华罗庚学校数学教材(六年级上)第10讲棋盘中的数学(一).doc

本系列共 14 讲第十讲 棋盘中的数学（一）什么是棋盘中的数学. 文档贡献者：winner_d1975所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1），围棋盘（下图（2）， 还有国际象棋棋盘（下图（3）以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问 题这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题解 决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学作为开篇我们先解几道竞赛中的棋盘问题例 1 这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形，“界河”的 宽等于小正方形边长）黑方有一个“象”，它只能在 1，2，3，4，5，6，7 位 置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在 8， 9， 10， 11， 12， 13， 14 中的两个位置问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？解：我们设每个小方格的边长为 1 单位则小方格正方形面积为 1 平方单 位由于三个顶点都在长方形边上的三角形面积至多为这个长方形面积的一 半所以要比较三角形面积的大小，只要比较三角形的三个顶点所在边的外接 长方形面积的大小就可见端倪直观可见，只须比较（3，10，12）或（2，10，12）与（3，10，13）或（2，12，14）这两类三角形面积就可以了 顶点为（3，10，12）或（2，10，12）的三角形面积为：1 87=28；2顶点为（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面积等于：1 96=27。2所以顶点在（2，10，12）或（3，10，12）时三角形面积最大 答：黑“象”在 2 或 3 的位置，两个红“相”分别在 10，12 的位置时，以这三个棋子为顶点的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面积最大，如下 图所示说明：本题是以棋盘格点为基础组成图形计算面积其实，这类问题所在多有，我们把 mn 的方格阵称为广义棋盘，则可以设计出许多这类的问题例 2 下左图是一个围棋盘，另有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当 按格点摆成某个正方阵时，尚多余 12 枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边 各加一枚棋子的正方阵，则差 9 枚棋子才能摆满问：这堆棋子原有多少枚？解：第一次排方阵剩余 12 枚，加上第二次排方阵所不足的 9 枚，恰是原正 方阵扩大后“贴边”的部分（如上右图所示），共 21 枚，它恰是原正方阵每边 棋子数与“扩阵”每边棋子数之和恰是两个相邻自然数之和，所以原正方阵 每边 10 枚棋子，新正方阵每边 11 枚棋子这堆棋子总数是10212=112 枚 答：这堆棋子原有 112 枚 说明：本题也可以列方程求解 设原正方阵每边 m 枚棋子，由题意得：（m1）29m212即 2m121， 解得 m10所以棋子总数为 10212112 枚 本题与围棋盘并无本质联系，问题可改述为“一堆棋子若摆成一个实心方阵，剩余 12 粒棋子，若改摆每边各加一枚的方阵，则差 9 枚棋子，问这堆棋子 原有多少枚？”应用围棋盘显得更加直观、具体例 3 如下左图是一个国际象棋棋盘，A 处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入 白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进 入请问，蚂蚁能否从 A 出发，经过每个格子最后返回到 A 处？若能，请你设 计一种路线，若不能，请你说明理由解：这种爬行路线是存在的具体的设计一条，如上右图所示例 4 在 88 的方格棋盘中，如下图所示，填上了一些数字 1，2，3，4试 将这个棋盘分成大小和形状都相同的四块，并且每块中都恰有 1、2、3、4 四个 数字分析 注意这个正方形的面积是 8864 个平方单位，因此切分后的每一块的面积为 16 个平方单位，即由 16 个小方格组成 解：将两个并列在一起的“4”分开，先画出这段划分线，并将它分别绕中心旋转 90，180和 270，得到另外三段划分线，如下图（1）所示仿照上述方法，画出所有这样的划分线，如上图（2）所示从最里层开始，沿着画出的划分线作设想分块，如上图（3），这个分块 中要含 1，2，3，4 各一个，且恰为 16 块小方格将上面的阴影部分绕中心旋转 180，可以得到符合条件的另一块，空白 部分的两块也符合条件，所求的划分如上页图（4）所示例 5 国际象棋的棋盘有 64 个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇后”，当 它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子，如下左图上 虚线所示如果有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，不 论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘？解：本题是构造性的题目用五个子管住六十四格，如上右图所示就是一种放置皇后的方案例 6 如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个 兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制之 下（要符合象棋规则，“相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵” 也只能放在“兵”所能到的位置马走“日”字 ，“车”走直线，“炮”隔子控 制 等 ）解：这仍是一个占位问题，只需要把指出的几个子排布成所要求的阵势即 可，如下图所示本节我们初步看到了一些棋盘问题，它们的特点是：以棋盘为背景提出各种问题，无论围棋盘、中国象棋盘或是国际象棋 盘更为一般的提法是 mn 方格上的数学问题这些问题有面积计算，图形分割，棋子计数，棋子布局等各种类型，这 些问题一般属于智巧类的问题或更深一步的组合数学问题。习题十1在 44 的棋盘中每一格分别填入字母 A、B、C、D要求每行、每列、 两条斜线的四个格都恰有 A、B、C、D 各一个2把 A、B、C、D 四个棋子放在 44 的棋盘的方格里，使每行每列只能出 现一个棋子问共有多少种不同的放法？3下图是 1616 棋盘，每个小正方格面积都是 1，求图中这只狗所占的图 形的面积4中国象棋规定马走“日”字定义：在中国象棋盘上从点 A 到 B 马走的 最少步数称为 A 与 B 的马步距离，记作ABm如下图在 33 的棋盘