学海导航高考数学第一轮总复习9.4线面垂直与面面垂直第1课时课件 文 广西专

1 第九章 直线 平面 简单几何体 2 9 3线面垂直与面面垂直 3 1 如果一条直线和一个平面相交 并且和这个平面内的 都垂直 那么就称这条直线和这个平面垂直 其中直线叫做平面的 平面叫做直线的 交点叫做 2 如果一条直线和一个平面内的 都垂直 那么这条直线垂直于这个平面 任意一条直线 垂线 垂面 垂足 两条相交直线 4 3 设l m为直线 为平面 若l m 且l 则 若l 且m 则 4 设l为直线 为平面 若l 且 则 若l 且l 则 5 如果两个相交平面所成的二面角为 则称这两个平面互相垂直 m l m l 直二面角 5 6 如果一个平面经过另一个平面的 那么这两个平面互相垂直 7 如果两个平面互相垂直 那么在一个平面内 的直线垂直于另一个平面 8 自平面 外一点P向平面 引垂线 垂足P 叫做点P在平面 内的 11 12 13 一条垂线 垂直于交线 正射线 6 9 如果一条直线和一个平面相交 但不和这个平面垂直 那么这条直线叫做这个平面的 直线和平面的交点叫做 10 在平面内的一条直线 如果它和这个平面的一条斜线的 那么它也和这条斜线垂直 如果它和这个平面的一条斜线垂直 那么它也和这条斜线在 垂直 14 15 16 17 斜线 斜足 射线垂直 平面内的射线 7 盘点指南 任意一条直线 垂线 垂面 垂足 两条相交直线 m l m l 直二面角 一条垂线 垂直于交线 正射影 斜线 斜足 射影垂直 平面内的射影 有且只有一条 有且只有一个 相等 较长 11 过一点且垂直于一个已知平面的直线条数为 过一点且垂直于一条已知直线的平面个数为 12 从平面外一点向这个平面所引的斜线段中 相等的斜线段其射影长 较长的斜线段其射影 反之亦然 18 19 20 21 有且只有一条 有且只有一个 相等 较长 8 给出下列命题 其中正确的两个命题是 若直线上有两点到平面的距离相等 则此直线与平面平行 夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面 直线m 平面 直线n m 则n 9 若a b是异面直线 则存在唯一的平面 使它与a b都平行且与a b距离相等 A B C D 解 错误 如果这两点在该平面的异侧 则直线与平面相交 正确 如右图 平面 A C D B 且E F分别为AB CD的中点 10 设H是CG的中点 则EH BG HF GD 所以EH 平面 HF 平面 所以平面EHF 平面 平面 所以EF EF 11 错误 直线n可能在平面 内 正确 如右图 设AB是异面直线a b的公垂线段 E为AB的中点 过E作a a b b 则a b 确定的平面即为与a b都平行且与a b距离相等的平面 并且它是唯一确定的 12 在正方形SG1G2G3中 E F分别是G1G2 G2G3的中点 D是EF的中点 沿SE SF及EF把这个正方形折成一个四面体 使G1 G2 G3三点重合 重合后的点记为G 那么 在四面体S EFG中必有 A SG 平面EFGB SD 平面EFGC FG 平面SEFD GD 平面SEF A 解 注意折叠过程中 始终有SG1 G1E SG3 G3F 即SG GE SG GF 所以SG 平面EFG 故选A 13 在三棱锥A BCD中 若AD BC BD AD BCD是锐角三角形 那么必有 A 平面ABD 平面ADCB 平面ABD 平面ABCC 平面ADC 平面BCDD 平面ABC 平面BCD 解 由AD BC BD AD 所以AD 平面BCD 又AD 平面ADC 所以平面ADC 平面BCD C 14 1 在直三棱柱ABC A1B1C1中 ACB 90 BAC 30 BC 1 AA1 6 M为CC1的中点 求证 AB1 A1M 证法1 分别取AA1 A1B1的中点D E 连结CD DE 题型1线线垂直的判定与证明 第一课时 15 则所以 CDE为异面直线AB1和A1M所成的角 连结CE 由已知可得AC AB 2 AD 所以 连结C1E 则C1E A1B1 1 16 所以CE2 CC21 C1E2 7 于是 有CD2 DE2 CE2 所以 CDE 90 即AB1 A1M 证法2 由题设知B1C1 A1C1 B1C1 CC1 所以B1C1 平面ACC1A1 连结AC1 则AC1是AB1在平面ACC1A1内的射影 17 由已知可得AC A1C1 C1M 所以tan AC1C tan MA1C1 所以 AC1C MA1C1 所以 AC1A1 MA1C1 AC1A1 AC1C 90 所以A1M AC1 据三垂线定理 A1M AB1 18 点评 证两异面直线垂直的方法主要有 所成的角是直角 平移后转化到同一平面内的两直线垂直 利用三垂线定理 证一线的射影与直线垂直 利用线面垂直的性质 19 在直三棱柱ABC A1B1C1中 B1C1 A1C1 A1B AC1 求证 A1B B1C 证明 取A1B1的中点D1 连结C1D1 因为B1C1 A1C1 所以C1D1 A1B1 所以C1D1 平面ABB1A1 20 连结AD1 则AD1是AC1在平面ABB1A1内的射影 因为A1B AC1 所以A1B AD1 取AB的中点D 连结CD B1D 则B1D AD1 且B1D是B1C在平面ABB1A1内的射影 因为B1D A1B 所以A1B B1C 21 2 在三棱锥P ABC中 PA PB PC AB BC D为AC的中点 求证 PD 平面ABC 证法1 因为PA PC D为AC的中点 所以PD AC 取BC的中点E 连结PE DE 题型2线面垂直的判定与证明 22 因为PB PC 所以PE BC 又DE AB AB BC 所以DE BC 于是BC 平面PDE 所以BC PD 结合 知 PD 平面ABC 23 证法2 过点P作PO 平面ABC 垂足为O 因为PA PB PC 所以AO OB OC 即O为 ABC的外心 因为AB BC 即 ABC为直角三角形 所以O为斜边AC的中点 从而D与O重合 故PD 平面ABC 点评 证线面垂直一般是转化为证直线与平面内两条相交直线垂直 即由 线线垂直 得出 线面垂直 24 如图 正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都为2 D为CC1的中点 求证 AB1 平面A1BD 证明 取BC的中点O 连结AO 因为 ABC为正三角形 所以AO BC 棱柱ABC A1B1C1中 平面ABC 平面BCC1B1 所以AO 平面BCC1B1 连结B1O 25 在正方形BB1C1C中 O D分别为BC CC1的中点 所以B1O BD 所以AB1 BD 在正方形ABB1A1中 AB1 A1B 所以AB1 平面A1BD 26 3 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD 底面ABCD为矩形 PA AD M为AB的中点 求证 平面PMC 平面PCD 证明 分别取PC PD的中点N E 连结MN AE EN 则 题型3面面垂直的判定与证明 27 又 所以 所以四边形AMNE为平行四边形 所以MN AE 因为PA AD 所以AE PD 又CD AD CD PA 所以CD 平面PAD 所以CD AE 28 于是AE 平面PCD 所以MN 平面PCD 因为MN 平面PMC 所以平面PMC 平面PCD 点评 利用面面垂直的判定定理证两平面垂直 关键是在其中一个平面内找一条直线垂直另一个平面 即将证面面垂直问题转化为证线面垂直问题 29 如图 AB是圆O的直径 C是圆周上一点 PA 平面ABC 1 求证 平面PAC 平面PBC 2 若D也是圆周上一点 且与C分居直径AB的两侧 试写出图中所有互相垂直的各对平面 30 解 1 证明 因为C是AB为直径的圆O的圆周上一点 所以BC AC 又PA 平面ABC BC 平面ABC 所以BC PA 从而BC 平面PAC 因为BC 平面PBC 所以平面PAC 平面PBC 2 平面PAC 平面ACBD 平面PAC 平面PBC 平面PAD 平面PBD 平面PAB 平面ACBD 平面PAD 平面ACBD 31 1 判断或证明两条直线垂直的主要方法有 1 利用两直线垂直的定义 判断两直线所成的角为90 2 利用三垂线定理或其逆定理 3 利用线面垂直的概念 证明一条直线垂直于经过另一条直线的一个平面 4 利用有关两直线垂直的平面几何性质 如菱形的对角线互相垂直 等腰三角形底边上的中线垂直于底边等 32 2 判断或证明直线和平面垂直的主要方法有 1 利用直线和平面垂直的定