长安大学数学建模辐射井论文.doc

目录一、问题重述21.1问题的提出21.2问题的分析3二、条件假设3三、符号约定4四、辐射井的地下水降落曲线数学公式的构造44.1流态判断条件的确定44.1.1辐射流的流动特性44.1.2辐射流流动状态的判断54.1.3潜水流态的判定方法74.2最大影响半径的确定94.3辐射井地下水降落曲线的构造104.3.1辐射井地下水降落曲线图的分析104.3.2辐射井地下水降落曲线数学公式的构造11五、辐射井水量计算模型的建立145.1积分法计算辐射井水量145.2等效大井法计算辐射井水量15六、对建立公式、模型的分析检验16七、模型的优缺点及改进方法177.1模型的优缺点177.2模型的改进197.2.1改进因素的分析187.2.2利用灰色模型进行求解187.2.3利用新陈代谢GM(1, 1)模型进行求解20八、参考文献21- 21 - 一、问题重述 1.1问题的提出 辐射井是由一口大口径的竖井和自竖井内周围含水层任意方向、高程打进一层数条水平辐射管组成，地下水沿水平辐射管汇集到竖井中。竖直大井一般有两个作用：一是通过竖井，设置施工平台，开凿不同深度和不同方向上的水平辐射管；二是汇集由水平辐射管流人的地下水，并设置潜水泵将这部分地下水排至地表。辐射井横剖面图辐射井纵剖面图 辐射井具有很多优点，占用施工场地较小，出水量大等等。随着设备和工艺方法的改进，垂直大井可采用机械施工，成井效率大大提高。水跃值小，井的寿命可以延长。适应性强，辐射井能够满足深基坑大面积降水的要求适用于各种地质条件下的地下降水。现具体研究下列问题：(1) 对辐射井的地下水降落曲线（面）建立数学模型；(2) 建立辐射井水量计算模型。(3) 利用所给数据1，2，3对建立公式、模型进行分析检验。1.2问题的分析（1） 影响辐射井出水量的主要因素有辐射管数量、长度和分布、水位下降时间、渗透系数、孔隙比、井水的种类、地下水的流态等等，其中辐射管数量、长度和分布、渗透系数、孔隙比、井水种类等因素题中已经给出了确切的数据和限定，使我们构造辐射井地下水降落曲线（面）数学公式的过程中可以直接应用，随后结合辐射井工作纵剖面图及查阅到的资料，分析水流流态，分类求解以时间t、辐射管延伸距离坐标x和角度为自变量、地下水水位高度为因变量的三元函数。（2） 对我们第一问中我们构造的辐射井的地下水降落曲线（面）的数学公式进行积分，求出任意时刻含水层的剩余含水量，利用求得的含水层总的含水量减去剩余含水量，即得到辐射井的出水量。再利用所查阅的资料中有关求辐射井出水量的方法内容与我们的方法进行对比，修正不足之处，进一步使我们的方法合理正确。（3） 利用题中给出的数据1、2、3，通过计算选出具有代表性的数据，分别改变函数的自变量t、x、，对公式进行检验。二、条件假设辐射井的出水量，是设计和布置辐射井工作中所需要解决的问题之一。为了更方便更现实地对辐射井理论进行研究，我们做出下列条件假设：（1）假设潜水含水层均质，隔水底板水平，在平面上无限分布； 不考虑水和介质骨架的压缩性。（2）假设所研究辐射井为潜水完整井，无越流补给，也无入渗或蒸发。（3）假设辐射井作用范围内垂直方向的渗透性远大于水平方向的渗透性（4）假设竖井的直径3.5米。水平辐射管的长度为120米，8根辐射管均匀的分布在距隔水底板1.2米平面上，辐射管的直径为0.12米。（5）假设黄土含水层的渗透系数在(米/小时),孔隙比（含水层中空隙的体积与固体颗粒体积之比）为0.75%。（6）假设由实验已知，辐射井的地下水降落曲线在水平集水管（辐射管）延伸范围内，呈凹形的抛物线，近井处水力坡度平缓，远处陡峭。在辐射管的端点，水力坡度陡峭曲线出现凹凸拐点。在辐射管延伸范围以外，降落曲线改变成凸形的抛物线，水力坡度由陡变缓。假设的合理性分析及说明：我们假设了所研究辐射井为潜水完整井，无越流补给，也无入渗或蒸发，即限定了辐射井不受外部环境的干扰，是一个封闭的系统。并限定潜水含水层均质，隔水底板水平，在平面上无限分布；不考虑水和介质骨架的压缩性，即辐射井的结构不受排水而受到影响，是一个稳定的系统。并假设辐射井的作用范围内垂直方向的渗透性远大于水平方向的渗透性，并且对辐射井的系列数据进行了正确的、结合了实际的设定。我们假设辐射井是一个封闭稳定的系统，在理论上研究辐射井，而非研究实际辐射井，突出了辐射井的主要影响因素，忽略了次要的影响较小的因素，这样的假设是合理的、必须的、科学的。三、符号约定：辐射井的出水量：渗透系数：潜水含水层厚度：井中的水位降深：辐射井的影响半径：水力坡度四、辐射井的地下水降落曲线数学公式的构造4.1流态判断条件的确定4.1.1辐射流的流动特性地下水在自然流动过程中，以层流和缓变流的形式运动。但是，地下水像辐射井做集水流动时，由于渗透流场内的水力坡度和渗透速度增大，地下水的流动是否保持层流和缓变流的运动形式，需要进行判断。根据大量抽水实验资料的分析研究，在孔隙含水层和裂缝含水层中、抽水井作用的汇点辐射流场内，在广大的降落漏斗的范围内基本保持层流与缓变流的运动形式，但在井壁附近的地下水可能由层流转化为混合流或紊流，以及出现明显的空间流动特征。4.1.2辐射流流动状态的判断在低速流动时，液体质点互不干扰，液体的流动呈线性或层状，且平行于管道轴线；当流速大时，液体质点的运动杂乱无章，除了平行于管道轴线的运动外，还存在着剧烈的横向运动。因此，当渗透速度超过某一临界值时，地下水就由层流转变为紊流。层流和紊流是两种不同性质的流态。层流时，液体流速较低，质点受粘性制约，不能随意运动，粘性力起主导作用；但在紊流时，因液体流速较高，粘性的制约作用减弱，因而惯性力起主导作用。实验表明，液体在圆管中的流动状态不仅与管内的平均流速有关，还和管径、液体的运动粘度有关，但是真正决定液流流动状态的是用这三个数所组成的一个称为雷诺数Re的无量纲数，即 液流流动时的雷诺数若相同，则它的流动状态也相同。另一方面液流由层流转变为紊流时的雷诺数和由紊流转变为层流的雷诺数是不同的，前者称为上临界雷诺数，后者为下临界雷诺数，后者数值小，所以一般都用后者作为判别液流状态的依据，简称临界雷诺数，当液流的实际流动时的雷诺数小于临界雷诺数时，液流为层流，反之液流则为紊流。雷诺数：时间研究者雷诺数（Re）备注层流上限紊流开始完整1933林迪危特=4用沙砾做实验1940科林101946麦契斯10用六中沙做实验1955斯契尼里560用砾石做实验，其中紊流出现是以染色法直接观测得到的1959莫格10100用不同的砂砾石做实验颗粒直径采用70 毫米1961耶林等1用等粒铅球做实验，孔隙度为0.2595-0.47641961卡拉迪等530200用不等沙粒和砾石做实验1961贝尔特纳2用不等沙粒做实验1961波尔来等，水位几乎保持不变，它们对辐射井影响较小，几乎可忽略不计，对于辐射井的研究，N4、N5数据没有太大意义，计算过程中不予考虑。将数据1带入第四章求解m的公式中，计算得到此辐射流流动状态是紊流。黄土含水层的渗透系数在(米/小时)之间，我们经过多组数据实验求证，当K=0.9800时，数据误差最小，因此选取当K=0.9800时，根据我们的辐射井的地下水降落曲线（面）的数学公式，推算出N3观测孔距井底水位高度，用该推算数据与N1、N2、N3的数据进行数学计算，计算出相对误差，相对误差比较的小，且测量时间越短，相对误差越小，因此，我们构建的辐射井地下水降落曲线（面）的数学公式非常符合实际。七、模型的优缺点及改进方法7.1模型的优缺点1、虽然题设限制了辐射井的各项因素，但由于考虑到辐射流的流动状态对地下水降落曲线的影响，我们列写了辐射流流动状态的判断方法，如此一来，模型较为复杂，但是却大大提高了函数的精确度。2、通过对雷诺数的研究，分析判断了地下水流动状态，并对比使用了根据抽水试验的资料来判断潜水的流态，创新的得到了判断流态的方法，并且一目了然，比较直接可靠。3、在对最大影响半径R的研究中我们运用近似法得出计算模型，然后通过查阅到的经验公式与模型进行对比、检验，取得最优解。4、在角度系数对地下水降深曲线的影响研究中，我们把辐射管在切面的渗透效果等效为从地面到辐射管的垂直竖井的渗透效果，利用等效模型求出所需解。5、由于题设中给出的渗透系数是在(米/小时)之间取值，难以确定其最优值，只能通过大量数据的代入，减少其取值对精度的影响，得到最优解。但这种方法十分繁琐，因此我们对其进行了改进。7.2模型的改进7.2.1改进因素的分析由于之前理论推导的公式中，应该为一个定值，但在实际生活中经常在一个范围内取值，水文条件比实验室中所测出的要复杂的多，具体的取值要经过多次求最优解确定，所以对理论公式要进行优化。7.2.2利用灰色模型进行求解GM（1,1）模型可以弱化原始序列的随机性和波动性，为灰色模型提供更加有效的信息，所揭示的原始序列呈指数变化规律。设原始数据序列为：= (1), (2), , (n)，为了弱化原始序列的随机性和波动性，为灰色模型提供更加有效的信息，在建立灰色预测模型前，对原始数据进行预处理，通常采用对序列进行一次累加生成的处理方式，即 1-AGO(Accumulating Generation Operator)，记生成序列为： (k =1,2,3,n) (1)GM(1, 1)模型是由一个包含单变量的一阶微分方程构成的动态模型： (k =1,2,3,n) (2)其中是的紧邻均值生成序列，即，式(2)的白化方程（也称影子方程）为： (3)其中称为发展灰数,称为内生控制灰数,的有效区间是。应用最小二乘法求解可得： = = (4)其中 (5) =(2),(3), ,(n)T (6)求得方程的解，即时间响应函数为： (7)为确保所建灰色模型有较高的预测精度和可信程度，需要进行残差检验、关联度检验及后验差检验。1、残差检验分别求出与的残差序列、相对误差序列和平均相对误差： (8) (9) (10)2、关联度检验 (11) 称为序列与的关联度；其中是序列 与的关联系数： (12)式中被称为分辨率，一般取。根据经验，当时，关联度大于时，所建模型基本可以达到满意的预测效果12。3、后验差检验求出原始数据平均值以及残差平均值： (13) (14)求出原始数据方差、残差方差及其均方差比值和小误差概率： (15) (16)； (17)令 ， ，则 。根据灰色系统理论，通常、值越小，值越大，则模型精度越好。当发展灰数，则所建GM(1, 1)模型的一步预测精度在98%以上，2步和5步预测精度都在97%以上，可用于中长期预测8。7.2.3利用新陈代谢GM(1, 1)模型进行求解即由原始序列= , , , 建立GM(1,1)模型求得预测值，将最新信息加入序列，并去掉最老信息，称用序列= , 建立的模型为新陈代谢GM(1,1)模型。新陈代谢GM(1,1)模型在不断补充新信息的同时，及时地去掉老化信息，建模序列更能反映系统目前的特征，能更好的揭示系统的发展趋势，通常可获得较高的预测精度9。在实际建模中，原始数据序列的数据不一定全部用来建模。一般来说，取不同的数据，建立的模型也不同，即使都建立同类的GM(1,1)模型，选择不同的数据，参数,的值也不一样，因而模型的预测值也不同，它们构成一个预测灰区间。为提高预测精度，有必要建立不同维数的GM(1,1)模型，从中选取适当维数的新陈代谢GM(1,1)模型进行预测。模型的检验灰色模型是通过数据的研究分析，以