南通四校2011高考数学一轮复习：第15章圆锥曲线与方程第4节

第四节直线与圆锥曲线的位置关系 基础知识梳理 1 直线与圆锥曲线的位置关系 1 从几何角度看 可分为三类 无公共点 仅有一个公共点及有两个相异的公共点 具体如下 直线与圆锥曲线的相离关系 常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决 基础知识梳理 直线与圆锥曲线仅有一个公共点 对于圆或椭圆 表示直线与其相切 对于双曲线 表示与其相切或与双曲线的渐近线平行 对于抛物线 表示直线与其或直线与其对称轴 相切 平行 基础知识梳理 直线与圆锥曲线有两个相异的公共点 表示直线与圆锥曲线相交 此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的 注意 直线与圆锥曲线有一个公共点不一定是相切 弦 基础知识梳理 直线与圆锥曲线相交时 什么情况下只有一个交点 思考 提示 双曲线中 直线与双曲线的渐近线平行时 只与双曲线有一个交点 抛物线中 直线与抛物线的对称轴平行时 只与抛物线有一个交点 思考 基础知识梳理 2 从代数角度看 可通过将表示直线的方程 代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断 直线l方程为Ax By C 0 圆锥曲线方程为f x y 0 基础知识梳理 如消去y后得ax2 bx c 0 若f x y 0表示椭圆 上述方程中a 0 为此有 若a 0 当圆锥曲线是双曲线时 直线l与双曲线的渐近线平行或重合 当圆锥曲线是抛物线时 直线l与抛物线的对称轴平行 或重合 若a 0 设 b2 4ac 基础知识梳理 a 0时 直线和圆锥曲线相交于不同两点 b 0时 直线和圆锥曲线相切于一点 c 0时 直线和圆锥曲线没有公共点 直线与圆锥曲线的位置关系重点是相交 相交联立方程组有两组不等的实数解二次方程有两个不等实数解判别式大于零 转化 转化 转化 基础知识梳理 2 对于求一般弦长可用以下求法求弦长两交点间的距离 转化 综合运用 消元解方程组二次方程韦达定理 基础知识梳理 1 弦长公式 直线与圆锥曲线相交于点A x1 y1 B x2 y2 直线斜率为k 一般弦长公式 基础知识梳理 2 若弦过焦点 可用焦半径公式来表示弦长 简化运算 AB 过右焦点 AB 过左焦点 如抛物线y2 2px p 0 AB 2a e x1 x2 2a e x1 x2 x1 x2 p 基础知识梳理 基础知识梳理 三基能力强化 1 已知离心率为e的曲线 1 其右焦点与抛物线y2 16x的焦点重合 则e的值为 三基能力强化 解析 抛物线y2 16x的焦点为F 4 0 因为双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同 故c 4 c2 a2 b2 a2 16 7 9 a 3 e 三基能力强化 2 2010年镇江市质检 以双曲线x2 4y2 4的中心为顶点 右焦点为焦点的抛物线方程是 三基能力强化 3 抛物线y2 4x的焦点为F 过F且倾斜角等于的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A 则AF的长为 三基能力强化 答案 4 三基能力强化 三基能力强化 5 已知以F1 2 0 F2 2 0 为焦点的椭圆与直线x y 4 0有且仅有一个交点 则椭圆的方程为 三基能力强化 课堂互动讲练 在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时 先联立方程组 再消去x 或y 得到关于y 或x 的方程 如果是直线与圆或椭圆 则所得方程一定为一元二次方程 如果是直线与双曲线或抛物线 则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况 只有二次方程才有判别式 另外还应注意斜率不存在的情形 课堂互动讲练 注意 1 直线与抛物线 双曲线有一个公共点是直线与抛物线 双曲线相切的必要不充分条件 2 由于抛物线及双曲线问题的特殊性 有时借助于数形结合可能会更直观 更方便 对于抛物线来说 平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点 但并不相切 对于双曲线来说 平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点 但并不相切 课堂互动讲练 已知双曲线x2 2y2 2的左 右两个焦点为F1 F2 动点P满足 PF1 PF2 4 1 求动点P的轨迹E的方程 2 设D 0 过F2且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A B两点 若以DA DB为邻边的平行四边形为菱形 求直线l的方程 课堂互动讲练 思路点拨 1 利用椭圆的定义 2 利用向量加法的几何意义 代入坐标运算 求直线l的斜率 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 点评 直线与圆锥曲线问题一般联立方程组 利用根与系数的关系解决有关问题 本题 2 中向量的利用是解题的关系 这种灵活应用知识的方法在解题时往往出现意想不到的效果 因此 要积累一定的解题思路 形成对应的解题方法 课堂互动讲练 跟踪训练 课堂互动讲练 跟踪训练 课堂互动讲练 跟踪训练 课堂互动讲练 跟踪训练 课堂互动讲练 跟踪训练 课堂互动讲练 跟踪训练 课堂互动讲练 跟踪训练 课堂互动讲练 圆锥曲线中求最值与范围问题是高考中的常考问题 解决此类问题一般有两种思路 1 构造关于所求量的不等式 通过解不等式来获得问题的解 2 构造关于所求量的函数 通过求函数的值域来求解 课堂互动讲练 注意 在解决此类问题的过程中 一定要深刻挖掘题目中的隐含条件 如判别式大于零等 课堂互动讲练 2008年高考江西卷 已知F1 F2是椭圆的两个焦点 满足 0的点M总在椭圆内部 则椭圆离心率的取值范围是 思路点拨 本题主要考查了椭圆的几何性质 同时又考查了如何运用不等式求椭圆离心率的取值范围 课堂互动讲练 课堂互动讲练 点评 对于圆锥曲线的最值问题 解法常有两种 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义 可考虑利用数形结合法解 当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系 则可先建立目标函数 再求这个函数的最值 常见的最值模型有均值不等式 二次函数 导数等模型 课堂互动讲练 求范围问题一般可考虑以下几个方面 与已知范围联系 通过求值域或解不等式来完成 通过判别式 0 利用点在曲线内部形成的不等关系 利用解析式自身的结构特点 如a2 a 等非负性 课堂互动讲练 2 将例2中条件 0的点M总在椭圆内部 改为 点M是椭圆上任一点 F1MF2为锐角 结果如何 互动探究 课堂互动讲练 互动探究 课堂互动讲练 圆锥曲线中定点问题与定值问题都涉及一个 变 与 不变 的问题 在分析时 可以利用从特殊到一般 由 变 转化为 不变 定 与 变 无关等解题思想 课堂互动讲练 2009年高考辽宁卷 已知 椭圆C经过点A 1 两个焦点为 1 0 1 0 1 求椭圆C的方程 2 E F是椭圆C上的两个动点 如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数 证明直线EF的斜率为定值 并求出这个定值 课堂互动讲练 思路点拨 1 用椭圆定义求2a 2 设出直线AE AF方程 与椭圆方程联立表示出点E F坐标间的关系 利用斜率公式求kEF 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 点评 本题中假设的量较多 寻求kEF为定值 关键在于很好地理顺出E F点坐标之间的代换关系 用字母表示的量越多 整理代数式越困难 因此 对此类问题要有一个良好的运算能力 才能解答的顺利 kEF为定值 说明与E F的变动无关 所以也可先取特殊的点确定kEF的值 以免最后运算的结果出错 课堂互动讲练 跟踪训练 课堂互动讲练 1 求椭圆的方程 2 若直线AB过椭圆的焦点F 0 c c为半焦距 求直线AB的斜率k的值 3 试问 AOB的面积是否为定值 如果是 请给予证明 如果不是 请说明理由 跟踪训练 课堂互动讲练 跟踪训练 课堂互动讲练 跟踪训练 课堂互动讲练 跟踪训练 课堂互动讲练 跟踪训练 课堂互动讲练 跟踪训练 课堂互动讲练 本类题目涉及知识广泛 多与函数 向量 不等式等结合 题目较难 解题前分析题目的条件及其联系 并且联系平时积累的知识才有可能解出来 对于某种常用的条件代数式 或者图形 要清楚它们所代表的意义 要熟知它们的变化 课堂互动讲练 课堂互动讲练 思路点拨 1 中涉及到 MF2 的值 可考虑利用焦半径的性质 2 中 正确利用条件 四边形MF1NF2为平行四边形 注意结合根与系数的关系进行整体变换 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 点评 向量与圆锥曲线的结合主要是将几何中的长度 角度等数量关系用向量的模 夹角来表示 将几何中的垂直 平行等位置关系用向量的数乘 数量积来表示 课堂互动讲练 自我挑战 课堂互动讲练 1 求a b的值 2 C上是否存在点P 使得当l绕F转到某一位置时 有成立 若存在 求出所有的P的坐标与l的方程 若不存在 说明理由 自我挑战 课堂互动讲练 自我挑战 课堂互动讲练 2 C上存在点P 使得当l绕F转到某一位置时 有成立 由 1 知C的方程为2x2 3y2 6 6分设A x1 y1 B x2 y2 当l不垂直于x轴时 设l的方程为y k x 1 C上的点P使成立的充要条件是P点的坐标为 x1 x2 y1 y2 且2 x1 x2 2 3 y1 y2 2 6 自我挑战 课堂互动讲练 整理得2x12 3y12 2x22 3y22 4x1x2 6y1y2 6 又A B在C上 即2x12 3y12 6 2x22 3y22 6 故2x1x2 3y1y2 3 0 9分将y k x 1 代入2x2 3y2 6 并化简得 2 3k2 x2 6k2x 3k2 6 0 自我挑战 课堂互动讲练 自我挑战 课堂互动讲练 自我挑战 课堂互动讲练 自我挑战 规律方法总结 本节问题的研究集中体现了解析几何的基本思想和方法 要求有较强的分析问题和解决问题的能力 有些问题涉及代数 三角 几何多方面的知识 因此在复习中要注意各学科之间的联系和综合利用知识解决问题的能力 规律方法总结 1 在给定的圆锥曲线f x y 0中 求中点为 m n 的弦AB所在直线方程时 一般可设A x1 y1 B x2 y2 利用A B在曲线上 得f x1 y1 0 f x2 y2 0 及x1 x2 2m y1 y2 2n 故可求出斜率kAB 最后由点斜式写出直线AB的方程 规律方法总结 2 斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB 若A B两点的坐标分别为A x1 y1 B x2 y2 则AB x1 x2 y1 y2 k 0 利用这个公式求弦长时 应注意应用韦达定理 规律方法总结