数学归纳法2.

2 3数学归纳法 从前 有个小孩叫万百千 他开始上学识字 第一天先生教他个 一 字 第二天先生又教了个 二 字 第三天 他想先生一定是教 三 字了 并预先在纸上划了三横 果然这天教了个 三 字 于是他得了一个结论 四 一定是四横 五 一定是五横 以此类推 从此 他不再去上学 家长发现问他为何不去上学 他自豪地说 我都会了 家长要他写出自己的名字 万百千 写名字结果可想而知 万百千 的笑话 问题情境一 小明的爸爸有四个小孩 我是一毛 我是二毛 我是三毛 我是谁 我不是四毛 我是小明 问题情境二 18世纪 伟大的瑞士科学家欧拉 Euler 却证明了 问题情境三费马猜想 考察部分对象 得到一般结论的方法 叫做不完全归纳法 不完全归纳法得到的结论不一定正确 结论 思考 如何解决不完全归纳法存在的问题呢 问题情境四 多米诺骨牌课件演示 其中道理可用于数学证明 数学归纳法 一般地 证明一个与自然数有关的命题 可按下列步骤进行 2 假设n k k n0 k N 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有自然数都成立 上述证明方法叫做数学归纳法 1 证明当n取第一个值n0时命题成立 归纳基础 归纳推理 提炼原理 得出概念 1 第一块骨牌倒下 1 当n n0时猜想成立 2 若第k块倒下时 则相邻的第k 1块也倒下 根据 1 和 2 可知不论有多少块骨牌都能全部倒下 根据 1 和 2 可知对所有的自然数n 猜想都成立 利用相似性 规范二步骤 例题分析 例1用数学归纳法证明 证明 1 当n 1时 左边 1 右边 1 等式成立 2 假设当时 等式成立 就是 那么 这就是说 当n k 1时 等式也成立 由 1 和 2 可知的等式对任何都成立 要证明的目标是 1 3 5 2k 1 2 k 1 1 k 1 2 例2 用数学归纳法证明 如果 an 是一个等差数列 则an a1 n 1 d对于一切n N 都成立 用数学归纳法证明命题的步骤 1 证明 当n取第一个值n0结论正确 2 假设当n k k N 且k n0 时结论正确 证明当n k 1时结论也正确 由 1 2 可知 命题对于从n0开始的所有正整数n都正确 评析 分析下列各题用数学归纳法证明过程中的错误 练习 这就是说 当n k 1时 命题也成立 没有用上 假设 故此法不是数学归纳法 请修改为数学归纳法 证明 当n 1时 左边 假设n k k N 时原等式成立 即 此时 原等式成立 那么n k 1时 由 知 对一切正整数n 原等式均正确 证明 当n 1时 左边 这才是数学归纳法 假设n k k N 时原等式成立 即 右边 此时 原等式成立 那么n k 1时 这就是说 当n k 1时 命题也成立 由 知 对一切正整数n 原等式均正确 练习2 B n 2 n N 过程中 由 n k 变到 n k 1 时 不等式左边的变化是 1 用数学归纳法证 D 练习3 练习4 求证 证明 一 数学归纳法适用范围 某些与正整数有关的数学命题 五 小结 二 用数学归纳法证明命题的步骤 1 证明 当n取第一个值n0结论正确 2 假设当n k k N 且k n0 时结论正确 证明当n k 1时结论也正确 由 1 2 可知 命题对于从n0开始的所有正整数n都正确 数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 数学归纳法是一种完全归纳法 它是在可靠的基础上 利用命题自身具有的传递性 运用 有限 的手段 来解决 无限 的问题 它