高考数学总复习 第九章 第6讲 离散型随机变量的均值与方差课件 理.pptVIP

第6讲 离散型随机变量的均值与方差 理解取有限个值的离散型随机变量均值 方差的概念 能计算简单离散型随机变量的均值 方差 并能解决一些实际问题 1 离散型随机变量的均值和方差 一般地 若离散型随机变量x的分布列为 则称e x x1p1 x2p2 xipi xnpn为随机变量x的均值或数学期望 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 2 均值和方差的性质设a b是常数 随机变量x y满足y ax b ae x b 则e y e ax b d y d ax b a2d x 3 两点分布及二项分布的均值和方差 p np 1 若x服从两点分布 则e x d x p 1 p 2 若x b n p 则e x d x np 1 p 1 已知随机变量 的分布列是 b 则d a 0 6 b 0 8 c 1 d 1 2 d 2 已知 的分布列为 a e p d pqb e p d p2c e q d q2d e 1 p d p p2 其中p 0 1 则 3 已知x的分布列如下表 设y 2x 1 则y的数学期望 是 b c 考点1 离散型随机变量的均值 例1 2014年天津 某大学志愿者协会有6名男同学 4名女同学 在这10名同学中 3名同学来自数学学院 其余7名同学来自物理 化学等其他互不相同的7个学院 现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动 每位同学被选到的可能性相同 1 求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率 2 设x为选出的3名同学中女同学的人数 求随机变量x的分布列和数学期望 解 1 设 选出的3名同学是来自互不相同的学院 为事件a 则 所以随机变量x的分布列为 规律方法 1 一般地 若离散型随机变量x的分布列为 则称e x x1p1 x2p2 xipi xnpn为随机变量x的均值或数学期望 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 2 求数学期望 均值 的关键是求出其分布列 若已知离散型分布列 可直接套用公式e x x1p1 x2p2 xipi xnpn求其均值 随机变量的均值是一个常数 它不依赖于样本的抽取 只要找准随机变量及相应的概率即可计算 互动探究 1 2013年广东 已知离散型随机变量x的分布列为 a 则x的数学期望e x 考点2 离散型随机变量的方差 例2 2013年浙江 设袋子中装有a个红球 b个黄球 c个蓝球 且规定 取出1个红球得1分 取出1个黄球2分 取出1个蓝球得3分 1 当a 3 b 2 c 1时 从该袋子中任取2个球 有放回 且每个球取到的机会均等 记随机变量 为取出这2个球所得分数之和 求 的分布列 2 从该袋子中任取1个球 且每个球取到的机会均等 记b c 解 1 由已知 得当两次取出的球分别是红红时 2 当两次取出的球分别是红黄 或黄红时 3 当两次取出的球分别是黄黄 红蓝 或蓝红时 4 当两次取出的球分别是蓝蓝时 6 所以 的分布列是 当两次取出的球分别是黄蓝 或蓝黄时 5 2 由已知 得 有三种取值即1 2 3 所以 的分布列是 故a b c 3 2 1 规律方法 1 一般地 若离散型随机变量x的分布列为 xn e x 2pn为随机变量x的方差 2 若x是随机变量 且y ax b 其中a b是常数 则y也是随机变量 则e y e ax b ae x b d y d ax b a2d x 3 均值体现了随机变量取值的平均水平 如果两个随机变量的均值相等 还要看随机变量的取值在均值周围的变化 方差大 说明随机变量取值较分散 方差小 说明取值较集中 互动探究 考点3 二项分布的综合应用 例3 2014年广东 随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数 单位 件 获得数据如下 30 42 41 36 44 40 37 37 25 45 29 43 31 36 49 34 33 43 38 42 32 34 46 39 36 根据上述数据得到样本的频率分布表如下 1 确定样本频率分布表中n1 n2 f1和f2的值 2 根据上述频率分布表 画出样本频率分布直方图 3 根据样本频率分布直方图 求在该厂任取4人 至少有 1人的日加工零件数落在区间 30 35 的概率 解 1 n1 7 n2 2 f1 0 28 f2 0 08 2 样本频率分布直方图如图9 6 1 图9 6 1 3 根据样本频率分布直方图 每人的日加工零件数落在区 间 30 35 的概率为0 2 设所取的4人中 日加工零件数落在区间 30 35 的人数为 则 b 4 0 2 p 1 1 p 0 1 1 0 2 4 1 0 4096 0 5904 所以所取的4人中 至少有1人的日加工零件数落在区间 30 35 的概率约为0 5904 互动探究 3 2013年福建 某联欢晚会举行抽奖活动 举办方设置了 人有且只有一次抽奖机会 每次抽奖中奖与否互不影响 晚会结束后凭分数兑换奖品 1 若小明选择方案甲抽奖 小红选择方案乙抽奖 记他们 的累计得分为x 求x 3的概率 2 若小明 小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖 问 他们选择何种方案抽奖 累计的得分的数学期望较大 思想与方法 利用分类讨论思想求数学期望 例题 2014年湖北 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站 过去50年的水文资料显示 水的年入流量x 年入流量 一年内上游来水与库区降水之和 单位 亿立方米 都在40以上 其中 不足80的年份有10年 不低于80且不超过120的年份有35年 超过120的年份有5年 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率 并假设各年的年入流量相互独立 1 求在未来4年中 至多有1年的年入流量超过120的概 率 2 水电站希望安装的发电机尽可能运行 但每年发电机最 多可运行台数受年入流量x限制 并有如下关系 若某台发电机运行 则该台年利润为5000万元 若某台发电机未运行 则该台年亏损800万元 欲使水电站年总利润的均值达到最大 应安装发电机多少台 2 记水电站年总利润为y万元 安装1台发电机的情形 由于水库年入流量总大于40 故1台发电机运行的概率为 1 对应的年利润y 5000 e y 5000 1 5000 安装2台发电机的情形 依题意 当40 x 80时 1台发电机运行 此时y 5000 800 4200 因此p y 4200 p 40 x 80 p1 0 2 当x 80时 2台发电机运行 此时y 5000 2 10000 因此p y 10000 p x 80 p2 p3 0 8 由此得y的分布列如下 所以e y 4200 0 2 10000 0 8 8840 安装3台发电机的情形 依题意 当40120时 3台发电机运行 此时y 5000 3 15000 因此p y 15000 p x 120 p3