2015届5月六校数学终卷.docx

2015届苏州六校联考 数学试题 2015.51、设集合，则 2、已知复数为虚数单位，），若是纯虚数，则的值为 3、为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区名高三男生的体重. 根据抽样测量后的男生体重（单位：）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这名学生中体重值在区间56.5，64.5）的人数是 1、2、3、4、5、6、7、8、4、运行如图语句，则输出的结果 5、抛两枚骰子，得到的点数相差2的概率为 6、已知命题：“，”为假命题，则a的范围是 7、已知等差数列的首项为1，公差为2，前项和为，若()，则的值为 8、已知，若对一切实数x恒成立，则 9、一个正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，体积为，则它的表面积为_.10、如图，是圆的直径，点在圆上，则的值为 11、双曲线与抛物线相交于A、B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为 .12、已知在区间上的最大值为4，则的值为 .13、已知，则 14、已知集合，集合，若中存在元素中存在元素，使得，则实数的取值范围是 .15、（本题满分14分）在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在第二象限内，直线的倾斜角为，OB=2，设(1)用表示OA ； (2)求的最小值.16、（本题满分14分）在正三棱柱中，分别是棱的中点，点在棱上，且（1）求证：平面；（2）若，求侧棱的长17、（本题14分）为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧（如图），渠宽为4米，渠深为2米，（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面和地面平行（不改变渠宽），问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？4（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增加水渠的过水量，需把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面和地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽18、（本题16分）在平面直角坐标系xOy中，A、B分别是椭圆的左右顶点，为直线上一动点，过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D，连接PO，分别交AC和AD于E、F（1）当直线l恰好经过椭圆的右焦点和上顶点时，求t的值；（2）记直线AC、AD的斜率分别为k1和k2若，求证：为定值；求证：四边形AFBE为平行四边形19、（本题16分）设，函数（1）若，求函数的导函数的极小值；（2）若对任意给定的常数，存在，使得当时，都有，求实数k的取值范围（用t表示）20、（本题16分）已知数列满足：，其中，数列满足（1）求； （2）求数列的通项公式；（3）是否存在正数，使得数列的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出所有的 2015届苏州六校联考 数学试题答案 2015.51、-1,3 2、3 3、40 4、625 5、 6、 7、5 8、 9、10、 11、 12、-2 13、-1 14、或；15、解：在中，由正弦定理得： 6分10分14分16、解：（1）证明：取的中点，为的中点，又为的中点，在三棱柱中，分别是的中点，且，则为平行四边形，又面，面，面 7分（2）三棱柱为正三棱柱，平面平面，是棱的中点， ，且平面平面，又平面，且平面平面，又平面，在中， 14分17、18、19、（1）解：1分2分在上递减，在上递增4分的极小值为 6分（2）解：（）， 8分当时，在成立，在递增又，在成立，在递增又，在成立，不存在s 10分当时，在递减，在递增。记，在递减，又，在成立，又在成立，即当时，存在，使得在上满足14分又为任意给定的正数，16分20、解：（1）经过计算可知：.求得.4分（2）由条件可知，.类似地有.则有.即.因此 6分即故所以. 8分（3）假设存在正数，使得数列的每一项均为整数.则由（2）可知由，及可知. 10分当时，即12分，即都奇数，由得为奇数；则由得为整数，所以整数.14分当时，即， ，即都偶数，由得为偶数；则由得为整数，所以整数.故数列是整数列. 综上所述，的取值集合是.16分 2015届苏州六校联考 数学附加题试题 2015.521B、（本题满分10分）（矩阵及其变换）设矩阵是把坐标平面上的点的横坐标伸长到3倍，纵坐标伸长到2倍的伸压变换矩阵 （1）求逆矩阵；（2）求椭圆在矩阵作用下变换得到的新曲线的方程 21C、（本题满分10分）（坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆是以点为圆心，为半径的圆（1）求圆的极坐标方程；（2）求圆被直线所截得的弦长22、（本题满分10分）如图，已知三棱锥OABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=2，OB=3，OC=4，E是OC的中点（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（2）求二面角ABEC的余弦值23、（本题满分10分）若一个正实数能写成的形式，则称其为“兄弟数”求证：（1）若为“兄弟数”，则也为“兄弟数”；（2）若为“兄弟数”， 是给定的正奇数，则也为“兄弟数” 2015届苏州六校联考 数学附加题答案 2015.521B（矩阵及其变换）（1）解：（1）， 4分（2）任意选取椭圆上的一点，它在矩阵对应的变换下变为，则有，故又因为点在椭圆上，所以，即有，因此从而椭圆在的作用下的新曲线的方程为 10分21C（坐标系与参数方程）（1） （5分） （2） （10分）22、 解：（1）以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系1分则有A（0，0，2），B（3，0，0），C（0，4，0），E（0，2，0） 所以，cos 3分由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，所以，异面直线BE与AC所成角的余弦值是 4分（2），设平面ABE的法向量为，则由，得，取，6分又因为所以平面BEC的一个法向量为n2（0，0，1）， 所以 8分由于二面角ABEC的平面角是n1与n2的夹角的补角，所以，二面角ABEC的余弦值是10分若一个正实