单项式乘法.doc

单项式乘法【知识点】单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式【例题】例1：计算7a3bx(a2cx2y)解： 7a3bx(a2cx2y)=7()(a3a2)bc(xx2)y=a5bcx3y说明：做两个单项式相乘，初学必须按法则一步步来做，熟练后才能省略中间步骤。另外做题要仔细，不要遗漏项。例2：计算(3a2b)(a2bc)4ab2 解：(3a2b)(a2bc)4ab2=(3)(1)4(a2a2a)(bbb2)c =12a5b4c 说明：三个以上的单项式相乘，仍可利用单项式乘法法则。另外注意系数1不要漏乘例3：计算：（m, n为正整数） (1) anx2(an+1x4)2 (2) (3an+1)2anb (3) bn+1cn+2bn+1cn+1 (4) (2xmyn)2(x2y)3(3xy2) 解：(1) anx2(an+1x4)2= anx2(a2n+2x8)=a3n+2x10 (2) (3an+1)2anb=(9a2n+2)anb=a3n+2b (3) bn+1cn+2bn+1cn+1=(bn+1bn+1)(cn+2cn+1)=b2n+2c2n+3 (4) (2xmyn)2(x2y)3(3xy2)=(4x2my2n)(x6y3)(3xy2) =12x2m+7y2n+5说明：根据混合运算法则，一个式子有乘方运算又有乘法运算的，应先算乘方，再做乘法，若几个单项式的系数都为1，系数可省略不乘。 例4：计算，把结果用科学记数法表示： (1) (4.2106)(3106) (2) (5.5107)(4103)解：(1) (4.2106)(3106)=12.61012=1.26101012=1.261013 (2) (5.5107)(4103)=221010=2.2101010=2.21011例5：计算(1) 2(x+y)23(x+y)4 (2) (x+y)2(xy)3(xy)3(yx)2解：(1) 2(x+y)23(x+y)4=6(x+y)6 (2)(x+y)2(xy)3(xy)3(yx)2 =(x+y)2(x+y)3(xy)3(xy)2 =(x+y)2(x+y)3)(xy)3(xy)2=(x+y)5(xy)5单项式与多项式相乘【知识点】单项式乘以多项式，是通过乘法分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式的每一项去乘多项式的每一项，再把所得的积相加【例题】例1：计算(a2b)(ab2ab+b)解：(a2b)(ab2ab+b)= (a2b) (ab2)+(a2b) (ab )+(a2b)( b) =a3b3+a3b2a2b2注意：在与单项式相乘时，不要漏乘符号，可把单项式与多项式各项相乘的结果，用“+”连结，最后写成省略加号的代数和的形式例2：计算 (1) a2b23ab(a+b)5a(abb2) (2) 4a(ab+b2)+5ab(a21)解：(1) a2b23ab(a+b)5a(abb2)= a2b23a2b+3ab2+(5a)ab+(5a)(b2) =a2b23a2b+3ab25a2b+5ab2 =a2b22a2b+8ab2 =a2b2(2a2b)+ a2b28ab2 =a4b3+2a3b4(2) 4a(a2b+b2)+5ab(a21)=(4a)a2b+(4a)b2+5aba25ab =2a3b4ab2+5a3b5ab =3a3b4ab25ab 注意：在混合运算中，要注意运算顺序及去括号原则例3 已知：ab2=6,求ab(a2b5ab3b)的值 解：由ab2=6则ab(a2b5ab3b)=aba2b5+(ab)(ab3)+(ab)(b) =a3b6+a2b4+ab2 =(ab2)3+(ab2)2+ab2 =(6)3+(6)6+(6) =216+366 =246多项式的乘法【知识点】多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。注意：1多项式与多项式相乘，要防止漏项，检查方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积2多项式相乘的结果应注意合并同类项3 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab (a, b作为常数)【例题】例1：计算(2a5b)(2a23ab+b2)分析：按法则先用2a与第二个多项式中的各项分别相乘，再用5b与第二个多项式中的各项分别相乘解：(2a5b)(2a23ab+b2)=2a2a2+2a(3ab)+2ab25b2a25b(3ab)5bb2=4a36a2b+2ab25a2b+15ab25b3=4a311a2b+17ab25b3例2：计算 (1) (x+1)(x+2) (2) (x1)(x+3) (3) (x4)(x6) (4) (x+3)(x2)分析：利用(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab来计算解：(1) (x+1)(x+2)=x2+(1+2)x+12=x2+3x+2(2) (x1)(x+3)=x2+(1+3)x+(1)3=x2+2x3(3) (x4)(x6)=x2+(46)x+(4)(6)=x210x+24(4) (x+3)(x2)=x2+(32)x+3(2)=x2+x6例3：计算 7x2(x2)(3x+1)2(x+1)(x5)解：7x2(x2)(3x+1)2(x+1)(x5)=7x2(3x26x+x2)2(x2+x5x5) =7x2(3x25x2)(2x28x10) =7x23x2+5x+22x2+8x+10 =2x2+13x+12例4：若不论x取何值，多项式x32x24x1与(x+1)(x2+mx+n)都相等,求m, n分析：两个式子相等，对应项的系数应分别相等解：由题意可知x32x24x1=(x+1)(x2+mx+n) x32x24x1=x3+mx2+nx+x2+mx+n x32x24x1=x3+(m+1)x2+(m+n)x+n即 例5：求出使(x2+px+8)(x23x+q)的积中不含x2和x3项的p, q的值提示：求出(x2+px+8)与(x23x+q)的积，由于x2与x3项的系数为零，可求出p, q的值 平方差公式【知识点】 对于一些具有特殊形式的多项式乘法，我们可以把结果写成公式加以熟记： 平方差公式：(a+b)(ab)=a2b2 即:两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差注：（1）(a+b)(ab)也可以写为(ab)(a+b)（2）公式中的a, b可表示一个数、一个单项式、一个多项式，若表示分数、多项式时要加括号【例题】例1运用平方差公式计算 (1)(2x+y)(2xy) (2) (a3b)(a+3b) (3)(x+y)(xy) (4)(7x2y)( 7x2+y) (5) (m+4n) (m4n)解：(1)(2x+y)(2xy)=(2x)2y2=4x2y2 (2) (a3b)(a+3b)=a2(3b)2=a29b2 (3)(x+y)(xy)=(x)2y2=x2y2 (4)(7x2y)( 7x2+y)= (7x2)2(y)2=49x4y2(5) (m+4n) (m4n)= (m)2(4n)2=m216n2注：首先观察式子是否符合公式，即是不是两个二项式的积，再看看若其中一个二项式是两数和，另一个二项式是这两数的差，才能运用公式。例2 计算 (1)(x3)(x2+9)(x+3) (2)(x)(x2+)(x+)(x4+)解：(1)(x3)(x2+9)(x+3)= (x3) (x+3) (x2+9)= (x29) (x2+9)=x481 (2)(x)(x2+)(x+)(x4+) =(x) (x+)(x2+) (x4+) =(x2)(x2+)(x4+) =(x4)(x4+)=x8例3 利用平方差公式计算 (1)10298 (2) 49.750.3解：(1)10298=(100+2)(1002)=100222=100004=9996 (2) 49.750.3=(500.3)(50+0.3)=5020.32=25000.09=2499.91例4 利用平方差公式计算 3(a2b)(a+b) 解： 3(a2b)(a+b)= 3(a+b) (a2b)= (a+2b) (a2b)=a24b2完全平方公式【知识点】完全平方公式: (a+b)2=a2+2ab+b2 (ab)2=a22ab+b2即: 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们的积的两倍。也可以写为: (ab)2=a22ab+b2【例题】例1计算： (1) (x+2y)2 (2)(m2)2 (3)(a3b)2 (4) (xy)2解：(1) (x+2y)2=x2+2x2y+(2y)2=x2+4xy+4y2 (2)(m2)2=(m2)22m2+()2=m4m2+ (3)(a3b)2=(a)22(a)3b+(3b)2=a22ab+9b2 (4) (xy)2=(x)22(x)y+(y)2=x2+2xy+y2 或：(xy)2=(x+y)2=(x+y)2= x2+2xy+y2例2计算： (1) (3a2b+)2 (2) (x2x+2)2分析：括号中是3项，可以把其中两项的和看作一个整体，再运用完全平方公式解：(1) (3a2b+)2=(3a2b)+ 2 =(3a2b)2+2 (3a2b)+()2 =9a212ab+4b2+2ab+ (2) (x2x+2)2=x2(x2)2 =(x2)22x2(x2)+(x2)2 =x42x3+4x2+x24x+4 = x42x3+5x24x+4例3计算：(x+yz)(xy+z)解：(x+yz)(xy+z)=x+(yz)x(yz) =x2(yz)2 =x2(y22yx+z2) = x2y2+2yxz2例4 已知：a2+b2+c2=ab+bc+ac，求证a=b=c证明：由 a2+b2+c2=ab+bc+ac 可得 2（a2+b2+c2）=2（ab+bc+ac）即 2 a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac (a22ab+b2)+(b22bc+c2)+(a22ac+c2)=0 (ab)2+(bc)2+(ac)2=0 因为 (ab)20， (bc)20， (ac)20 所以 ab=bc=ac=0 即 a=b=c同底数幂的除法【知识点】1同底数幂的除法法则：同底数幂的相除，底数不变，指数相减，即 2零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即 a0=1 (a0)3负整数指数幂：任何不等于0的数的p(p是正整数)次幂、等于这个数的p次幂的倒数，即a=( a0, p是正整数)【例题】例1 计算：(1)y3n+1yn+1(n是正整数) (2) (ab)4(ab)(3) (3x+2y)32(3x+2y)4 (4) (a2b)42(a2b)32分析：第（3）、（4）题应先做乘方，再做除法解：(1)y3n+1yn+1=y3n+1(n+1)=y2n(2) (ab)4(ab)=(ab)41=(ab)3=a3b3(3) (3x+2y)32(3x+2y)4=(3x+2y)6(3x+2y)4=(3x+2y)64=(3x2y)2=9x212xy+4y2(4) (a2b)42(a2b)32=(a2b)8(a2b)6=(a2b)86=(a2b)2=a24ab+4b2例2计算： （x2n2）(x)5xn+1xn(x)分析：题中有乘法运算、除法运算、乘法运算，按有理数混合运算的法则，应先乘方，再乘除，乘除法按从左到右的顺序进行，若有括号可先去括号解：（x2n2）(x)5xn+1xn(x) =(x2n2)(x5)xn+1+n+1 =x2n2+5(x2n+2) =x2n+3(2n+2) =x例3用科学记数法表示下列个数(1) 56000000 (2) 0.0067 (3) 0.000000123 (4) 0.0075解：(1) 56000000=5.6107 (2)0.0067=6.7103 (3) 0.000000123 =1.23107 (4)0.0075=7.5103注： 用科学记数法把一个数表示成a10n(1a10)的形式，注意a的范围，另外绝对值小于1的数用科学记数法时，小数点向右移, a的范围仍为1an)【例题】例1计算 (1) (16a324a2+8a)8a (2) (21xy37x2y2+28x3y)(7xy)解：(1) 原式=16a38a24a28a+8a8a =2a23a+1 (2) 原式=21xy3(7xy) 7x2y2(7xy) +28x3y(7xy) =3y2+xy4x2说明：对于这类题我们可以根据乘法与除法互为逆运算来进行验算，即将商与除数相乘，看是否等于被除数例2计算 (1) (axm+3bxm+1+cxm)(xm) (m是正整数) (2) 3(x+y)4(x+y)2xy(x+y)解：(1) 原式= axm+3(xm)bxm+1(xm)+cxm(xm) =ax3+bxc (2) 原式=3(x+y)4(x+y)2(x+y)