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2 数形结合思想 本节目录 方法概述直击考点 典例展示解密高考 名师押题体验高考 1 数形结合就是根据数与形之间的对应关系 通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法 数形结合思想通过 以形助数 以数辅形 使复杂问题简单化 抽象问题具体化 能够变抽象思维为形象思维 有助于把握数学问题的本质 它是数学的规律性与灵活性的有机结合 2 数形结合包含 以形助数 和 以数辅形 两个方面 其应用大致可以分为两种情形 一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系 即以形作为手段 数作为目的 比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质 二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性 即以数作为手段 形作为目的 如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质 题型一利用数形结合讨论方程的解 答案 2 点评 讨论方程的解可构造两个函数 使求方程的解的问题转化为讨论两曲线交点的问题 但用图象法讨论方程的解 一定要注意图象的精确性 全面性 变式1 题型二利用数形结合求参数范围 2012 长春调研 设函数f x x a g x x 1 对于任意的x r 不等式f x g x 恒成立 则实数a的取值范围是 解析 如图作出函数f x x a 与g x x 1的图象 观察图象可知 当且仅当 a 1 即a 1时 不等式f x g x 恒成立 因此a的取值范围是 1 答案 1 点评 在解含有参数的不等式时 由于涉及到参数 往往需要讨论 导致演算过程繁琐冗长 如果题设与几何图形有联系 那么利用数形结合的方法 问题将会被快速解决 变式2不等式 x 3 x 1 a2 3a对任意实数x恒成立 则实数a的取值范围为 a 1 4 b 2 5 c 1 2 d 1 2 题型三利用数形结合求最值 值域 已知p是直线3x 4y 8 0上的动点 pa pb是圆x2 y2 2x 2y 1 0的两条切线 a b是切点 c是圆心 求四边形pacb面积的最小值 点评 1 数形结合的基本思路是 根据数的结构特征 构造出与之相应的几何图形 并利用图形的特性和规律 解决数的问题 或将图形信息全部转化为代数信息 使解决形的问题转化为数量关系的讨论 2 应用数形结合的思想解题 通常可以从以下几个方面入手 函数与函数图象 不等式与函数图象 曲线与方程 参数本身的几何意义 代数式的结构特点 概念自身的几何意义 可行域与目标函数的最值 3 2012 安徽淮南调研测试 已知a是正实数 函数f x ax2 2ax 1 若f m 连接 解析 根据已知条件画出f x 图象如图所示 因为对称轴方程为x 1 所以 0 0
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