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1号教室带电粒子在复合场中的运动专题模块一：带电粒子在组合场中的运动复杂问题分解成一个一个简单、熟悉的问题来求解，对于由几个阶段共同组成的运动还应注意衔接处的运动状态例1、如图所示，aa、bb、cc、dd为区域、的竖直边界，三个区域的宽度相同，长度足够大，区域、内分别存在垂直纸面向外和向里的匀强磁场，区域存在竖直向下的匀强电场.一群速率不同的带正电的某种粒子，从边界aa上的O处，沿着与Oa成30角的方向射入区，速率小于某一值的粒子在区内运动时间均为t0;速率为v0的粒子在区运动后进入区.已知区的磁感应强度大小为B，区的电场强度大小为2Bv0，不计粒子重力.求:(1) 该种粒子的比荷.(2) 区域的宽度d.(3) 速率为v0的粒子在区内运动的初、末位置间的电势差U.(4) 要使速率为v0的粒子进入区后能返回到区，则区的磁感应强度B的大小范围应为多少?思维轨迹:(1) 速率小于某一值的粒子在区内运动时间均为t0粒子从aa上的O点进入磁场后再从aa离开磁场作出粒子在区域中运动的轨迹，找出圆心角根据t=求出比荷(2) 速率为v0的粒子在区运动后进入区得出粒子在区运动的圆心角作出粒子在区域中运动的轨迹由几何知识求解区域的宽度d(3) 速率为v0的粒子在区做类平抛运动用运动合成与分解的知识求出侧向位移或沿电场方向的分速度应用公式U=Ed或动能定理求出电势差(4) 作出粒子进入区后运动轨迹与dd相切的临界情形应用几何知识求出圆弧半径根据洛伦兹力提供向心力求出B的临界值解析:(1) 速率小于某一值的粒子在区域中运动时间均为t0，这些粒子不能从bb离开区域，其轨迹如图甲所示(图中只画出某一速率粒子的轨迹).粒子运动轨迹的圆心角为1=300.t0=T=T.由牛顿第二定律得qvB=.T=.得粒子的比荷=.(2) 设速率为v0的粒子在区域内运动轨迹所对的圆心角为2，2=1=60.由几何知识可知，此粒子穿出bb时速度方向与bb垂直，其轨迹如图乙所示，设轨迹半径为R0，d=R0sin 2.又R0=.区域的宽度d=.(3) 设速率为v0的粒子离开区域时的速度大小为v1，方向与边界cc的夹角为3.在区域内，水平方向有d=v0t，竖直方向有vy=at.a=.tan 3=.解得vy=v0.v1=2v0，3=30.由动能定理得qU=m-m.解得U=.(4) 速率为v0的粒子在区域内做圆周运动，当区内的磁感应强度为B1时，粒子恰好不能从区域的边界dd飞出，设其轨迹半径为r，则r(1+cos 3)=d.r=，解得B1=B.所以，粒子能返回区，B的大小范围为BB.答案:(1) (2) (3) (4) BB变式训练1、如图所示，在xOy平面内，y轴与MN边界之间有沿x轴负方向的匀强电场，y轴左侧和MN边界右侧的空间有垂直纸面向里、磁感应强度大小相等的匀强磁场，MN边界与y轴平行且间距保持不变.一质量为m、电荷量为-q的粒子以速度v0从坐标原点O沿x轴负方向射入磁场，每次经过磁场的时间均为t0，不计粒子重力.(1) 求磁感应强度B的大小. (2) 若t=5t0时粒子回到原点O，求电场区域的宽度d和此时的电场强度E0.(3) 若带电粒子能够回到原点O，则电场强度E应满足什么条件?解析:(1) 粒子在磁场中做圆周运动的周期T=.粒子每次经过磁场的时间为半个周期，则T=2t0.解得B=.(2) 粒子t=5t0时回到原点，轨迹如图所示，由几何关系有r2=2r1.由向心力公式有qBv0=.qBv2=.电场宽度d=t0，解得d=t0.又v2=v0+t0，解得E0=.(3) 如图所示，由几何关系可知，要使粒子经过原点，则应满足n(2r2-2r1)=2r1(n=1，2，3，).由向心力公式有qBv2=.解得v2=v0.根据动能定理有qEd=mv-m.解得E=(n=1，2，3，).答案:(1) (2) (3) E=(n=1，2，3，)变式训练2如图所示，在第一象限存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面(xOy平面)向外;在第四象限存在匀强电场，方向沿x轴负方向.在y轴正半轴上的某点以与x轴平行、大小为v0的速度向第一象限发射出一带正电的粒子，该粒子在(d，0)点沿垂直于x轴的方向进入电场.不计粒子重力.若该粒子离开电场时速度方向与y轴负方向的夹角为，求:(1) 电场强度大小与磁感应强度大小的比值.(2) 该粒子在电场中的运动时间.解析: (1) 如图所示，粒子进入磁场后做匀速圆周运动.设磁感应强度的大小为B，粒子质量与所带电荷量分别为m和q，圆周运动的半径为R0.由洛伦兹力公式及牛顿第二定律得qv0B=m.由题给条件和几何关系可知R0=d.设电场强度大小为E，粒子进入电场后沿x轴负方向的加速度大小为ax，在电场中运动的时间为t，离开电场时沿x轴负方向的速度大小为vx.由牛顿运动定律及运动学公式得Eq=max，vx=at，t=d.由于粒子在电场中做类平抛运动，有tan =.联立上式得=v0tan2 .(2) 联立t=d和tan =得t=.答案: (1) v0tan2(2) 模块二、带电粒子在复合场中的运动带电粒子在复合场中运动的分析方法:例2、如图甲所示的竖直平面内，存在范围足够大的匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向外，电场强度大小为E，方向竖直向下，另有一个质量为m、带电荷量为q(q0)的小球，设B、E、q、m、和g为已知量(考虑重力).(1) 若小球射入此复合场恰好做匀速直线运动，求速度v1的大小和方向.(2) 若直角坐标系第一象限固定放置一个光滑的绝缘斜面，其倾角为，如图乙所示，设斜面足够长，从斜面的最高点A由静止释放小球，求小球滑离斜面时的速度v的大小以及在斜面上运动的时间t.(3) 在(2)问基础上，重新调整小球释放的位置，使小球到达斜面底端O恰好对斜面的压力为零，小球离开斜面后的运动是比较复杂的摆线运动，可以看做一个匀速直线运动和一个匀速圆周运动的叠加，求小球离开斜面后的运动过程中速度的最大值vm及所在位置的坐标.思维轨迹:(1) 抓住小球所受重力、电场力和洛伦兹力平衡，求出小球的速度大小和方向;(2) 小球未离开斜面时，受重力、支持力、电场力、洛伦兹力，在沿斜面方向上的合力不变，做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律求解加速度，根据运动学公式求解时间;(3) 将小球的速度分解为水平向左的速度v1和另一个分速度v2，则一个分运动是速度为v1的匀速直线运动，另一个分运动是速率为v2的匀速圆周运动，实际运动是两个分运动的合运动.解析:(1) 小球的重力向下，电场力向下，则洛伦兹力方向向上，根据左手定则知，小球的速度方向水平向左，根据共点力平衡得mg+qE=qv1B，解得v1=.(2) 当小球所受的支持力为零时，小球脱离斜面，有qvB=(mg+qE)cos .解得v=.未离开斜面时，受重力、支持力、电场力、洛伦兹力，在沿斜面方向上的合力不变，做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律得a=.则在斜面上运动的时间t=.(3) 将小球的速度分解为水平向左速度v1和另一个分速度v2，则一个分运动是速度为v1的匀速直线运动，另一个分运动是速度为v2的匀速圆周运动.根据平行四边形定则，结合余弦定理，有v2=sin .对于匀速圆周运动的分运动，是顺时针的圆周运动，轨道半径为R=.周期为T=.小球每次到达圆周运动的最低点时，两个分速度同向，合速度最大，为vm=v1+v2.解得vm=+sin =.小球从离开斜面到第一次到达最低点过程，转过的角度为+，故竖直分位移为y1=-(Rsin +R)=-(1+sin )=-.经过的时间为t1=.故合运动的水平分位移为xn=-Rcos +v1(t1+nT).xn=-(n=0，1，2，).竖直分位移为yn=y1=-(n=0，1，2，).答案:(1) ，方向水平向左(2) (3) vm=yn=-(n=0，1，2，)xn=- (n=0，1，2，)变式训练3如图所示，在无限长的竖直边界NS和MT间充满匀强电场，且该区域上、下部分的磁场方向分别为垂直于NSTM平面向外和向内，磁感应强度大小分别为B和2B，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT的边界上，距KL高h处分别有P、Q两点，NS和MT间距为1.8h.现有一质量为m、带电荷量为+q的粒子从P点垂直于NS边界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为g.(1) 求电场强度的大小和方向.(2) 要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最小值.(3) 若粒子能经过Q点从MT边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值.解析: (1) 设电场强度大小为E，由题意可知mg=qE，得E=，方向竖直向上.(2) 如图甲所示，设粒子不从NS边飞出的入射速度最小值为vmin，对应的粒子在上、下区域的运动半径分别为r1和r2，两圆心的连线与NS的夹角为.由r=，有r1=，r2=r1.由(r1+r2)sin =r2，r1+r1cos =h，解得vmin=(9-6). 甲 乙(3) 如图乙所示，设粒子入射速度为v，粒子在上、下两区域的运动半径分别为r1和r2，粒子第一次通过KL时距离K点为x.由题意知3nx=1.8h(n=1，2，3，).xr2=.x=.得r1=，解得n3.5.即n=1时，v=;n=2时，v=;n=3时，v=.答案: (1) 方向竖直向上(2) (3) 可能的速度有三个为、带电粒子在复合场中的实际应用速度选择器、回旋加速器、质谱仪、电磁流量计例4、回旋加速器是用来加速带电粒子的装置，图中为回旋加速器的示意图.D1、D2是两个中空的铝制半圆形金属扁平盒，在两个D形盒正中间开有一条狭缝，两个D形盒接在高频交流电源上.在D1盒中心A处有一粒子源，产生的带正电粒子在两盒之间被电场加速后进入D2盒中.两个D形盒处于与盒面垂直的匀强磁场中，带电粒子在磁场力的作用下做匀速圆周运动，经过半个圆周后，再次到达两盒间的狭缝，控制交流电源的电压周期，保证带电粒子每经过狭缝时都可以被加速.如此，粒子在做圆周运动的过程中一次一次地经过狭缝，一次一次地被加速，速度越来越大，运动半径也越来越大，最后到达D形盒的边缘，沿切线方向以最大速度被导出.已知带电粒子的电荷量为q，质量为m，加速瞬间狭缝间电压大小恒为U，磁场的磁感应强度为B，D形盒的半径为R，狭缝之间的距离为d.设粒子源产生的带电粒子初速度为零，不计粒子的重力.求:(1) 带电粒子能达到的最大动能Ek.(2) 带电粒子在D2盒中第n个半圆的半径.(3) 若带电粒子束从回旋加速器输出时形成的等效电流为I，求从回旋加速器输出的带电粒子的平均功率 .思维轨迹:解析:(1) 带电粒子在D形盒内做圆周运动，轨道半径达到最大时被引出，此时带电粒子具有最大动能Ek，设粒子从D形盒边缘离开时的最大速度为vm.依据牛顿第二定律Bqvm=m.所以带电粒子能达到的最大动能Ek=m=.(2) 带电粒子在D2盒中第n个半圆是带电粒子经过窄缝被加速(2n-1)次后的运动轨道，设其被加速(2n-1)次后的速度为vn，由动能定理得 (2n-1)qU=m.此后带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，半径为rn，由牛顿第二定律得Bqvn=m，则rn=.(3) 设在时间t内离开加速器的带电粒子数为N，则正离子束从回旋加速器输出时形成的等效电流I=，解得N=.带电粒子从回旋加速器输出时的平均功率=.答案:(1) (2) (3) 变式训练5质谱仪是一种分析同位素的重要工具，它的构造原理如图所示.离子源S产生质量为m、电荷量为q的钾离子，离子出来时速度很小，可视为零.当离子经过电势差为U的电场加速后，沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场，经半圆周到达照相底片上的P点.(1) 求粒子进入磁场时的速度v0.(2) 求P点到入口S1的距离x.(3) 在实验过程中由于仪器不完善，加速电压在平均值U附近变化的范围为U，求需要以多大的相对精确度来维持加速电压值，才能使同位素钾39、钾41在照相底片上不发生覆盖.解析:(1) 电场加速qU=m-0，解得速度v0=.(2) 磁场偏转qv0B=，轨道半径R=.P点到S1的距离x=2R=.(3) 设钾39、钾41的质量分别为m1、m2，根据(2)问轨道半径R=得钾39在磁场中的最大半径R1max=.钾41在磁场中的最小半径R2min=.由题意知R1maxR2min，即m1(U+U)m2(U-U).=2.5%.答案:(1) (2) 模块三、带电粒子在周期性变化的电磁场中运动的问题解决这类问题首先要注意交变电场和交变磁场的特点，弄清在各个过程中受到哪些力的作用，带电粒子在周期性变化的电场或磁场中处于何种状态、做什么运动，确定带电粒子的运动过程，然后选择物理原理和规律按运动过程列式求解.解题步骤如下:例3如图所示，在xOy平面内存在均匀、大小随时间周期性变化的磁场和电场，变化规律分别如图乙、丙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向、沿y轴正方向的电场强度为正).在t=0时刻由原点O发射初速度大小为v0，方向沿y轴正方向的带负电粒子.已知v0、t0、B0，粒子的比荷为，不计粒子的重力.求:(1) 当t=t0时，求粒子的位置坐标.(2) 若t=5t0时粒子回到原点，求05t0时间内粒子距x轴的最大距离.(3) 若粒子能够回到原点，求满足条件的所有E0值.思维轨迹:解析:(1) 由粒子的比荷=，则粒子做圆周运动的周期T=2t0.则在0t0内转过的圆心角=.由牛顿第二定律qv0B=m，得r1=，位置坐标.(2) 粒子在t=5t0时回到原点，轨迹如图所示，r2=2r1，r1=，r2=，得v2=2v0.又=，r2=.粒子在t02t0时间内做匀加速直线运动， 2t03t0时间内做匀速圆周运动，则在5t0时间内粒子距x轴的最大距离hm=t0+r2=v0t0.(3) 如图所示，设带电粒子在x轴上方做圆周运动的轨道半径为r1，在x轴下方做圆周运动的轨道半径为r2，由几何关系可知，要使粒子经过原点，则必须满足n(2r2-2r1)=2r1(n=1，2，3，).r1=，r2=，联立以上方程解得v=v0.又由于v=v0+，得E0=(n=1，2，3，).答案:(1) (2) v0t0(3) E0=(n=1，2，3，)变式训练4如图甲所示，在光滑绝缘的水平桌面上建立xOy坐标系，平面处在周期性变化的电场和磁场中，电场和磁场的变化规律如图乙所示(规定沿+y方向为电场强度的正方向，竖直向下为磁感应强度的正方向).在t=0时刻，一质量为10 g、电荷量为0.1 C的带电金属小球自坐标原点O处以v0=2 m/s 的速度沿x轴正方向射出.已知E0=0.2 N/C，B0=0.2T.求:(1) t=1 s末金属小球的速度大小和方向.(2) 12 s内，金属小球在磁场中做圆周运动的半径和周期.(3) 06 s内金属小球运动至离x轴最远点的位置坐标.解析:(1) 在01 s内，金属小球在电场力作用下，在x轴方向上做匀速运动vx=v0.y轴方向上做匀加速运动vy=t1.1 s末金属小球的速度v1=2 m/s.设v1与x轴正方向的夹角为，则tan =，=45.(2) 在12 s内，金属小球在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律有qv1B0=，得R1= m.金属小球做圆周运动的周期T=1 s.(3) 金属小球的运动轨迹如图所示.5 s末金属小球的坐标为x=v0t=6 m，y=9 m.此时金属小球沿y轴方向的速度vy=6 m/s.合速度大小为v=2 m/s.第6 s内金属小球做圆周运动的半径r= m.带电金属小球在第6 s内做圆周运动的轨迹如图所示.其中sin =，cos =.第6 s内金属小球运动至离x轴最远点的坐标为X=x-rsin =m，Y=y+r(1+cos )=m.答案:(1) 2 m/s与x轴正方向成45角(2) R1= mT=1 s(3) 最远点的坐标为知识梳理台：一、 两种场的模型及三种场力1. 两种场模型(1) 组合场模型:电场、磁场、重力场(或其中两种场)并存，但各位于一定区域，并且互不重叠.(2) 复合场模型:电场、磁场、重力场(或其中两种场)并存于同一区域.2. 三种场力(1) 重力:G=mg，总是竖直向下，为恒力，做功只取决于初末位置的高度差.(2) 电场力:F=qE，方向与场强方向及电荷电性有关，做功只取决于初末位置的电势差.(3) 洛伦兹力:F洛=qvB(vB)，方向用左手定则判定，洛伦兹力永不做功.二、 带电粒子的运动1. 匀速直线运动当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，带电粒子做匀速直线运动.如速度选择器.2. 匀速圆周运动当带电粒子所受的重力与静电力平衡时，带电粒子可以在洛伦兹力的作用下，在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动.3. 较复杂的曲线运动当带电粒子所受的合外力是变力，且与速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹不是圆弧，也不是抛物线.4. 分阶段运动带电粒子可能依次通过几个性质不同的复合场区域，其运动情况随区域情况发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成巩固性题组：1. (2014常州调研)如图所示，两导体板水平放置，两板间电势差为U，一带电粒子以某一初速度v0沿平行于两板的方向从两板正中间射入，穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场，则粒子射入磁场和射出磁场的M、N两点的距离d随着U和v0的变化情况为()A. d随v0的增大而增大，d与U无关B. d随v0的增大而增大，d随U的增大而增大C. d随U的增大而增大，d与v0无关D. d随v0的增大而增大，d随U的增大而减小解析:设粒子从M点进入磁场时的速度大小为v，该速度与水平方向的夹角为，故有v=.粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r=.而MN之间的距离d=2rcos .联立解得d=，故选项A正确.答案:A2. (2014淮安模拟)如图所示，空间中有沿-z方向的匀强电场，沿+y方向的匀强磁场，沿-y方向的重力场.有一带电粒子以初速度v沿+x方向射入，则粒子可能做()A. 匀速直线运动B. 匀速圆周运动C. 匀变速直线运动D. 匀变速曲线运动解析:假如粒子带正电，则粒子受到沿-y方向的重力，沿+z方向的洛伦兹力，沿-z方向的电场力，三个力无论如何不