微积分第一张

第一章事件与概率 1内容回顾一 事件及其关系与运算二 概率的定义及性质三 古典概型与几何概率四 条件概率与乘法公式五 全概率公式与贝叶斯公式六 事件的相互独立性七 贝努里概型 一 事件及其关系与运算1 包含 事件发生必然导致事件发生 2 相等 或等价 3 和 并 事件 或 事件至少发生其一 4 积 交 事件 或 事件同时发生 推广 5 互不相容 互斥 事件不能同时发生 推广 事件互不相容两两互斥 6 差事件 事件发生但不发生 7 对立事件 逆事件 事件不发生 注 1 2 8 运算规则 1 交换律 2 结合律 3 分配律 4 Demorgan定律 二 概率的定义及性质1 概率的公理化定义 若定义在事件域上的集合函数满足三条公理 1 非负性 有 2 规范性 3 可列可加性 若两两互斥 有则称为概率 2 概率的性质 1 不可能事件的概率为零 即 注 其逆命题不真 2 有限可加性 若两两互斥 有 3 若 则有 注 有 4 有 重要性质 其它 概率的单调性 若 则 有 三 古典概型与几何概率1 古典概型2 几何概率 四 条件概率与乘法公式1 条件概率 定义 计算 性质 1 2 根据定义 在缩减的样本空间中计算 3 具备概率的所有性质 2 乘法公式 1 定义 2 推广 五 全概率公式与贝叶斯公式1 全概率公式设是一个完备事件组 且 又是任意一个事件 则有 2 贝叶斯公式设是一个完备事件组 且 又是任意一个事件 则有 六 事件的相互独立性1 两个事件的相互独立性若 则称相互独立 简称独立 定理1 若独立 则 也独立 2 多个事件的相互独立性设是个事件 若 有则称相互独立 简称独立 定理2 类同定理1 七 贝努里概型1 贝努里试验若试验只有两个可能结果 成功 和 失败 则称为贝努里试验 与贝努里试验有关的数学模型称为贝努里概型 通常记 2 二项概率公式在重贝努里试验中 若以表示 成功次 则有 2例 一 单项选择题1 以A表示 甲畅销 乙滞销 则为 A 甲滞销 乙畅销 B 甲 乙均畅销 C 甲滞销 D 甲滞销或乙畅销 2 设A与B独立 且 则有 A A与B互斥 B A与B相容 C 与互斥 D 与B互斥 3 设 则下列选项正确的是 A B C D 4 设A与B互斥 且 则有 A B C D 5 设 则有 A B C D 二 填空题1 n个朋友随机地围绕圆桌而坐 则其中两人坐在一起的概率为 2 将编号为1 2 3的三本书随机地排列在书架上 则至少有一本书自左至右的排列顺序号与它的编号相同的概率为 3 设事件A与B互斥 则 4 已知 且A与B独立 则 5 某商店经销10台尚未过关的电子产品 其中有三台次品 已售出两台 问从剩下的产品中任取一台是正品的概率为 6 甲袋中有3只白球 7只红球 15只黑球 乙袋中有10只白球 6只红球 9只黑球 现从两袋中各取一球 则两球颜色相同的概率为 7 一道题列出4个答案 要求学生选出正确答案 假设他知道正确答案的概率是 乱猜的概率也是 又设他乱猜猜对的概率为 如果已知他答对了 问他确实知道哪个是正确答案的概率为 8 根据以往数据表明 当机器调整良好时 产品合格率为0 9 当机器发生某一故障时 其合格率为p 每天早上机器开动时 调整良好的概率为0 75 若已知整批产品的合格率为0 75 则p 9 设一个汽车站上 某路公共汽车每5分钟有一辆到达 假设乘客在任一时刻到达等可能 则在车站候车的10位乘客中只有一个等待时间超过4分钟的概率为 三 计算题1 某试验分两阶段进行 已知通过第一阶段试验的概率为0 6 通过第二阶段试验的概率为0 4 问通过第一阶段试验再通过第二阶段试验的概率是多少2 某人有5把钥匙 但忘了开门的是哪一把 逐把试开 问 1 第三次打开房门的概率是多少 2 三次内打开房门的概率是多少 3 若有2把能开门 再求上述两个事件的概率 3 设考生的报名表来自三个地区 各有10份 15份 25份 其中女生的分别为3份 7份 5份 随机地从一个地区先后任取2份报名表 求 1 先取到的一份报名表是女生的概率p 2 已知后取到的一份报名表是男生的 而先取到的一份是女生的概率q 4 每箱产品有10件 其中次品数从0到2是等可能的 开箱检验时 任取一件 若为次品 则拒收 假设正品误检为次品的概率为0 02 次品误检为正品的概率为0 05 计算该箱产品通过验收的概率 5 某人有