学海导航高考数学第一轮总复习11.3导数的概念及运算课件 文 广西专

1 排列 组合 二项式定理和概率 第十一章 2 11 1抽样方法 3 1 导数的定义设函数y f x 在x x0处附近有定义 当自变量在x x0处有增量 x时 则函数y f x 相应地有增量 y 如果 x 0时 x与 y的比 也叫函数的平均变化率 有极限 即无限趋近于某个常数 我们就把这个极限值叫做 记作y x x0 即f x0 f x0 x f x0 函数y f x 在x x0处的导数 4 2 导函数如果函数y f x 在开区间 a b 内的每点处都有导数 此时对于每一个x a b 都对应着一个确定的导数f x 从而构成了一个新的函数f x 称这个函数f x 为函数y f x 在开区间内的导函数 简称导数 也可记作y 即函数y f x 在x0处的导数y x x0就是函数y f x 在开区间 a b x0 a b 上的导数f x 在x0处的函数值 即y x x0 f x0 5 3 导数的几何意义 1 设函数y f x 在点x0处可导 那么它在该点的导数等于函数所表示的曲线在相应点M x0 f x0 处的 2 设s s t 是位移函数 则s t0 表示物体在t t0时刻的 3 设v v t 是速度函数 则v t0 表示物体在t t0时刻的 4 设c是成本 q是产量 若c c q 则c q0 表示产量q q0时的 切线斜率 瞬时速度 加速度 边际成本 6 4 几种常见函数的导数 1 C为常数 则C 2 xn 5 求导法则如果f x g x 有导数 那么 f x g x Cf x 盘点指南 f x0 x f x0 函数y f x 在x x0处的导数 f x0 切线斜率 瞬时速度 加速度 边际成本 0 nxn 1 f x g x Cf x 0 nxn 1 f x g Cf x 7 如果质点M按规律s 3 t2运动 则在一小段时间 2 2 1 中 相应的平均速度是 A 4B 4 1C 0 41D 3解 选B B 8 若函数f x 2x2 1的图象上一点P 1 1 及邻近一点Q 1 x 1 y 则 A 4B 4 2 xC 4 xD 4 x x 2解 选B B 9 若存在过点 1 0 的直线与曲线y x3和都相切 则a等于 A 1或B 1或C 或D 或7 10 解 设过 1 0 的直线与y x3相切于点 x0 所以切线方程为y 3 x x0 即y 3x 2 又 1 0 在切线上 则x0 0或x0 当x0 0时 由y 0与相切可得a 当x0 时 由y x 与相切可得a 1 所以选A 11 1 求下列函数的导数 1 y 2x3 1 3x2 x 2 y 3 2x 1 2 4x 解 1 因为y 6x5 2x4 3x2 x 所以y 6x5 2x4 3x2 x 30 x4 8x3 6x 1 2 因为y 3 4x2 4x 1 4x 12x2 8x 3 所以y 12x2 8x 3 24x 8 题型1求可导函数的导数 12 点评 求多项式型函数的导数按各项分别求导即可 如果不是最简形式 则按整式的运算法则先化简成多项式 注意去括号时易出现漏项 符号变错等错误 13 函数y x 2a x a 2的导数为 A 2 x2 a2 B 3 x2 a2 C 3 x2 a2 D 2 x2 a2 解 因为y x 2a x2 2ax a2 x3 3a2x 2a3 所以y 3x2 3a2 3 x2 a2 故选C C 14 2 设f x x x 1 x 2 x n n N 求f 0 解 设f x an 1xn 1 anxn a1x a0 n N 则f x n 1 an 1xn nanxn 1 a2x a1 所以f 0 a1 易知a1 1 2 n n 所以f 0 n 点评 函数的导函数也是函数 求得导函数后 再代入求值可得导函数的值 涉及到系数问题 可结合二项展开式原理及方法求得指定项的系数 题型2求导函数的值 15 已知f x ax3 9x2 6x 7 若f 1 4 则a的值等于 A B C D 解 因为f x 3ax2 18x 6 所以由f 1 4 得3a 18 6 4 即a 故选B B 16 3 已知函数f x x3 x 1 求曲线y f x 在点M t f t 处的切线方程 2 设a 0 如果过点 a b 可作曲线y f x 的三条切线 证明 a b f a 解 1 函数f x 的导数为f x 3x2 1 曲线y f x 在点M t f t 处的切线方程为y f t f t x t 即y 3t2 1 x 2t3 题型3导数几何意义的应用 17 2 证明 因为切线过点 a b 则存在t 使b 3t2 1 a 2t3 于是 若过点 a b 可作曲线y f x 的三条切线 则方程2t3 3at2 a b 0有三个相异的实数根 记g t 2t3 3at2 a b 则g t 6t2 6at 6t t a 当t变化时 g t g t 的变化情况如下表 18 当a b 0时 解方程g t 0得t 0 或t 即方程g t 0只有两个相异的实数根 当b f a 0时 解方程g t 0得t 或t a 即方程g t 0只有两个相异的实数根 19 综上 如果过 a b 可作曲线y f x 的三条切线 即g t 0有三个相异的实数根 则 即 a b f a 点评 导数的几何意义 切点在曲线上 切点在切线上 切点处的导数即为切线的斜率 在点P处的切线与过点P的切线有质的区别 过点 a b 可作曲线y f x 的三条切线 则方程2t3 3at2 a b 0有三个相异的实数根 注意数形结合 a b 0b f a 0 20 过点P 1 2 且与曲线y 3x2 4x 2在M 1 1 处的切线平行的直线方程是 解 因为y 6x 4 所以切线的斜率为k y x 1 6 1 4 2 故所求直线为y 2 2 x 1 即2x y 4 0 2x y 4 0 21 1 一质点做直线运动 它所经过的路程和时间的关系是s 3t2 t 则t 2时的瞬时速度为 解 因为s 6t 1 故t 2时的瞬时速度为v s t 2 13 13 22 2 求过点P 2 0 且与曲线y x3相切的直线方程 解 设切点P1 x1 因为y x3 3x2 所以切线方程为 即 将P 2 0 代入 得 解得x1 0或x1 3 故所求切线方程为y 0或y 27x 54 23 1 高考对这一节的考查主要是导数的概念 导数的背景 导数的求导公式及运算法则 2 导数公式 xn nxn 1中 指数n为正整数 但n其实可为有理数 这个推广能够方便地解决很多问题 如经常出现的函数y ax 就可以应用这个公式求导 y a 进而可以处理相关的问题了 如单调性 最值等 24