚不中得0分 已知某运动员罚球命中的概率为0 7 则他罚球2次 每次罚球结果互不影响 的得分的数学期望是 答案1 4解析设得分为变量 则其概率分布列为 则e 0 0 09 1 0 42 2 0 49 1 4 4 设随机变量 的分布列为p k k 1 2 3 其中c为常数 则p 0 5 2 5 答案解析p 1 p 2 p 3 1 c p 0 5 2 5 p 1 p 2 c 5 甲 乙两个袋子中均装有红 白两种颜色的小球 这些小球除颜色外完全相同 其中甲袋装有4个红球 2个白球 乙袋装有1个红球 5个白球 现分别从甲 乙两袋中各随机抽取1个球 记抽取到的红球的个数为 则随机变量 的数学期望e 答案解析 可能的取值为0 1 2 对应概率分别为p 0 p 1 p 2 因此数学期望e 典例1 2014重庆 18 13分 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片 其中4张卡片上的数字是1 3张卡片上的数字是2 2张卡片上的数字是3 从盒中任取3张卡片 1 求所取3张卡片上的数字完全相同的概率 2 x表示所取3张卡片上的数字的中位数 求x的分布列与数学期望 注 若三个数a b c满足a b c 则称b为这三个数的中位数 解析 1 由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p 2 x的所有可能值为1 2 3 且p x 1 p x 2 离散型随机变量及其分布列 p x 3 故x的分布列为 从而e x 1 2 3 1 求解离散型随机变量x的概率分布列的步骤 理解x的意义 写出x可能取的全部值 求x取每个值的概率 写出x的概率分布列 2 求离散型随机变量的概率分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率 在求解时 要注意应用计数原理 古典概型等知识 1 1 2014山东 18 12分 乒乓球台面被球网分隔成甲 乙两部分 如图 甲上有两个不相交的区域a b 乙被划分为两个不相交的区域c d 某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球 规定 回球一次 落点在c上记3分 在d上记1分 其他情况记0分 对落点在a上的来球 队员小明回球的落点在c上的概率为 在d上的概率为 对落点在b上的来球 小明回球的落点在c上的概率为 在d上的概率为 假设共有两次来球且落在a b上各一次 小明的两次回球互不影响 求 1 小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率 2 两次回球结束后 小明得分之和 的分布列与数学期望 解析 1 记ai为事件 小明对落点在a上的来球回球的得分为i分 i 0 1 3 则p a3 p a1 p a0 1 记bi为事件 小明对落点在b上的来球回球的得分为i分 i 0 1 3 则p b3 p b1 p b0 1 记d为事件 小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上 由题意 d a3b0 a1b0 a0b1 a0b3 由事件的独立性和互斥性 p d p a3b0 a1b0 a0b1 a0b3 p a3b0 p a1b0 p a0b1 p a0b3 p a3 p b0 p a1 p b0 p a0 p b1 p a0 p b3 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为 2 由题意 随机变量 可能的取值为0 1 2 3 4 6 由事件的独立性和互斥性 得p 0 p a0b0 p 1 p a1b0 a0b1 p a1b0 p a0b1 p 2 p a1b1 p 3 p a3b0 a0b3 p a3b0 p a0b3 p 4 p a3b1 a1b3 p a3b1 p a1b3 p 6 p a3b3 可得随机变量 的分布列为 所以数学期望e 0 1 2 3 4 6 典例2 2014福建 18 13分 为回馈顾客 某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励 规定 每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球 球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额 1 若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元 其余3个均为10元 求 i 顾客所获的奖励额为60元的概率 ii 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望 2 商场对奖励总额的预算是60000元 并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成 或标有面值20元和40元的两种球组成 为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡 请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计 并说明理由 期望与方差 解析 1 设顾客所获的奖励额为x i 依题意 得p x 60 即顾客所获的奖励额为60元的概率为 ii 依题意 得x的所有可能取值为20 60 p x 60 p x 20 即x的分布列为 所以顾客所获的奖励额的期望为e x 20 0 5 60 0 5 40 元 2 根据商场的预算 每个顾客的平均奖励额为60元 所以 先寻找期望为60元的可能方案 对于面值由10元和50元组成的情况 如果选择 10 10 10 50 的方案 因为60元是面值之和的最大值 所以期望不可能为60元 如果选择 50 50 50 10 的方案 因为60元是面值之和的最小值 所以期望也不可能为60元 因此可能的方案是 10 10 50 50 记为方案1 对于面值由20元和40元组成的情况 同理可排除 20 20 20 40 和 40 40 40 20 的方案 所以可能的方案是 20 20 40 40 记为方案2 以下是对两个方案的分析 对于方案1 即方案 10 10 50 50 设顾客所获的奖励额为x1 则x1的分布列为 x1的期望为e x1 20 60 100 60 x1的方差为d x1 20 60 2 60 60 2 100 60 2 对于方案2 即方案 20 20 40 40 设顾客所获的奖励额为x2 则x2的分布列为 x2的期望为e x2 40 60 80 60 x2的方差为d x2 40 60 2 60 60 2 80 60 2 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求 但方案2奖励额的方差比方案1的小 所以应该选择方案2 注 第 2 问 给出方案1或方案2的任一种方案 并利用期望说明所给方案满足要求 给3分 进一步比较方差 说明应选择方案2 再给2分 1 方差反映了离散型随机变量取值的集中与离散 波动与稳定的程度 在实际问题中有非常重要的比较价值 特别注意 若利用期望难以判断产品质量或技术水平的高低等问题时 可考虑利用方差来判断 2 求离散型随机变量的期望 或方差 关键是写出离散型随机变量的分布列 2 1设随机变量 的分布列为p k k 1 2 3 4 5 求e 2 2 d 2 1 1 解析 e 1 2 3 4 5 3 e 2 12 22 32 42 52 11 d 1 3 2 2 3 2 3 3 2 4 3 2 5 3 2 4 1 0 1 4 2 e 2 2 e 2 4 4 e 2 4e 4 11 12 4 27 d 2 1 4d 8 1 2 2有甲 乙两种品牌的手表 它们的日走时误差分别为x y 单位 s 其分布列如下 根据两种品牌手表的日走时误差的期望与方差比较两种品牌手表的质量 解析ex 1 0 1 0 0 8 1 0 1 0