高中数学 2.2.1圆的标准方程课件 北师大版必修2 .ppt

1 圆的标准方程中参数a b r的作用圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2中 有三个参数a b r 其中 a b 为圆心 r为半径 结合圆的定义可知 圆心 a b 在确定圆时起定位作用 即影响圆的位置 而半径r在确定圆时起定形作用 即影响圆的大小 用直接法求圆的方程 2 几种特殊位置的圆的标准方程 求圆的标准方程一般是用待定系数法 需三个独立的条件 转化成解方程 组 问题 例1 求圆心在x轴上 半径为5 且过点a 2 3 的圆的标准方程 审题指导 已知圆心的位置 半径r及过点a 2 3 求解本题的关键是依据圆心的位置设出圆的标准方程 然后代入点a 2 3 求参数 规范解答 圆心在x轴上 半径为5 设圆的标准方程为 x a 2 y2 25 过点a 2 3 2 a 2 3 2 25 解得 a 2 或a 6 所求圆的标准方程为 x 2 2 y2 25或 x 6 2 y2 25 互动探究 把条件 圆心在x轴上 换成 圆心在y轴上 求相应问题 解析 圆心在y轴上 半径为5 设圆的标准方程为x2 y a 2 25 过点a 2 3 4 3 a 2 25 解得 所求圆的标准方程为 求圆的标准方程时常用的几何性质 1 弦的垂直平分线必过圆心 2 圆的任意两条弦的垂直平分线的交点必为圆心 3 圆心与切点的连线长为半径 4 圆心与切点的连线垂直于圆的切线 5 圆的半径r 半弦长d 弦心距h 满足r2 d2 h2 利用圆的几何性质求圆的标准方程 求圆的方程时 联想圆的几何性质和结合图形解题可以达到事半功倍的效果 例2 2010 新课标全国高考改编 过点a 4 1 的圆c与直线x y 1 0相切于点b 2 1 求圆c的标准方程 审题指导 由题意得出圆心既在线段ab的中垂线上 又在过点b 2 1 且与直线x y 1 0垂直的直线上 联立方程可求出圆心和半径 可见灵活转化题目中的条件求解圆的方程是解决问题的关键 规范解答 由题意知 圆心既在过点b 2 1 且与直线x y 1 0垂直的直线上 又在线段ab的中垂线上 过点b 2 1 且与直线x y 1 0垂直的直线为x y 3 0 线段ab的中垂线为x 3 联立方程解得即圆心c 3 0 又半径所以圆的标准方程为 x 3 2 y2 2 变式训练 已知圆心为c的圆经过点a 0 2 和b 3 3 且圆心c在直线l x y 5 0上 1 求线段ab的垂直平分线方程 2 求圆c的标准方程 解题提示 利用中点坐标公式求线段ab的中点 进而求出线段ab的垂直平分线的方程 联立直线l及线段ab的垂直平分线的方程求圆心 进而求出圆的标准方程 解析 1 因为a 0 2 b 3 3 所以线段ab的中点坐标为直线ab的斜率故线段ab的垂直平分线方程是即3x y 7 0 2 由得所以圆心c的坐标为 3 2 圆的半径所以圆c的标准方程为 x 3 2 y 2 2 25 与对称有关的圆的方程的分类求解策略 利用对称求圆的方程 不论圆关于点对称还是关于直线对称 其半径不变 变的只是圆心的位置 例3 已知圆c x 2 2 y 6 2 1和直线l 3x 4y 5 0 求圆c关于直线l对称的圆的标准方程 审题指导 直线及圆的方程已知 解答本题的关键是确定圆心坐标 由题意可知两圆圆心关于直线l对称 故可利用对称的思想求出圆心坐标 进而写出圆的标准方程 规范解答 圆c x 2 2 y 6 2 1的圆心为 2 6 半径r 1 设所求圆的圆心c a b 由题意可知c与c 关于直线l对称 则有解得a 4 b 2 又所求圆的半径r 1 故所求圆的标准方程为 x 4 2 y 2 2 1 互动探究 条件不变 求圆c关于原点对称的圆的方程 解题提示 圆心关于原点的对称点即为所求圆的圆心 解析 圆c x 2 2 y 6 2 1的圆心为 2 6 半径r 1 设所求圆的圆心c a b 由题意可知c与c 关于原点对称 则有c 2 6 又所求圆的半径r 1 故所求圆的方程为 x 2 2 y 6 2 1 解决与圆的方程相关的实际应用题的步骤 圆在生产实际中的应用 例 如图所示是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图 该圆拱跨度ab 20m 拱高op 4m 在建造时每隔4m需用一个支柱支撑 求支柱cd的高度 精确到0 01m 审题指导 由本题条件可知 此问题应首先建系 转化成求圆的方程 再利用它求出线段cd的高度 规范解答 以ab所在的直线为x轴 以o为原点 建立如图所示的直角坐标系 则圆心在y轴上 设圆心的坐标是 0 b 圆的半径是r 那么圆的方程是x2 y b 2 r2 下面用待定系数法求b和r的值 因为p b都在圆上 所以它们的坐标 0 4 10 0 都是这个圆的方程的解 于是得到方程组解得b 10 5 r2 14 52 所以这个圆的方程是x2 y 10 5 2 14 52 把点c的横坐标x 2代入这个圆的方程 得 2 2 y 10 5 2 14 52 因为c的纵坐标y 0 所以根取正值 于是即支柱cd的高度约为3 86m 变式备选 一座圆形拱桥 当水面在如图所示位置时 拱顶离水面2米 水面宽12米 当水面下降1米后 水面宽多少米 解题提示 先建立适当的坐标系 求出圆的方程 最后借助圆的方程解决该问题 解析 以圆形拱顶点为原点 以过圆形拱顶点的竖直直线为y轴 建立如图所示平面直角坐标系 设圆心为c 水面所在弦的端点为a b 则由已知可得a 6 2 设圆的半径为r 则c 0 r 即圆的方程为x2 y r 2 r2 将点a的坐标代入上述方程可得r 10 所以圆的方程为x2 y 10 2 100 当水面下降1米后 水面弦的端点为a b 可设a x0 3 x0 0 代入x2 y 10 2 100 解得米 水面宽度米 典例 12分 求同时满足下列条件的圆c的标准方程 1 截y轴所得弦mn长为4 2 被x轴分成两段圆弧 其弧长之比为3 1 3 圆心在直线y x上 审题指导 确定圆的方程需要三个独立的条件 而题设恰好给出了三个条件 因此求解本题的关键是利用圆的几何性质建立关于圆心 a b 及半径r的方程 规范解答 设圆的标准方程是 x a 2 y b 2 r2 则圆心为 a b 半径是r 圆截y轴所得弦长为4 r2 4 a2 3分 被x轴分成两段圆弧 其弧长之比为3 1 6分 圆心 a b 在直线y x上 a b 8分 由解得或 10分所以所求圆的标准方程为 x 2 2 y 2 2 8或 x 2 2 y 2 2 8 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 2011 合肥高二检测 已知圆c经过点a 1 3 b 2 2 并且直线l 3x 2y 0平分圆c 求圆c的方程 解析 设圆c的圆心坐标为 a b 由于直线l 3x 2y 0平分圆c 故圆c的圆心c a b 在直线l上 即3a 2b 0 又 ca cb 把 代入 得a 2 b 3 圆c的方程为 x 2 2 y 3 2 1 1 以原点为圆心 以3为半径的圆的标准方程为 a x2 y2 3 b x2 y2 9 c x 3 2 y 3 2 9 d x 3 2 y2 9 解析 选b 由圆的标准形式可知 x 0 2 y 0 2 9 即x2 y2 9 选b 2 以 1 2 为圆心 且过原点的圆的标准方程为 a x 1 2 y 2 2 5 b x 1 2 y 2 2 c x 1 2 y 2 2 d x 1 2 y 2 2 5 解析 选d 原点到圆心的距离即为圆的半径 r2 1 2 22 5 以 1 2 为圆心且过原点的圆的标准方程为 x 1 2 y 2 2 5 选d 3 以点a 5 4 为圆心 且与x轴相切的圆的标准方程为 a x 5 2 y 4 2 25 b x 5 2 y 4 2 16 c x 5 2 y 4 2 16 d x 5 2 y 4 2 25 解析 选c 所求圆与x轴相切 圆的半径为4 故所求圆的方程为 x 5 2 y 4 2 16 选c 4 以a 1 2 b 5 6 为直径两端点的圆的标准方程为 解析 由题意可得圆心为 2 2 半径所以所求圆的标准方程为 x 2 2 y 2 2 25 答案 x 2 2 y 2 2 25 5 求以圆 x 1 2 y 4 2 5的圆心为圆心 以原点到直线x y 1 0的距离为半径的圆的标准方程 解析 原点到直线x y 1 0的距离 所求圆的半径为又 圆 x 1 2 y 4 2 5的圆心坐标为 1 4 所求圆的方程为 一 选择题 每题4分 共16分 1 2011 成都高二检测 已知点a 1 2 b 3 1 则线段ab的垂直平分线的方程是 a 4x 2y 5 0 b 4x 2y 5 0 c x 2y 5 0 d x 2y 5 0 解析 选b a 1 2 b 3 1 的中点为又 线段ab的垂直平分线的方程为即4x 2y 5 0 2 2011 石家庄高二检测 圆 x 2 2 y2 5关于原点p 0 0 对称的圆的方程为 a x 2 2 y2 5 b x2 y 2 2 5 c x 2 2 y 2 2 5 d x2 y 2 2 5 解析 选a 圆 x 2 2 y2 5的圆心为 2 0 其关于原点p 0 0 的对称点为 2 0 故所求圆的圆心坐标为 2 0 又两圆的半径相等 故所求圆的方程为 x 2 2 y2 5 3 过点a 1 1 b 1 1 且圆心在直线x y 2 0上的圆的方程是 a x 3 2 y 1 2 4 b x 1 2 y 1 2 4 c x 3 2 y 1 2 4 d x 1 2 y 1 2 4 解析 选b 线段ab的中垂线方程为x y 0 联立解得即圆心为 1 1 又过点a 1 1 所以所求圆的半径为r 2 所以所求圆的方程为 x 1 2 y 1 2 4 4 经过圆c x 1 2 y 2 2 4的圆心且斜率为1的直线方程为 a x y 3 0 b x y 3 0 c x y 1 0 d x y 3 0 解析 选a 圆c的圆心为 1 2 又所求直线的斜率k 1 故由点斜式得y 2 x 1 即x y 3 0 二 填空题 每题4分 共8分 5 2011 辽宁高考 已知圆c经过a 5 1 b 1 3 两点 圆心在x轴上 则圆c的方程为 解析 设圆c的方程为 x a 2 y2 r2 答案 x 2 2 y2 10 6 2010 湖南高考 若不同两点p q的坐标分别为 a b 3 b 3 a 则线段pq的垂直平分线l的斜率为 圆 x 2 2 y 3 2 1关于直线l对称的圆的方程为 解析 设pq的垂直平分线的斜率为k 则而且pq的中点坐标是 l的方程为 y x 3 而圆心 2 3 关于直线y x 3对称的点的坐标为 0 1 对称圆的方程为 x2 y 1 2 1 答案 1x2 y 1 2 1 三 解答题 每题8分 共16分 7 已知圆n的标准方程为 x 5 2 y 6 2 a2 a 0 1 若点m 6 9 在圆上 求半径a 2 若点p 3 3 与q 5 3 有一点在圆内 另一点在圆外 求a的范围 解析 1 点m 6 9 在圆上 6 5 2 9 6 2 a2 即a2 10 又a 0 pn qn 故点p在圆外 点q在圆内 方法技巧 点m x0 y0 与圆 x a 2 y b 2 r2的关系的判断方法 把点m x0 y0 代入圆的方程 x a 2 y b 2 r2利用以下关系求解 1 x0 a 2 y0 b 2 r2 点在圆外 2 x0 a 2 y0 b 2 r2 点在圆上 3 x0 a 2 y0 b 2 r2 点在圆内