4.3向量组的最大无关组 1 ppt课件

线性相关的充要条件 存在不全为零的数x1 x2 xm使得x1 1 x2 2 xm m 0 1 2 m线性相关 AX 0有非零解 其中A 1 2 m 1 2 m中至少有一个向量可由其余m 1个向量线性表出 若x1 1 x2 2 xm m 0 1 2 m线性无关 AX 0只有零解 其中A 1 2 m 1 2 m中任一个向量都不能由其余m 1个向量线性表出 则必有x1 x2 xm 0 线性无关的充要条件 定义 1 2 r 1 2 s 等价关系有性质 2 对称性 与 等价 则 与 等价 1 反身性 每一向量组都与自身等价 传递性 与 等价 与 等价 若组 中每一个向量都可由 中的向量线性表出 可以互相线性表出 则称组 与组 等价 则称组 可由 线性表出 若组 与组 则 与 等价 向量组的等价 问题的引出 1 2 m线性相关 1 2 m中至少有一个 向量可以由其余的m 1个向量线性表出 问题 线性相关的向量组中最多有几个成员 1 2 m线性无关 都不能由其余的m 1向量线性表出 每个成员都不可替代 1 2 m中任一向量 即需明确该向量组的 核心成员 及 个数 是线性无关的 例如 向量组 1 1 0 1 2 1 1 1 3 2 0 2 1 2 2 3 线性无关 其部分组 1 2 3 线性无关 1 3 线性相关 1 2 3 线性相关 该向量组的秩为2 注 最大无关组不唯一 秩是唯一的 4 3向量组的秩与最大无关组 返回 一 向量组的秩与最大无关组的概念 定义设向量组T满足 1o在T中有r个向量 1 2 r线性无关 2oT中任意r 1个向量都线性相关 则称 1 2 r是向量组T的一个最大无关组 无关性 最大性 并规定 T只含零向量 R T 0 记为R T r 向量组的秩 数r为向量组T的秩 向量组所含向量个数 且任意3个线性无关的3维向量 又如 R3 均为R3的一个最大无关组 因 故R3的秩为3 1 若向量组的秩为r 则向量组的任意r个 线性无关的向量均为向量组的一个最大无关组 2 若向量组线性无关 则其最大无关组 就是它本身 向量组线性无关 相关 向量组的秩 向量组所含向量个数 此时 向量组的秩 向量个数 为R3的一个最大无关组 其秩称为矩阵A的列秩 其秩称为矩阵A的行秩 为A的列向量组 为A的行向量组 问题 向量组的秩 与 矩阵的秩 有关系吗 观察 行阶梯形矩阵B 行阶梯形矩阵B的秩 B的行秩 B的列秩 行初等变换不会改变矩阵的列秩 结论 B的行向量组的秩 B的列向量组的秩 B矩阵的秩 则R A R B B的列秩 A的列秩 又R A R AT AT的列秩 A的行秩 为3 为3 为3 行初等变换是否会改变矩阵列向量组的相关性 问题 不会 求 1 2 m 的秩和最大无关组的方法 令A 1 2 m R 1 2 m 即求得向量组的秩 则 矩阵法 B的非零首元所在列对应的向量 即构成 1 2 m的一个最大无关组 R A B的非零行的行数 定理1矩阵的行秩 列秩 矩阵的秩 即矩阵的三秩相等 所以 R 1 2 3 4 5 3 1 2 3为一个最大无关组 例2求向量组 1 2 4 2 2 1 1 0 3 2 3 1 4 3 5 2 的秩和一个最大无关组 并将其余向量用最大无关组线性表出 解 A 1T 2T 3T 4T 所以 R 1 2 3 4 2 1 2为一个最大无关组 定理2向量组与其任一最大无关组等价 推论一向量组的任两个最大无关组等价 若是 1 2 s的最大无关组 故 1 2 s可由 线性表出 则可由 1 2 s线性表出 证明 若向量组 1 2 r可由 1 2 s线性表出 且 1 2 r线性无关 推论2 若向量组 可由组 线性表出 则R R 推论3 若组 与组 等价 则R R 证明 见教材P144 推论1 若向量组 1 2 r可由 1 2 s线性表出 且r s 即 多 的可由 少 的线性表出 则 多 的必线性相关 线性相关 则r s 定理3 则 1 2 r 若向量组 1 2 r可由 1 2 s线性表出 且 1 2 r线性无关 则r s 定理3 证设Cm n AB 即A BK A的列向量组可由B的列向量组线性表出 例3设A B分别为m r r n矩阵 证明R AB min R A R B 证设Cm n AB C的列向量组可由A的列向量组线性表出 R AB 由CT BTAT 所以R AB min R A R B 有R CT R BTAT R C R B 公式 即R AB R B R BT 故R C R A 例4 设 1 2 m与 1 2 n为同维向量组 R 1 2 m R 1 2 n 证明 R 1 2 m 1 2 n 证明 公式 向量组整体的秩不超过其各部分秩的和 例4 设 1 2 m与 1 2 n为同唯向量组 R 1 2 m R 1 2 n 证明 设 1 2 m 1 2 n的最大无关组为 即R 1 2 m 1 2 n r s 1 故R 1 2 n s R 1 2 m 1 2 n 证明 所以R 1 2 m R 1 2 n r s 2 由 1 及 2 知结论成立 则R 1 2 m r 线性无关 也线性无关 公式 向量组整体的秩不超过其各部分秩的和 不讲 令 则 R 1 2 n R 1 2 n R 1 2 n 1 2 n 即 R A B R A R B 因向量组 1 2 n 1 2 n 可以由向量组 线性表出 证明 4 3向量组的秩与最大无关组 第二次课2016 11 21 返回 一 向量组的秩与最大无关组的概念 定义设向量组T满足 1o在T中有r个向量 1 2 r线性无关 2oT中任意r 1个向量都线性相关 则称 1 2 r是向量组T的一个最大无关组 并规定 T只含零向量 R T 0 记为R T r 数r为向量组T的秩 分组 则它是最大无关组的充要条件是 1 2 m中任意r 1个向量都线性相关 由最大无关组的定义知 1 2 m中的任一个向量都可由线性表出 可以证明该条件可由下列条件替换 定理4设 是 1 2 m的线性无关部 分组 则它是最大无关组的充要条件是 1 2 m中的任一个向量都可由线性表出 定义设向量组T满足 1o在T中有r个向量 1 2 r线性无关 2oT中任一个向量都可由 1 2 r线性表出 则称 1 2 r是向量组T的一个最大无关组 数r为向量组T的秩 最大无关组另一种定义 1 是线性无关的 例如 R3中 向量组 定义设向量组T满足 1o在T中有r个向量 1 2 r线性无关 2oT中任意r 1个向量都线性相关 则称 1 2 r是向量组T的一个最大无关组 记为R T r 数r为向量组T的秩 或2oT中任一个向量都可由 1 2 r线性表出 二 Rn的基 维数与坐标 向量空间V的一个最大无关组称为V的一组基 向量空间V的秩称为V的维数 Rn 如 n维向量空间 1 2 n 且称之为Rn的一个标准基 Rn的维数为n 记为 dimRn n 记为dimV 为Rn的一组基 又如过坐标原点的空间直线 为R3的一个子空间 W的一个最大无关组 W的秩为1 即W的唯数dimV 1 W的一组基 注意区别 向量的维数 向量空间V的维数 m n p 设 1 2 n为Rn的一组基 x1 1 x2 2 xn n 注 1 一个向量在确定基下的坐标是惟一的 2 通常情况下向量 x1 x2 xn 的坐标 是在标准基 1 2 n下的坐标 则 1 2 2 5 3 2 4 Rn 如若 1 2 5 2 解 令A 1 2 3 由R A 3 知 1 2 3线性无关 为R3的一组基 设 x1 1 x2 2 x3 3 即 解得 为所求坐标 又dimR3 3 所以 1 2 3 D C 向量组 1 2 m与向量组 1 2 m等价 D 矩阵A 1 2 m 与B 1 2 m 等价 D 2003年考研一 思考题 设向量组 I 1 2 r 可由 向量组 II 1 2 s线性表示 则 A 当r s时 向量组 II 必线性相关 B 当r s时 向量组 II 必线性相关 C 当r s时 向量组 I 必线性相关 D 当r s时 向量组 I 必线性相关 线性无关组的 分量延伸 组仍线性无关 线性相关组的 分量缩短 组仍线性相关 P139 10 且不能用和线性表出 则向量和仅差一数值因子 证明 用反证法 从而可得 矛盾 分析 设 是一组n维向量组 证明 线性无关 任一n维向量可由线性表出 证明 线性无关 是n维向量空间Rn的最大无关组 P136 3 即任一n维向量可由线性表出 设 是一组n维向量组 证明 线性无关 证明 线性无关 P136 3 任一n维向量可由线性表出 4 4线性方程组解的结构 一 线性方程组解的存在性 三 非齐次线性方程组解的结构 返回 二 齐次线性方程组解的结构 即 所有齐次线性方程组AX 0均有一组平凡解 零解 一 线性方程组解的存在性 1 齐次线性方程组 x1 1 x2 2 xn n 0 向量形式 矩阵形式 一般形式 AX 0有非零解 1 2 n A的列向量组 线性相关 特别地 1 若A为n阶方阵 则AX b有非零解 AX 0解的存在性 只有零解 有非零解 设A 1 2 n detA 0 2 若AX 0 方程的个数小于未知量的个数 则齐次方程组必有非零解 即欠定齐次方程组必有非零解 3 思考题 2003级期末考题 B为3阶非零矩阵 且AB 0则 t 设 分析 令 由B为非零矩阵知 不全为零 故AX 0有非零解 AX 0有非零解 2 非齐次线性方程组 即AX b 设A 1 2 n 则x1 1 x2 2 xn n b 称AX 0为AX b的导出组 或对应的齐次方程组 一般形式 矩阵形式 向量形式 AX b有解 b可由 1 2 n线性表出 特别地 若A为n阶方阵 则AX b有唯一解 解的存在性 无解 有唯一解 有无穷个解 设A 1 2 n 此时 detA 0 性质1若为齐次方程组AX 0的解 则也是AX 0的解 齐次方程组的解对加法封闭 1 解的性质 二 齐次线性方程组解的结构 性质2若为齐次方程组AX 0的解 则也是AX 0的解 k为任意实数 齐次方程组的解对数乘封闭 由性质1 2得 若为AX 0的解 则对任意s个数 也是AX 0的解 即齐次方程组AX 0解向量的线性组合 仍为AX 0的解 设AX 0解的全体为W 即 则W为Rn的一个子空间 称为AX 0的解空间 2解的结构 解空间的任一组基 即最大无关组 称为 AX 0的基础解系 什么条件下 基础解系存在 问题 如何求 含有多少个向量 答 当AX 0有非零解 D 思考题 设A是m n矩阵 AX 0是非齐次线性方程组AX b 所对应的齐次方程组 则以下说法正确的是 A 若AX 0只有零解 则AX b有唯一解 B 若AX 0有非零解 则AX b有无穷多组解 C 若AX b有无穷多组解 则AX 0只有零解 D 若AX b有无穷多组解 则AX 0有非零解 设 是一组n维向量组 证明 线性无关 任一n维向量可由线性表出 证明 线性无关 是n维向量空间Rn的最大无关组 P136 3 即任一n维向量可由线性表出 设 是一组n维向量组 证明 线性无关 证明 线性无关 P136 3 任一n维向量可由线性表出 线性无关组的 分量延伸 组仍线性无关 线性相关组的 分量缩短 组仍线性相关 P130 9 唯一性易证 令 则 R 1 2 m R 1 2 n R 1 2 m 1 2 n 由 得 R A B R A R B 讨论课 主题 线性代数中的 一题多解 问题 选题范围 1 教材中的习题或例题或检测题 2 课堂中的例题 3 课外参考书中的题 要求 1 选题精典 2 至少五个题 3 每题两种及两种以上的解法 4 可写上做题的感想或总结 组织形式 1 以小班为单位 每班确定一个负责人 并到教师处登记 2 各小班分别讨论 总结 由负责人安排 3 负责人写出总结报告 4 交由教师审阅 5 各小班推荐 或自愿 一人 在指定课堂上汇报 讲解讨论结果 11月30号之前交报告 12月13号 星期