利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解

5二次函数与一元二次方程 玉门三中党永祥 1 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程 体会方程与函数之间的联系 2 理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系 理解何时方程有两个不等的实数根 两个相等的实数根和没有实数根 3 理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标 1 一元二次方程ax2 bx c 0的求根公式是什么 当b2 4ac 0时 当b2 4ac 0时 方程无实数根 2 解下列一元二次方程 1 x2 2x 0 2 x2 2x 1 0 3 x2 2x 2 0 解 1 x1 0 x2 2 2 x1 x2 1 3 没有实数根 我们已经知道 竖直上抛物体的高度h m 与运动时间t s 的关系可以用公式h 5t2 v0t h0表示 其中h0 m 是抛出点距地面的高度 v0 m s 是抛出时的速度 一个小球从地面被以40m s的速度竖直向上抛起 小球的高度h m 与运动时间t s 的关系如图所示 那么 O h m t s 12345678 8070605040302010 1 h与t的关系式是什么 2 小球经过多少秒后落地 你有几种求解方法 与同伴交流 解析 1 由图象知函数过点 0 0 与点 8 0 代入关系式h 5t2 v0t h0得h0 0 由已知可知v0 40 得h 5t2 40t 2 由图象可知小球经过8秒后落地 可以令h 0 得t 0s 舍去 或t 8s 二次函数 y x2 2x y x2 2x 1 y x2 2x 2的图象如图所示 1 每个图象与x轴有几个交点 2 一元二次方程x2 2x 0 x2 2x 1 0有几个根 解方程验证一下 一元二次方程x2 2x 2 0有根吗 3 二次函数y ax2 bx c的图象和x轴的交点的横坐标与一元二次方程ax2 bx c 0的根有什么关系 2 x1 0 x2 2 两个不相等实数根 x1 x2 1 两个相等实数根 没有实数根 解 1 每个图象与x轴的交点个数分别是2个 1个 0个 3 二次函数y ax2 bx c的图象和x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2 bx c 0的根 规律方法 二次函数y ax2 bx c的图象与x轴的交点有三种情况 有两个交点 有一个交点 没有交点 当二次函数y ax2 bx c的图象与x轴有交点时 交点的横坐标就是当y 0时自变量x的值 即一元二次方程ax2 bx c 0的根 例 利用二次函数的图象求方程x2 x 3 0的实数根 精确到0 1 x y 用你学过的一元二次方程的解法来解 准确答案是什么 方法 1 先作出y x x 3的图象 2 写出交点的坐标 1 3 0 2 3 0 3 得出方程的解 x1 1 3 x2 2 3 例题 C A 跟踪训练 3 若抛物线y ax2 bx c 当a 0 c 0时 图象与x轴的交点情况是 A 无交点B 只有一个交点C 有两个交点D 不能确定 C 4 根据下列表格的对应值 判断方程ax2 bx c 0 a 0 a b c为常数 一个解x的范围是 A 3 x 3 23B 3 23 x 3 24C 3 24 x 3 25D 3 25 x 3 26 C 6 已知二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 则一元二次方程ax2 bx c 0的解是 x1 0 x2 5 7 如果关于x的一元二次方程x2 2x m 0有两个相等的实数根 则m 此时抛物线y x2 2x m与x轴有 个交点 8 已知抛物线y x2 8x c的顶点在x轴上 则c 9 一元二次方程3x2 x 10 0的两个根是x1 2 x2 那么二次函数y 3x2 x 10与x轴的交点坐标是 和 1 1 16 0 2 0 1 崇左 中考 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示 给出下列说法 abc 0 方程ax2 bx c 0的根为x1 1 x2 3 当x 1时 y随x值的增大而减小 当y 0时 1 x 3 其中正确的说法是 A B C D O x y 1 3 1 答案 D 2 河北 中考 如图 已知抛物线y x2 bx c的对称轴为x 2 点A B均在抛物线上 且AB与x轴平行 其中点A的坐标为 0 3 则点B的坐标为 A 2 3 B 3 2 C 3 3 D 4 3 答案 D 3 汕头 中考 已知二次函数y x2 bx c的图象如图所示 它与x轴的一个交点坐标为 1 0 与y轴的交点坐标为 0 3 1 求出b c的值 并写出此二次函数的解析式 2 根据图象 写出函数值y为正数时 自变量x的取值范围 解析 1 由题意得 解得 故所求解析式为 解得 由图象可知 函数值y为正数时 自变量x的取值范围是 1 x 3 2 令 抛物线与x轴的另一个交点坐标为 3 0 4 株洲 中考 二次函数y x2 mx 3的图象与x轴的交点如图所示 根据图中信息可得到m的值是 答案 4 5 咸宁 中考 已知二次函数y x2 bx c的图象与x轴两交点的坐标分别为 m 0 3m 0 m 0 1 证明 4c 3b2 2 若该函数图象的对称轴为直线x 1 试求二次函数的最小值 由 1 得 二次函数的最小值为 4 解析 1 依题意 m 3m是一元二次方程 的两根 根据一元二次方程根与系数的 关系 得 2 依题意 1 二次