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文档简介
3 1 4空间向量的正交分解及其坐标表示 学习目标 掌握空间向量的分解 1 在空间四边形abcd中 已知ab cd ac bd 求证 ad bc 复习巩固 2 在正四面体oabc中 e f分别是ab oc的中点 求异面直线oe与bf所成的角的余弦值 3 如图 在空间四边形oabc中 oa 8 ab 6 ac 4 bc 5 oac 45 oab 60 求oa与bc的夹角的余弦值 8 6 4 5 复习引入 1 平面向量基本定理是什么 2 平面向量的坐标表示的基本原理是什么 3 根据平面向量基本定理 平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a b来表示 我们设想将这个原理类推到空间 并建立空间向量基本定理及其坐标表示 设a b c是空间不共面的三个向量 作a b c p 过点p作pm co 交平面aob于点m o a b c p m 空间向量基本定理 空间向量基本定理 空间任意三个不共面的向量都能构成空间的一个基底 以 a b c 为基底 空间所有向量组成的集合为 空间向量的坐标表示 若空间向量的一个基底中的三个基向量互相垂直 则称这个基底为正交基底 若三个基向量是互相垂直的单位向量 则称这个基底为单位正交基底 特别地 设e1 e2 e3为有公共起点o的单位正交基底 分别以e1 e2 e3的方向为x轴 y轴 z轴的正方向建立空间直角坐标系oxyz 对于空间任意一个向量p 用基底 e1 e2 e3 可以怎样表示 z x x k 若p xe1 ye2 ze3 则把x y z称为向量p在单位正交基底e1 e2 e3下的坐标 记作p x y z 对一个给定的向量p 其坐标惟一吗 相等向量的坐标相等吗 若向量p x y z 作 则点p的坐标是什么 x y z 例题讲解 例1如图 点m n分别是四面体oabc的边oa bc的中点 p q是mn的三等分点 用向量 表示和 例2在平行六面体abcd a1b1c1d1中 m n分别是cd1 c1d1的中点 用基底分别表示向量和 小结作业 1 空间向量基本定理表明 空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量线性表示 并且基向量的系数是惟一的 它是平面向量基本定理的推广 也是空间向量的合成与分解原理 2 把空间向量放到空间直角坐标系中进行研究 向
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