吉林省松原市扶余县第一中学高考数学总复习 第二部分第1讲1.四大数学思想.ppt

第二部分第1讲四大数学思想 数学思想方法较之数学基础知识具有更高的层次和理性的地位 它是一种数学意识 属于思维和能力的范畴 用于对数学问题的认识 处理和解决 数学思想方法是数学知识的精髓 是知识转化为能力的桥梁 纵观近几年的高考试题 重点考查的数学思想有数形结合思想 函数与方程思想 分类讨论思想 转化与化归思想 高考试题中考查数学思想的题目占较大比例 题型涉及选择题 填空题 解答题 难度有易有难 试卷中的大部分压轴题与数学思想有关 数学思想的考查已渗透到了整套试卷中 1 函数与方程思想 本节目录 方法概述直击考点 典例展示解密高考 名师押题体验高考 1 函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征 用联系和变化的观点提出数学对象 抽象其数学特征 建立各变量之间固有的函数关系 通过函数形式 利用函数的有关性质 使问题得到解决 2 方程思想的实质就是将所求的量设成未知数 用它表示问题中的其他各量 根据题中隐含的等量关系 列出方程 组 通过解方程 组 或对方程 组 进行研究 以求得问题的解决 3 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的 是相辅相成的 函数思想重在对问题进行动态的研究 方程思想则是在动中求静 研究运动中的等量关系 题型一函数与方程思想在求最值或参数范围中的应用 点评 1 求字母 式子 的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母 式子 为元的方程 组 然后由方程 组 求得 2 求参数的取值范围是函数 方程 不等式 数列 解析几何等问题中的重要问题 解决这类问题一般有两种途径 其一 充分挖掘题设条件中的不等关系 构建以待求字母为元的不等式 组 求解 其二 充分应用题设中的等量关系 将待求参数表示成其他变量的函数 然后 应用函数知识求值域 3 当问题中出现两数积与这两数和时 是构建一元二次方程的明显信息 构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决 4 当问题中出现多个变量时 往往要利用等量关系去减少变量的个数 如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式 那么就可用研究函数的方法将问题解决 变式1 题型二函数与方程思想在方程问题中的应用 点评 此类问题是多元问题中的常见题型 通常有两种处理思路 一是分离变量构造函数 将方程有解转化为求函数的值域 如本例 二是换元 将问题转化为二次方程 进而构造函数加以解决 变式2已知方程9x 2 3x 3k 1 0有两个实根 求实数k的取值范围 题型三函数与方程思想在不等式问题中的应用 点评 在解决不等式恒成立问题时 一种最重要的思想方法就是构造适当的函数 利用函数的图象和性质解决问题 同时要注意在一个含多个变量的数学问题中 需要确定合适的变量和参数 从而揭示函数关系 使问题更明朗化 一般地 已知存在范围的量为变量 而待求范围的量为参数 变式3设f x g x 分别是定义在r上的奇函数和偶函数 当x0 且g 3 0 则不等式f x g x 0 所以x0时 f x 也是增函数 因为f 3 f 3 g 3 0 f 3 所以f x 0的解集是 3 0 3 如图 答案 3 0 3 2 证明 由题意可知f x g x a x p x