福建省2025-2026学年九年级上学期第2次综合训练数学试卷【含答案】

page1page2福建省2025-2026学年九年级上学期第2次综合训练数学试卷考试注意事项1.

答卷前，考生务必将本人学校、班级、姓名、考号等信息准确填写在答题卡指定位置，字迹清晰、书写工整，不得遗漏或涂改。2.

回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，涂写要均匀、饱满。如需改动，须用干净的橡皮彻底擦拭干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，须使用黑色签字笔或钢笔在答题卡规定区域内作答，答案写在本试卷上或超出答题卡指定区域的均无效。3.

考试结束后，考生须将本试卷和答题卡一并整理齐全，按要求交予监考人员，严禁私自携带出考场。4.

考生应自觉遵守考场纪律，保持考场安静，严禁抄袭、传递答案等违纪行为，违纪者将按相关规定处理。一、单选题

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A. B. C. D.

2.在下列事件中，必然事件是（

）A.掷一次骰子，向上一面的点数是3B.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D.任意画一个三角形，其内角和是180

3.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边BA、CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（

）

A.12 B.1 C.2 D.3

4.如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD=80∘，则∠A.30∘ B.40∘ C.45∘ D.50∘

5.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（

）A. B.

C. D.

6.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（

）

A.23 B.12 C.16 D.18

7.小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（

）A.小星定点投篮1次，不一定能投中B.小星定点投篮1次，一定可以投中C.小星定点投篮10次，一定投中4次D.小星定点投篮4次，一定投中1次

8.如图，AB为⊙O的直径，点C、D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD、CD．若AC⌢=A.30∘ B.45∘ C.60∘ D.75∘

9.如图，点P1∼P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形PA.a<b B.a=b

C.a>b D.a，b大小无法比较

10.已知点−1,y1,1,A.y4<y2<y1 B.y4<y1<y2二、填空题

11.已知sinα=3

12.已知圆锥的高为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为___________cm

13.若关于x的一元二次方程x2−4x

14.一个暗箱中放有除颜色外其他完全相同的n个红球，18个黄球，9个白球，现将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%附近，由此可以估算的n

15.如图，将45∘的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将37∘的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为

cm.（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37∘≈

16.早在10世纪，阿拉伯著名数学家阿尔·库希(al−Kuhi)设计出一种方案，通过两个观测者异地同时观测同一颗流星来测定其发射点的高度．如图，假设有两名观测者在A，B两地观察同一颗流星S（流星与地球中心O，A，B在同一个平面内），AC，BC均为当地地平线（与圆O相切），两人观测的仰角分别为15∘，30∘．若地球半径为R，l三、解答题

17.解方程：x2

18.如图，在△ABC中，AB=AC，D,E分别是边BC,AC上两点，AF // BC交DE的延长线于点F

19.绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点O，O′(5,5)为圆心、以5（1）求叶瓣①的周长；（结果保留π）（2）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．

20.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=（1）求作点D，使四边形ABCD是矩形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在(1)的条件下，连接BD，若AB=

21.甲、乙两人玩如图所示的转盘游戏，游戏规则是：转盘被平均分为3个区域，颜色分别为黑、白、红，转动转盘时，指针指向的颜色，即为转出的颜色(如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次)．两人参与游戏，一人转动两次转盘，另一人对转出的颜色进行猜测．若转出的颜色与猜测的人描述的特征相符，则猜测的人获胜；否则，转动转盘的人获胜．猜测的方法从下面三种方案中选一种．A．猜“颜色相同”；

B．猜“一定有黑色”；

C．猜“没有黑色”．

请利用所学的概率知识回答下列问题：（1）用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果；（2）如果你是猜测的人，你将选择哪种猜测方案，才能使自己获胜的可能性最大？为什么？

22.如图，△ABC内接于⊙O，AO的延长线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作DF∥BC交⊙O于点F，连接CF（1）若CF∥AD，求证：（2）求证：点O到AB的距离等于12

23.综合与实践：【主题】音乐节最佳观赏座位

“2025莆田银河左岸音乐节”是莆田近年来最大音乐盛会．在音乐节现场，观众的观赏视角是影响体验的重要因素，观赏视角可看作观众座位与舞台两端所形成的角（称为观赏张角）．理论上当观赏张角越大时，观赏体验越好．（1）【素材】如图1，在舞台AB前方有两个观众座位C,D，那么∠ACB_______∠ADB．（用“>”、“（2）【实践探索】假设直线l分布着观众座位，在这些座位中寻找最佳观赏位置．如图2，以舞台线段AB为弦作⊙O，恰与直线l相切，切点为C．若点D是l上一个异于点C的动点，求证：当座位是切点C处时，观赏张角最大，即∠（3）【迁移应用】如图3，小红在购票时发现能购买到的票的座位所在列离舞台AB最近有4米，恰好这一列的票都还没卖出，小红准备买该列上的票，舞台AB长12米，相邻两排距离0.5米，第一排离舞台2米，则该列最佳观赏位置在第_______排（直接写出答案）．

24.已知函数y1=x2−bx+b+（1）求抛物线的解析式；（2）若a≤x≤3时，y1的取值范围：p（3）若t,h1，t,h2分别是函数y1

25.已知A，B，C是⊙O上的点，AD⊥BC，垂足为D．（1）如图1，当AD过O时，求证：AB=（2）如图2，当AD不过O时，过C作CF⊥AO延长线于F，AD交OC于E，

①求证：∠DEC=∠BAC；

②若sin∠

参考答案与试题解析一、单选题1.【答案】D【考点】轴对称与中心对称图形的识别中心对称图形轴对称图形【解析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180∘【解答】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；

故选：D．2.【答案】D【考点】事件的分类【解析】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．根据必然事件、随机事件的意义进行判断即可．【解答】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意；

B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不符合题意；

C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；

D．任意画一个三角形，其内角和是180∘，是必然事件，符合题意．

故选：D3.【答案】B【考点】与三角形中位线有关的求解问题由平行截线求相关线段的长或比值【解析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出DE是△ABC的中位线是解题关键．取格点G、H，由网格的性质可知，EG // CH，得到ADAB=AGAH【解答】解：如图，取格点G、H，

由网格的性质可知，EG // CH，

∴ADAB=AGAH=24=12，AEAC=AGAH=24=124.【答案】D【考点】直角三角形的两个锐角互余圆周角定理切线的性质【解析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出∠B=1【解答】解：∵AD⌢=AD⌢，

∴∠B=12∠AOD=40∘．

∵以AB为直径的⊙5.【答案】C【考点】作垂线(尺规作图)【解析】根据三角形外心的定义得到三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．【解答】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．

故选C．6.【答案】C【考点】列表法与树状图法【解析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下：ABCDA(((B(((C(((D(((

由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种，

故其概率为：212=16．7.【答案】A【考点】概率的意义【解析】本题主要考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，据此求解即可．【解答】解：小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，则由概率的意义可知，小星定点投篮1次，不一定能投中，故选项A正确，选项B错误；

小星定点投篮10次，不一定投中4次，故选项C错误；

小星定点投篮4次，不一定投中1次，故选项D错误

故选；A．8.【答案】B【考点】同弧或等弧所对的圆周角相等半圆（直径）所对的圆周角是直角【解析】本题考查了圆周角定理，连接AC、BC，由AB为⊙O的直径可得∠ACB=【解答】解：连接AC、BC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90∘，

∵AC⌢=BC9.【答案】A【考点】三角形三边关系利用弧、弦、圆心角的关系求解【解析】连接P1P2,P2P3，依题意得P1P2=P2P【解答】连接P1P2,P2P3，

∵点P1∼P8是⊙O的八等分点，即P1P2⌢=P2P3⌢=P3P⌢4=P4P5⌢=10.【答案】D【考点】整式加减的应用不等式的性质二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象和性质【解析】本题考查了二次函数的图象与性质，不等式的性质，作差法比较大小，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先推出函数图象开口向上，过(0,0),(−a【解答】解：∵y=x2+ax，当y=0时，x=0或x=−a

∴其开口向上，函数图象过(0,0),(−a,0)，

∵点2,y3,4,y5均在函数y=x2+ax的图象上，y3⋅y5<0，

∴2和4肯定分布在−a的左右两侧，如图所示：

∴2<−a<4，

∴−4<a<−2，

∵点−1,y1,二、填空题11.【答案】60【考点】特殊角的三角函数值的相关计算【解析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟练掌握几个特殊角的三角函数值．

根据特殊角的三角函数值解答即可．【解答】解：∵sinα=32，

∴锐角α=12.【答案】15π【考点】求圆锥侧面积【解析】首先利用勾股定理求得圆锥的底面半径，然后利用圆锥的侧面积=π×底面半径【解答】解：根据题意，圆锥的底面圆的半径=52−42=3(cm13.【答案】4【考点】根据一元二次方程根的情况求参数【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握“一元二次方程有两个相等实数根时，根的判别式Δ=0”这一性质．

先明确一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0(a【解答】解：对于一元二次方程x2−4x+a=0，其中二次项系数为1，一次项系数为−4，常数项为a，

∵方程有两个相等的实数根，

∴Δ=b2−4ac=14.【答案】33【考点】已知概率求数量【解析】直接利用频率估计概率，进而得出关于n的等式求出答案．【解答】由题意可得：1818+9+n=30%，

解得：n15.【答案】2.7【考点】特殊角的三角函数值矩形的性质等腰直角三角形的性质解直角三角形的实际应用【解析】此题暂无解析【解答】过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E,

在△BOD中，∠BDO=90∘，∠DOB=45∘，∴BD=OD=2cm,

∴CE=BD16.【答案】6【考点】切线的性质应用切线长定理求解解直角三角形的相关计算【解析】连接OC，过点S作SD⊥AB，由切线长定理即切线定理可知AC=BC，∠OAC=∠OBC=90∘，由lAB⌢=π3R=【解答】解：连接OC，过点S作SD⊥AB，

∵AC，BC均为当地地平线（与圆O相切），

∴AC=BC，∠OAC=∠OBC=90∘，

∵lAB⌢=π3R=∠AOB180∘πR，

∴∠AOB=60∘，

则由四边形AOBC的内角和为360∘，可得三、解答题17.【答案】x1=−【考点】解一元二次方程-配方法【解析】本题主要考查解一元二次方程，先将常数项移到方程右边，方程两边都加上一次项系数一半的平方，配方后再开方，得到两个一元一次方程，求解即可．【解答】解：x2+6x+2=0

移项得：x2+6x=−2，

18.【答案】见解析【考点】此题暂无考点【解析】本题考查了相似三角形的性质与判定、等边对等角、平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据等边对等角得到∠B=∠C，∠DAF=∠【解答】证明：∵AB=AC，AD=FD，

∴∠B=∠C，∠DAF=∠F，

∵AF 19.【答案】5π叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转90∘【考点】圆的有关概念求弧长根据旋转的性质求解【解析】（1）根据∠AOB=90（2）利用旋转即可．【解答】（1）解：∵以原点O，O′(5,5)为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A,B两点，

∴OA（2）解：叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转90∘20.【答案】见解析10【考点】解直角三角形的相关计算【解析】（1）分别以点A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，交于一点D，然后连接即可；（2）由题意易得BC=【解答】（1）解：如图所示，

四边形ABCD就是所求作的矩形；（2）在Rt△ABC中，

∵AB=3, tan∠BAC=13，

∴BC=21.【答案】列表见解答，共有9种等可能的结果：(黑，黑)，(黑，白)，(黑，红)，(白，黑)，(白，白)，(白，红)，(红，黑)，(红，白)，(红，红)选方案B，才能使自己获胜的可能性最大，理由见解答【考点】列表法与树状图法【解析】（1）列举出所有情况，分别得到相应的概率，比较即可；（2）应选择获胜概率最大的游戏进而得出答案．【解答】（1）

解：列表如下：

黑白红黑(黑，黑)(黑，白)(黑，红)白(白，黑)(白，白)(白，红)红(红，黑)(红，白)(红，红)

共有9种等可能的结果：(黑，黑)，(黑，白)，(黑，红)，(白，黑)，(白，白)，(白，红)，(红，黑)，(红，白)，(红，红)；

（2）

选方案B．理由如下：

∵P(A方案)=39=13，P(B方案)=59，P(22.【答案】见详解；见详解.【考点】平行四边形的性质与判定与三角形中位线有关的证明利用垂径定理求值同弧或等弧所对的圆周角相等【解析】（1）根据平行四边形的定义可判定四边形DFCE是平行四边形，由平行线的性质可得∠ADC=∠DCF.根据“同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等”可得AC⌢（2）过O点作OH⊥AB于H，连接BD，根据垂径定理可得AH=HB，再由AO=OD可得OH是△ABD的中位线，根据中位线的性质可得OH=1【解答】（1）解：∵DF∥BC，CF∥AD，

∴四边形DFCE是平行四边形，

∴DF=CE，

∵CF∥AD，

（2）

如图，过O点作OH⊥AB于H，连接BD，

∵OH⊥AB，

∴AH=HB，

又∵AO=OD，

∴OH是△ABD的中位线，

∴OH=12BD，

∵DF∥BC，23.【答案】>证明见详解13【考点】三角形的外角的定义及性质圆周角定理切线的性质相似三角形的性质与判定【解析】（1）设AD与圆交于点E，连接BE，如图所示，由同弧所对的圆周角相等得到∠ACB=∠AEB，然后由三角形外角性质确定（2）连接CA、CB、DA、DB，其中DA交⊙O于点E（3）以线段AB为弦作⊙O′，与y轴相切，切点为C，由(2)知，当座位是切点C处时，观赏张角∠ACB最大，连接CO′，并延长，交⊙O′于点D，连接AD【解答】（1）解：设AD与圆交于点E，连接BE，如图所示：

∴∠ACB=∠AEB，

∵∠AEB是△BDE的一个外角，

∴∠AEB=∠D+∠DBE，

（2）证明：连接CA、CB、DA、DB，其中DA交⊙O于点E，如图所示：

∵以舞台线段AB为弦作⊙O，恰与直线l相切，切点为C，

∴直线l与⊙O有唯一公共点C，

∴∠ACB=∠AEB，

∵∠AEB是△BDE的一个外角，

∴∠AEB（3）解：以线段AB为弦作⊙O′，与y轴相切，切点为C，如图所示：

由(2)知，当座位是切点C处时，观赏张角∠ACB最大，

连接CO′，并延长，交⊙O′于点D，连接AD，如图所示：

∵OC为⊙O′的切线，

∴CD⊥OC，

∴∠DCO=90∘，

∴∠OCA+∠DCA=90∘，

∵CD为直径，

∴∠CAD=90∘，

∴∠D+∠DCA=90∘，

∴∠D=∠OCA，

∵AC⌢=AC⌢，

∴∠D=∠ABC，

∴∠ABC=∠OCA，

∵∠AOC=∠COB=90∘，

24.【答案】ya过程见解析【考点】一次函数图象与坐标轴的交点问题二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象和性质二次函数综合——其他问题【解析】（1）求出一次函数与x轴的交点的坐标，根据对称轴公式求出b的值，从而得到抛物线的解析式．（2）根据二次函数的增减性对a进行分类讨论，研究每一类中函数最大值和最小值的情况，找到符合要求的解即可；（3）用t和n的代数式表示出h1−h2，对n进行分类讨论，结合二次函数的增减性与【解答】（1）解：令y2=0，则0=nx−2n，

变形得，n(x−2)