第七节-全概率公式.ppt

第七节全概率公式 综合应用 第七节全概率公式 加法公式 乘法公式 P A B P A P B A B互不相容 P AB P A P B A P A 0 一 全概率公式 例如一场精彩的足球赛将要举行 5个球迷好不容易才搞到2张入场券 大家都想去 怎么办 入场券 入场券 空 空 空 抽签 先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大 大家不必争先恐后 你们一个一个按次序来 谁抽到 入场券 的机会都一样大 解 显然 第一个人抽到入场券的概率为 下面 考虑第二个人抽到入场券的概率 设A 第二个人抽到入场券 分析 A怎样发生的 AB1 AB2 第一人抽到 第二人也抽到 第一人未抽到 第二人抽到 则A AB1 AB2 且AB1和AB2互不相容 设B1 第一人抽到入场券 B2 第一人未抽到入场券 则A AB1 AB2 且AB1和AB2互不相容 所以P A P AB1 P AB2 运用加法公式得 P B1 P A B1 P B2 P A B2 运用乘法公式得 将公式一般化 就得到全概率公式 抽签不必争先恐后 设随机试验的样本空间为 1 全概率公式 A AB1 AB2 ABn B1 B2 Bn为互不相容的完备事件组 划分 且P Bi 0 i 1 2 n 另有一事件A 则 全概率公式的由来 不难由上式看出 全 部概率P A 被分解成了许多部分之和 它的理论和实用意义在于 直接计算P A 不容易时 考虑将事件A进行分割 借助样本空间 的一个划分B1 B1 Bn将事件A分成AB1 AB1 ABn 用所有的P ABi 之和计算P A 往往可以简化计算 例1某工厂有3个车间生成同一种产品 据以往记录有以下数据 车间次品率提供份额10 0230 20 0155 30 0315 现从出厂产品中任取一件 问恰好取到次品的概率是多少 目标事件 解 设A 取到的产品是次品 分析 A怎么发生的 划分样本空间 1 2 3个车间将样本空间分为三部分 合格品和次品将样本空间分为两部分 复杂 2 全概率公式举例 车间次品率提供份额10 0230 20 0155 30 0315 Bi 取到i车间的产品 i 1 2 3 解 设A 取到的产品是次品 则A AB1 AB2 AB3 A怎么发生的 AB1 1车间的次品 2车间的次品 AB2 3车间的次品 AB3 车间1应承担多少责任 在实际生活中 还会遇到下面一类问题 是 这一类问题在实际中更为常见 它所求的是条件概率 是已知某结果发生条件下 求各原因发生可能性大小 现从出厂产品中任取一件 发觉该产品是次品而且其标志已脱落 厂方应如何处理此事较为合理 或者问 已知结果求原因 二 贝叶斯公式 车间次品率提供份额10 0230 20 0155 30 0315 现从出厂产品中任取一件 发觉该产品是次品而且其标志已脱落 试求这件次品来自车间1的概率 车间次品率提供份额10 0230 20 0155 30 0315 结果已发生 Bi 取到i车间的产品 i 1 2 3 解 设A 取到的产品是次品 所求为 运用全概率公式 运用乘法公式 将公式一般化 就得到贝叶斯公式 P B1 A 设随机试验是样本空间为 1 贝叶斯公式 B1 B2 Bn为互不相容的完备事件组 划分 且P Bi 0 i 1 2 n 另有一事件A 则 i 1 2 n 说明 贝叶斯公式在实际中有很多应用 它可以帮助人们确定某结果 事件A 发生的最可能的原因 该公式由贝叶斯 Bayes 给出 他是在观察到事件A已发生的条件下 寻找导致A发生的每个原因的概率 贝叶斯公式的思想就是 执果溯因 全概率公式的思想是 由因推果 P B2 A 2 贝叶斯公式举例 0 7 0 9 0 1 0 1 例2无线通信中 由于随机干扰 当发送信号 时 未必收到信号 如果整个发报过程中 信号 和 分别占60 和40 当收到 不清 时 求原发信号为 与 的概率分别有多大 不清 0 2 0 结果已发生 解 A 收到信号 不清 AB1 发出 收到 不清 发出 收到 不清 AB2 B1 发出信号 B2 发出信号 所求为 P B1 A 例3 疾病普查问题 某一地区患有癌症的人占0 005 患者对一种试验反应是阳性的概率为0 95 正常人对这种试验反应是阳性的概率为0 04 现抽查了一个人 试验结果是阳性 问此人是癌症患者的概率有多大 解 设A 试验结果是阳性 AB1 有疾病 阳性 无疾病 阳性 AB2 B1 抽查的人患有癌症 B2 抽查的人不患有癌症 所求为 P B1 A 依题意有 P B1 0 005 P B2 0 995 P A B1 0 95 P A B2 0 04 现在来分析一下结果的意义 2 检出阳性是否一定患有癌症 1 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义 如果不做试验 抽查一人 他是患者的概率P C 0 005 患者阳性反应的概率是0 95 若试验后得阳性反应 则根据试验得来的信息 此人是患者的概率为P C A 0 1066 说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义 从0 005增加到0 1066 将近增加约21倍 1 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义 提示 2 检出阳性是否一定患有癌症 试验结果为阳性 此人确患癌症的概率为P C A 0 1066 即使你检出阳性 尚可不必过早下结论你有癌症 这种可能性只有10 66 平均来说 1000个人中大约只有107人确患癌症 此时医生常要通过再试验来确认 下面我们再回过头来看一下贝叶斯公式 贝叶斯公式 P Bi i 1 2 n 是在没有进一步信息 不知道事件A是否发生 的情况下 人们对诸事件发生可能性大小的认识 当有了新的信息 知道A发生 人们对诸事件发生可能性大小P Bi A 有了新的估计 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化 先验概率 后验概率 在不了解案情细节 事件A 之前 侦破人员根据过去的前科 对他们作案的可能性有一个估计 设为 比如原来认为作案可能性较小的某甲 现在变成了重点嫌疑犯 例如 某地发生了一个案件 怀疑对象有甲 乙 丙三人 甲 乙 丙 P B1 P B2 P B3 但在知道案情细节后 这个估计就有了变化 P B1 A 知道A发生后 P B2 A P B3 A 这一讲我们介绍了 全概率公式 贝叶斯公式 它们是加法公式和乘法公式的综合运用 同学们可通过进一步的练习去掌握它们 三 小结 1 全概率公式主要用在事件A的发生有各种可能的原因Bi 这里B1 B2 Bn互斥 第一种原因B1可能导致事件A发生 即 AB1第二种原因B2可能导致事件A发生 即 AB2 第n种原因Bn可能导致事件A发生 即 ABn则事件A发生的概率就可以由全概率公式计算 2 贝叶斯公式主要用在事件A已发生的情况下 考虑各种可能的原因Bi 有三个箱子 装球情况如下 1 1号箱装有1个红球4个白球 2 2号箱装有2个红球3个白球 3 3号箱装有3个红球 从三箱中任取一箱 从中任意摸出一球 求 1 求摸出红球的概率 2 若发现摸出的是红球 求该球是来自1号箱的概率 思考练习 敏感性问题的调查 调查方案核心是如下两个问题 A 你的生日是否在7月1日之前 不含7月1日 B 你是否在比赛前服用过违禁药品 被调查者只需回答其中一个问题 至于回答哪一个问题 摸球确定 从一罐中随机取出一球 若白球 回答问题A 若红球 回答问题B 不管是回答问题A还是B 只需在答卷上认可的方框内打勾 然后将答卷放入投票箱 在无人屋中自己完成 例罐中有50个