泰勒公式的应用.doc

19宜宾学院06届毕业设计(论文)Yibin University毕业论文（设计）题 目 泰勒公式的应用 系 别 数学学院 专 业 数学与应用数学 学生姓名 康云秋 学 号 060203038 指导教师 罗显康 2010 年 4 月摘要泰勒（taylor）公式在分析和研究数学问题中有十分重要的作用，本文介绍了泰勒公式在近似值计算、在求一些极限判、证明中值公式、拐点的判断、关于界的估计、证明一些不等式、判断正项级数的敛散性、的若干方面的应用。关键词：泰勒公式；近似值计算；极限；拐点；级数目录第1章 绪论11泰勒公式提出的背景及意11.1泰勒公式提出的背景11.2泰勒公式的意义11.3泰勒公式相关概念及定义21.3.1、带皮亚诺（Peano）余项的泰勒公式21.3.2、带拉格朗日（Lagrange）型余项的泰勒公式21. 4常见初等函数的泰勒公式：3第2章 泰勒公式的应用42.1在近似值计算中的应用42.2在极限中的应用52.3泰勒公式证明中值公式72.4拐点的判定92.5关于界的估计112.6证明不等式和等式122.7判断在正向级数敛散性14结束语19致谢19参考文献19第1章 绪论1泰勒公式提出的背景及意1.1泰勒公式提出的背景 18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。他在 1712年当选为英国皇家学会会员，并于两年后获法学博士学位。同年（即17141年）出任英国皇家学会秘书，四年后因健康理由辞退职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。泰勒的主要著作是1715年出版的正的和反的增量方法，书内以下列形式陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（数学家、天文学家）信中首先提出的著名定理泰勒定理：式内为独立变量的增量，及为流数。他假定随时间均匀变化，则为常数。上述公式以现代形式表示则为：这公式是从格雷戈里牛顿插值公式发展而成的，当时便称作马克劳林定理。1772年，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。1.2泰勒公式的意义泰勒公式是数学中“逼近”这个重要想法的一个特例。逼近想法的意思是这样的：给一个函数，我们要研究的行为，但本身可能很复杂而不易对付，于是我们就想法子去找一个较“简单”的函数，使其跟很“靠近”，那么我们就用来取代。这又是以简御繁的精神表现。泰勒公式开创了有限差分理论，可使任何单变量函数展开成幂级数。应用中就是将函数近似的表示为简单的多项式的函数，这使泰勒公式具有化繁为简的功能，它的这种功能使其成为分析和研究其它数学问题的有力杠杆。泰勒公式在微分学中占有很重要的位置，尤其在解决一些具体问题中有十分重要的应用。在利用泰勒展式时，可以帮忙我们做很多事情，比如求近似值，极限的求解，判别函数的极大值与极小值等。注意到，选取多项函数作为逼近的简单函数，理由很简单：在众多初等函数中，如三角函数，指数函数，对数函数，多项函数等，从算术的观点来看，以多项函数最为简单，因为要计算多项函数的值，只牵涉到加减乘运算，其它函数就没有这么简单。除此之外在几何物理和微分方程初步中也有应用，在现代数学中发挥着它的重要作用。1.3泰勒公式相关概念及定义1.3.1、带皮亚诺（Peano）余项的泰勒公式定理1.1：若函数在内有定义，且在有阶导数，则有： （1.1） 这里的泰勒余项被称为皮亚诺型余项，（1.1）式被称为带皮亚诺余项的泰勒公式。特别地，当时， （1.2）（1.2）式被称为带皮亚诺型余项的麦克劳林（Maclaurin）公式1.3.2、带拉格朗日（Lagrange）型余项的泰勒公式定理1.2：设函数在上存在直至阶连续导函数，在内存在，存在阶导函数，则对任意给定的、，至少存在一点使得： （1.3）这里的泰勒余项被称为拉格朗日型余项，（1.3）被称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式。特别地，当时， （1.4）称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式。1.4常见初等函数的泰勒公式：; （1.5）; （1.6）; （1.7）; （1.8）; （1.9）; （1.10）; （1.11）. （1.12）第2章 泰勒公式的应用2.1在近似值计算中的应用如果函数在处可导，则有，即在附近，用一次函数逼近函数时，其误差数量级为。然而，在很多场合，取y一次多项式逼近是不够的往往需要用二次或高于二次的多项式取逼近，并要求误差量级改善到，这里的也为多项式的次数，泰勒公式给出了定量形式的余项，以便于对逼近误差进行具体计算和估计。下面举例说泰勒公式在近似计算方面的应用。例2.1.1 求的近似值，要求误差小于。分析：对函数在处的泰勒展开式为而，在这里我们的取到10即可解：设，则而 例2.1.2 求的近似值解：由可得此时误差2.2在极限中的应用定义2.2.1设函数在点的某一空心邻域内有定义，如果存在常数，对于任意给定的正数（无论它多么小），存在正数，使得当满足不等式时有 ，则称函数当趋于时以为极限，记作 或 这个极限是与自变量的变化过程密切相关的，由于自变量的变化过程不同，函数的极限就表现为不同的形式数列极限看作函数当时的极限，这里自变量的变化过程是.下面讲述自变量的变化过程为其他情形时函数的极限，主要研究两种情形：1自变量任意地接近于有限值或者说趋于有限值（记作）时，对应的函数值的变化情形；2. 自变量的绝对值无限增大即趋于无穷大（记作）时，对应的函数值的变化情形。下面通过例子详细介绍泰勒公式在极限中的应用。例2.2.1 求极限 。解 法1 应用(1.10)式后，有 若直接用洛比达法则： 通过以上两种方法的比较，可见，应用泰勒公式比洛比达法则更好，计算更简单。例2.2.2 求极限解 用(1.9)后，有 可以想象，若用洛比达法则，将是非常麻烦的。2.3泰勒公式证明中值公式定理2.3.1（拉格朗日微分中值定理） 如果函数满足在闭区间上连续；在开区间内可导，那么在内至少有一点，使等式 成立。定理2.3.2（罗尔定理） 如果函数满足：在闭区间上连续；在开区间内可导；在区间端点处的函数值相等，即，那么在内至少有一点，使得。几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧（方程为）是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不垂直于轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明，弧上至少有一点，曲线在该点切线是水平的。定理2.3.3（柯西中值定理） 如果函数及满足：在闭区间上连续；在开区间内可导；对任一，那么在内至少有一点，使等式成立。接下来，我们通过例题来说明，泰勒公式是如何证明中值公式的。例2.3.1 设函数在上三阶可导，试证：存在，使 。证明： 设为使下式成立的实数： 。令，则。根据罗尔定理，使，即而将在展开有：。其中，比较得，其中。例2.3.2 设在上有二阶导数。试证：，使得 (2.1)证明：法1 对函数利用上例结果，或重复上例的证明即得。法2 将函数在点处按泰勒公式展开，记，则，其中。于是 (2.2)注意到导函数的介值性，使得，代入(2.2)式即得欲证的式(2.1)。法3 记，在泰勒展开式两端，同时取上的积分。注意右端第二项积分为0.第三项的积分，由于导数有介值性，第一积分中值定理成立：，使得因此(2.1)式成立。2.4拐点的判定定理2.4.1 设函数在点的某邻域内具有阶连续导数，且，则：(1) 当为偶数时，则点为的极值点；(2) 当为奇数时，则点位曲线的拐点。证明：(1) 当为偶数时，因为，不妨设。由于在处联系，即，根据极限的保号性，存在的某个去心邻域，当时，。那么对于任一 ，的阶泰勒公式为： 在于之间，由于，因此，考虑到为偶数及，那么在此邻域内，所以为的一个极小值点。若，同理可证为的一个极大值点。(2) 当为奇数时，设，同样存在，当时，那么在此邻域内单调增加，由于，那么在内，则单调减少，有由于，因此，依次类推，当时，。取，且，并设，将在点处按泰勒公式展开：，从而 即 ，因此曲线在内是凸的。同理可证曲线在内是凹的。因此点为曲线的拐点。同理可证，当时，点也是曲线的拐点。下面通过例子来说明泰勒公式在判断拐点中的应用例2.4.1 求的极值点解: , , , ,第一个不等于零的导数的阶数是偶数，可见是的极值点。又由于，所以点是极小值点。例2.4.2 求函数的极值和拐点.解： 由于，所以以，为驻点，求的二阶导函数，得：，及所以在时取得极大值.求三阶导函数得：，由定理，为奇数，在不可能取得极值，为该曲线的拐点.求四阶导函数得：，为偶数，所以在时取得极小值，但不一定是该曲线的拐点.2.5关于界的估计定义2.5.1 如果存在一个常数，对于变量在定义域内，函数都满足，则称上有界，又称上有界函数。定义2.5.2 如果存在一个常数，对于变量在定义内，函数都满足，则称下有界，又称下有界函数。如果即是上有界又是下有界函数则称为有界函数。数学分析中，有很多计算都是涉及到函数的界的，接下来，我们就用泰勒公式对函数的界进行估计。例2.5.1 设函数在上二阶可导，当时， 。试证：当时，。证明 ： 因，所以，。例2.5.2 设函数在上三阶可导，并且和在上有界，证明：和也在上有界。证明 因，取得，两式相减得，所以，其中 ，同理两式相加得，故和也在上有界。2.6证明不等式和等式不等式和等式在数学问题中占有很大一部分，我们同样可以用文章中提到的泰勒公式对一些不等式和等式进行证明，让我们的证明简单化。例2.6.1 设函数在上二次可微，试证：，有。证明： 取，将在处展开 以乘此式两端，然后n个不等式相加，注意，得 。例2.6.2 设有二阶导数， (2.3)试证： 。证明 ： 。二式相加，并除以，注意(2.4)，有令取极限得。例2.6.3 证明：正数的几何平均数不大于这些数的算术平均数，即是：。证明： 不等式的左端是个正数的连乘积，为此取自然对数转化为和的形式，当都不同时为0时，即证：设 ，将 在处展开为泰勒公式，有，在与之间。因为 ，所以这样：把不等式的两边相加，可得：即 也即 从而证明了 ，当 时，显然等式成立。2.7判断在正向级数敛散性定义2.7.1：给定一个数列，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 (2.4)称为数项级数（也称级数）其中称为数项级数(2.4)的通项。数项级数(2.4)也可写作：或数项级数(2.4)的前项之和，记为：称为它的数项级数(2.4)的第个部分和，简称部分和。定义2.7.2：若数项级数(2.4)的部分和数列收敛于（即）,则称数项级数收敛，称为数项级数(2.4)的和，记作：或若是发散数列，则称数项级数(2.4)发散定义2.7.3：数项级数各项都的由整数组成的级数称为正项级数引理2.7.1：正项级数收敛的从要条件是：部分和数列有界。证明：由于，所以是递增数列，而单调数列收敛的从要条件是该数列有界，这样就证得了结论.引理2.7.2（比较原则）：设和是两个正项级数，如果存在某个正数，对一切都有 若级数收敛，则级数也收敛； 若级数发散，则级数也发散.证明：因为改变级数的有限项并不影响原有级数的收敛性，因此不妨设对一切正整数都成立。现分别以和记级数和级数的部分和，由推得：对一切正整数，都有若收敛，即存在，由得：对一切有，即正项级数的部分和有界，由引理2.7.1可知证明了；是的逆否命题，自然成立定理2.7.2：设两个正项级数和若则（）当时，级数、同时收敛或同时发散；（）当且收敛时，则级数也收敛；（）当且级数发散时，则级数也发散。证明：由得：对任给的正数，存在某正数，当时，恒有即由引理2.7.2和上式当时，级数和级数同时收敛，证得（）对于（），当时，由时上式右半部分及比较原则可得：若级数收敛，则级数也收敛。对于级数（），若，即对任给的正数，存在相应的正数，当时，都有即于是由比较原则知道，若发散，则级数也发散。由该定理可知，要判断级数的敛散性，可以由级数的敛散性去定。就是说在符合特定条件下，可以由级数收敛推出级数收敛，由级数发散推出级数发散。一般情况下，要研究级数的敛散性，给出的只是级数本身，并没有给出比较级数，那就需要我们寻找出比较级数，并且这个级数还要符合定理的条件。现在的问题是如何找出这个比较级数又来，通常情况下，找比较级数的方法是用观察法，或称试验法，就是说，用一个我们已经熟悉了的级数，求出极限，然后根据值的范围及级数的敛散性推出的敛散性。显然，这样的方法虽然很方便，但具有一定的盲目性，如果给出的级数与我们熟悉的没有明显的联系，我们就很难选出一个符合条件的来。下面我们就某些级数敛散的判别，说明怎样利用泰勒公式帮助选择级数。下面通过泰勒公式化简，更方便来找比较级数，从而判断级数的收敛性。例2.7.1 讨论级数的敛散性。解： 现在选取比较级数因为而级数收敛，所以由上面的定理可知级数也收敛例2.7.2 讨论级数的敛散性。解： 现在选取比较级数因为而级数发散，所以由级数发散。通过以上两个例子可以看出，使用泰勒公式来帮助寻找比较级数，显得十分方便。结束语本文通过对泰勒公式应用的研究，介绍了泰勒公式在计算近似值、极限求解、中值估计、界的估计、证明不等式、正项级数的敛散性，充分说明了泰勒公式在数学领域的重要性，体现了微积分“近逼法”的精髓同时也展现了泰勒公式在分析和研究其它数学问题的有力杠杆的重要作用。泰勒公式在数学分析中应用广泛，对于还在高等代数和微分方程方面的应用，我有待进一部研究。本人在完成本论文过程中，对泰勒公式由了更进一部的认识，同时也体会了数学的重要性。致谢本文是在罗显康老师的悉心指导下完成的，在这个过程中，我感触颇多。自选题开始，罗老师一直给予我很大的帮助，尤其是在论文的完成过程中，罗老师严格要求，多次给予我指导，提出宝贵的建议，使我在理论学习的由很大提高。罗老师广博的学识和严谨的治学态度使我终生受益，在此论文完成之际，我向罗老师表示最忠心的感谢！文写作过程中借鉴和引用了许多学界前辈的观点和论据，向他们表示感谢! 文写作过程中借鉴和引用了许多学界前辈的观点和论据，向他们表示感谢!参考文献华东师范大学数学系. 数学分析M. 第三版. 高等